幾何畫板，讓空間想象落地生根

孫抒文

空間想象能力，是指“人對頭腦中所形成的空間表象進行加工、改組，從而創立新思想、新形象的能力”，是“人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象思維的能力”.這種能力的特點是在頭腦中構成研究對象的空間形狀和簡明的結構，并能將對事物所進行的一些操作，在頭腦中作相應的思考.前蘇聯著名數學家柯爾莫戈洛夫對空間想象能力的作用有這樣的看法：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化，幾何想象或如同平常人們所說的幾何直覺，對于幾乎所有數學分科的研究工作，甚至于最抽象的工作都有著重大的意義”.在新課程標準中，空間想象能力與抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等一起被列為目前學生急需提高的基本能力.

幾何畫板，作為美國“直觀幾何計劃”的一部分，這個軟件具備了能將問題從幾何上視覺化的強大功能，在提升學生空間想象能力上具有極大的優勢，因為其具有動態交互性、簡單實用性以及強大的作圖、動畫等功能，能有效地輔助數學教學.所以，近年來，幾何畫板輔助數學教學，已經逐漸在全國的中小學數學課堂上進行推廣和應用.教師利用幾何畫板更加直觀地展示數學的本質，增加學生的直觀體驗，幫助學生通過幾何畫板的動態操作來真正理解數學.教會學生使用幾何畫板，在教中學，在學中問，在問中做，在做中學，讓教、學、做一體化.

那么如何能真正讓學生去體驗幾何畫板的優勢，通過實際的操作、感受來提升空間想象能力，借助幾何畫板促進思維能力、邏輯的推理的培養，真正將幾何想象落地生根，使得信息技術融合為教與學服務，這應該是值得我們思考的一個方向.

1困惑

經過多年的實踐，筆者對幾何畫板輔助教學產生以下困惑：絕大部分都是由教師課前制作幾何畫板課件、或教師在課堂上實時操作，學生很少有實際操作幾何畫板的機會和能力，更多地是被動接受，而不是主動操作、認知、應用，更多時候只是被教師高超的信息技術所折服，忽略了技術背后的數學原理.所以借助幾何畫板支持學生深層次數學認知活動、幫助提升學生主動探究能力受到不少限制，真正觸及學生思維品質的活動也難以開展.

2探索

以往，教師把過多的精力放在了提升自身幾何畫板技術水平上，真正的教學應該是引導學生動起來，去學習，讓學生做學習的主人，變“會學”為“學會”，才能做到融會貫通，教學相長.由于學生平時沒有得到足夠引導，所以幾何畫板基礎能力不具備，無法將現代信息技術作為自己學習數學和解決問題的有力工具，沒有從根本上改變學生的學習方式.所以我們應該探索和實踐讓學生樂意投入到現實的、探索性的數學活動和課程.這也是實施課程標準的需要.

3實踐

筆者參與研究江蘇省十三五重點規劃資助課題《條理與想象：幾何畫板提升數學—一思維能力的實踐研究》和蘇州市十三五規劃課題《妙用<幾何畫板>提升學生數學思維品質途徑研究》，作為子課題負責人和其他課題組成員一起致力探索現有幾何畫板融合課堂教學模式，尋求改變學生現有的學習方式，進一步探索提升學生數學思維能力的途徑、方式、方法，以使學生在《幾何畫板》的環境下夯實思維能力的基礎，梳理和把握好在教學中提升學生思維能力的有效策略，獲得和推廣具有借鑒意義和推廣應用價值的借助《幾何畫板》提升學生數學思維能力的教育實踐經驗.針對現狀開展了如下實踐：

實踐1：利用筆者兩個初一班級，以點帶面進行對比實驗.在實際教學中針對一些適合利用幾何畫板教學的專題，如動點問題、軌跡問題（瓜豆原理）等，兩個班級進行對比教學實驗.針對其中一個班級的學生，利用幾何畫板講解，并指導學生自己利用幾何畫板進行制作，使學生在《幾何畫板》的環境下夯實思維能力的基礎，通過實驗獲得借助《幾何畫板》提升學生數學思維能力的教育實踐經驗.

實踐2：在課題組主持人學校篩選適用學生可用幾何畫板探究的學習內容，在初二年級數學社團教學中進行實踐.學生通過學習使用《幾何畫板》，使之可以較為熟練的運用該軟件對數學問題發現、解決、引申、變換等過程進行猜想、探索和驗證.不同程度地幫助學生化解學習數學時碰到的困難，樹立解決難題的信心，引導學生對數學問題本質特征的理解，提高數學思維品質.通過在“做中學”，在“學中做”，從不同學習基礎的學生的身心特點和發展情況出發，確定不同層次的學習目標.幫助學生發現問題，提出問題，分析問題，解決問題，在實踐活動中形成有效提升學生數學思維能力的有效策略途徑.

4結論

4.1自發探究，發現本質

通過一段時間的實踐，筆者所執教的試點班級初二（3）班在學期期中、期末考試中優秀率大幅度提升，從開學初的年級中上游，發展到期末年級中名列前茅.本校通過智學網大數據分析（圖1，圖2），發現該班學生在幾何相關知識點的掌握程度較好.同時，筆者發現，隨著學生對于幾何畫板軟件掌握熟練程度的變化，學生更加自發地利用軟件去探索課堂上知識的生成，對數學問題本質的理解更加的深刻.

4.3培養思維、發展能力

在進行期末復習的時候，復習卷中出現一道例題（課例4），當時學生完成得很困難，不少學生無法想象點E移動的路線是一個什么圖形.筆者從嘗試指導讓學生利用起點、中點、終點“三點法”去繪制相應的軌跡，發現“化動為靜”的策略，用幾個靜態的特殊位置去確定軌跡的大致形態.最后，通過探索發現三點在一直線上，所以判斷移動的路線是一條線段.但是一些理解力、思維力較差的學生，覺得這樣的講解不夠直觀，無法進行驗證.于是課后，筆者給幾個學生布置了畫幾何畫板的任務，他們經過一個學期的訓練，已經能比較熟練地掌握幾何畫板.第二天的課堂上，展示了他們的作品.通過幾何畫板可以驗證“三點法”繪圖的正確，通過拖動發現點的軌跡確實是一條線段，而這條線段的求法可以直觀地化歸到求出一個等腰直角三角形的邊長，所有的學生都恍然大悟并且對這道題目印象深刻.利用幾何畫板驗證軌跡的這種直觀方法深深地印刻在學生的腦海中，學生對于這類題目的解題策略有了一定的了解.

課例4 如圖6，等腰直角三角形ABC中，AB=4cm.點D是BC邊上的動點，以AD為直角邊作等腰直角三角形ADE.在點D從點B移動至點C的過程中，點E移動的路線長為____________cm.

5結語

數學思維的特征就是條理性和想象力，學生數學思維能力的提升，不能單純依賴教師的教，而是需要學生參與其中的數學活動，而《幾何畫板》正是學生參與數學活動的有效工具，合理使用《幾何畫板》能夠提升學生的數學思維能力，培養學生的條理性和想象力.

通過實踐，我們也發現，學生實際操作幾何畫板，在過程中會產生新的幾何問題，激發學生思考和探究的欲望.正如宋代教育家朱熹所言：“學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進，不疑則不進”，學生不斷產生疑問，就能更有效地挖掘學生的思維能力.同時，幾何畫板的操作是一種創造教育，讓學生覺得課堂更加有趣，將空間想象能落地生根，同時還能一題多變，思維拓展.就如陶行知先生所說“手腦結合，是創造教育的開始”.學生以幾何畫板為載體，真正實現了手腦并用，行以求知，學創結合的特點，對于培養學生數學思維能力有著極其重要的作用.