動態矩陣控制誤差權矩陣取值優化與仿真

孫堅棟，蘇燁，李泉，蔡鈞宇

(1.杭州意能電力技術有限公司，浙江 杭州 310014；2.高彈性電網浙江省工程研究中心，浙江 杭州 310014；3.國網浙江省電力有限公司電力科學研究院，浙江 杭州 310014)

0 引 言

模型預測控制(model predictive control，MPC)簡稱預測控制，是20世紀70年代后從工業領域發展起來的一種先進控制技術[1]1。根據模型形式不同，預測控制分為動態矩陣控制、模型算法控制和廣義預測控制等類型[2]。MPC對模型精度要求低，魯棒性好，適應復雜工業過程，因而得到了廣泛應用[3-5]。

火電機組的重要控制回路，如協調控制、汽溫控制等，一般具有大遲延和大慣性特性，采用傳統PID控制無法獲得滿意的控制品質[6]。而動態矩陣控制(dynamic matrix control, DMC)則適用于這一類被控對象，可獲得比PID控制更好的性能，因此在火電機組應用中逐漸增多[7-8]。

本文提出了一種用于DMC控制的誤差權矩陣取值優化方法，與目前常用的誤差權矩陣取值方法相比，可在不影響控制性能的前提下，減少滾動優化計算量。在此基礎上，進一步研究了適用于非最小相位對象的誤差權矩陣取值優化方法。

1 DMC控制

1.1 數學模型

DMC控制利用被控對象的單位階躍響應序列構成模型向量a=[a1,...,aN]，根據模型向量a預測未來輸出值,ai=a(iTs)。式中：ai為單位階躍響應采樣值;Ts為采樣周期;N為建模時域。DMC控制包括模型預測、滾動優化和反饋校正三部分。

在滾動優化時，通過性能函數在預測時域內取得最優值，計算得到未來控制量增量。性能函數一般表示為：

(1)

將式(1)以矩陣形式表示，有：

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 參數整定

在DMC控制中，采樣周期、建模時域、模型向量和動態矩陣由被控對象的動態特性決定，當模型穩定時不需要調整。預測時域、誤差權矩陣和反饋校正向量等對性能有重要影響，如誤差權矩陣影響穩定性、快速性和魯棒性，反饋校正向量影響魯棒性和抗干擾性。預測控制理論發展已有40多年歷史，但在參數整定方面仍有改進空間。

2 問題描述

一些重要電廠控制回路具有大遲延和大慣性特性，可用一階慣性加純遲延模型表示，即：

(6)

式中：T為慣性時間常數；τ為純遲延時間；K為增益；s為拉普拉斯算子。

對于具有非最小相位或純遲延特性的對象，為使反向段或時滯段的加權誤差平方和為0，誤差權矩陣系數通常取值為[1]76：

(7)

對于非最小相位對象，qi按上式取值是合理的，但對于純遲延對象，并非如此。

以主蒸汽溫度控制對象為例，分析誤差權矩陣取值不同對控制品質的影響，設傳遞函數為:

(8)

利用MATLAB實現MPC1和MPC2兩個DMC控制器，取相同采樣周期Ts=1s、預測時域P=150、控制時域M=12以及控制權矩陣R。誤差權矩陣不同，MPC1的誤差權矩陣按式(7)取值，MPC2的誤差權矩陣按單位對角陣取值。

不存在模型失配時，在t=0時，令主蒸汽溫度設定值產生5 ℃階躍變化，在上述DMC控制器作用下，系統響應曲線如圖1所示。MPC1和MPC2對應的曲線完全重合，說明MPC1、MPC2誤差權矩陣不同不影響控制性能。

圖1 不同誤差權矩陣對應的響應曲線

模型失配時，設被控對象模型如式(8)所示，DMC控制器采用以下模型。

(9)

如圖2所示，MPC1、MPC2對應的響應曲線仍舊重合，進一步說明誤差權矩陣不同不影響系統控制性能。

圖2 模型失配時不同誤差權矩陣對應的響應曲線

雖然對系統閉環性能的影響是完全一致的，但從滾動優化角度考慮，采用單位對角陣可使計算速度更快。當Q為單位對角陣時，式(5)簡化為:

(10)

與式(5)相比，式(10)的計算量明顯減少。

3 理論分析及仿真

3.1 理論分析

理論1：針對含純遲延環節的被控對象，有MPC1和MPC2兩個DMC控制器，其可調參數除誤差權矩陣外皆相同，若MPC1的誤差權矩陣按式(7)取值，MPC2的誤差權矩陣按單位對角陣取值，則這兩個控制器等價。

證明：如果MPC1、MPC2確定的控制量增量相同，則定理必成立，故只需證明每次滾動優化的控制增量向量ΔuM(k)相同即可。

將遲延時間τ除以采樣時間Ts并取整，記作d=[τ/Ts]，d表示遲延周期數。由于遲延特性，向量a前d項數值為0，動態矩陣A前d行元素也為0，將A分塊。

(11)

式中:H為A中非零元素構成的子矩陣。

設MPC1的誤差權矩陣Q1按式(7)取值，MPC2的誤差權矩陣按單位對角陣取值。將Q1分塊，得到以下分塊矩陣。

(12)

式中:有0d×d、0d×(P-d)和0(P-d)×d為零矩陣；I(P-d)×(P-d)為單位對角陣。

將分塊后的A和Q1代入式(5)，有:

(13)

式(13)可轉換為:

(ATQ1A+R)-1ATQ1=(HTH+R)-1[0HT]

(14)

對于MPC2控制器，將Q2和分塊后的A代入式(5)，有:

(15)

式(15)也可轉換為式(14)，即有:

(ATQ1A+R)-1ATQ1=(ATQ2A+R)-1ATQ2

(16)

由式(16)可知，MPC1、MPC2滾動優化確定的控制增量向量相等，故MPC1與MPC2等價。

根據定理1和式(10)，當DMC控制算法用于含純遲延環節的對象時，誤差權矩陣采用單位對角陣更合理，可以減小滾動優化計算量。

理論2：對于純遲延或非最小相位對象，有MPC1和MPC3兩個DMC控制器，其可調參數除誤差權矩陣和優化區間外皆相同，若MPC1的誤差權矩陣Q1按式(7)取值，滾動優化區間覆蓋整個預測時域，MPC3的誤差權矩陣Q3為單位對角陣，滾動優化區間為[d+1,…,P]，不包含預測時域的反向段與時滯段，那么MPC1與MPC3等價。

證明：MPC3的優化區間為[d+1,…,k+P]，性能函數可表示為:

(17)

(18)

(19)

因Q3為單位對角陣，式(19)可簡化為:

(20)

根據理論1，對于MPC1的控制增量式(5)，將式(14)代入，得到：

(21)

按子塊相乘后，式(21)化為式(20)，即MPC1和MPC3的控制增量相等，證得MPC1與MPC3等價。

3.2 仿真

理論1在前一節已得到驗證，本節僅驗證理論2。設非最小相位加純遲延對象的模型為：

(22)

利用MATLAB實現MPC1和MPC3兩個DMC控制器，取相同Ts=1 s、P=150、M=30和對角線上各元素均為200的控制權矩陣R，但誤差權矩陣和優化區間分別按理論2的兩種方式取值，其中反向段與時滯段之和為 80。

對于不存在模型失配和存在模型失配兩種情形，在t=0時，使設定值產生幅值為1的階躍變化，在這兩個控制器作用下，系統閉環響應曲線如圖3和圖4所示。MPC1和MPC3對應的曲線完全重合，驗證了理論2的正確性。

圖3 不同誤差權矩陣對應的非最小相位對象響應曲線

圖4 模型失配時不同誤差權矩陣對應的非最小相位對象響應曲線

4 結束語

對于含純遲延環節被控對象的DMC控制器，采用單位對角陣為誤差權矩陣，可以在不影響控制性能前提下，減少滾動優化計算量。更進一步，針對包含非最小相位或遲延特性被控對象，提出了一種誤差權矩陣和滾動優化區間取值方法，可使滾動優化計算量降低。在MATLAB環境中，仿真運行結果表明方法有效。