關于“解析幾何”問題解題方法選取的思考與做法

吳衛衛 吳誠貴

著名數學家、教育家波利亞說過：“掌握數學就意味著善于解題”.解析幾何是一門綜合性較強的學科，其根本思想是將幾何問題代數化，根本方法是“解析法”，即“用代數方法研究幾何圖形的性質”.解析幾何問題的“會而不對”現象一直困擾著許多學生，也讓教師絞盡腦汁，經常會有這樣的感嘆：為什么并非很難的解析幾何題卻難倒了很多學生，甚至是優秀的學生？當然，大量的、復雜的運算量是首要原因.事實上在解析幾何中，如何簡化運算一直是高三備考復習的重點，眾多的一線教師也一直在尋找簡化復雜運算的方法.筆者在網上搜索了關于如何簡化運算的文章，發現了很多方法，比如：設而不求、巧用幾何性質、向量坐標運算、先猜后證、利用二級結論、整體代換、巧妙設點設線等等，林林總總逾20種.這些方法看起來實在是“太精彩”，讓人難以“割舍”.

但是我們知道，這么多方法的掌握甚至是熟練運用，對于教師而言還勉強能做到，對于學生來說就困難很多了，更別說有的方法實際上已經超出了學生的認知水平;另一方面，對于學生來說，在考試中能多掌握一種方法就多一次“機會”，方法應該越多越好.面對這種“魚和熊掌，不可兼得”的境地，一線教師的該如何引領學生學會“取舍”？本文將通過一道高考題談談筆者的思考與做法.

點評 方法4從橢圓的定義出發，將已知條件轉化到“焦點三角形”上，獲得了等式，方法5，從橢圓的離心率出發，結合正弦定理、相似三角形獲得了等式，從而得出答案.這兩種解法大大簡化了運算量，提高了解決本題的可能性，同時也增強了學生面對此類問題的信心.

2.4選擇“貼近自己”的解法

以上給出了5種解法，并給出了分類：自然的、簡單的、新潮的.但是最終會選擇哪種解法，還需結合自己的情況，進行分析、提煉，從而形成“貼近自己”的解題方法.

當然在形成“貼近自己”的解法之前，需要對現有方法進行分析和比較，這尤其重要.對于本題，經過分析可以發現對于解析幾何問題，一般可以從兩個視角上入手，即代數視角和幾何視角.上面的5種解法，前三種是從代數視角入手，后兩種從幾何視角入手.對于本題給出的5種方法，學生會青睞于哪種方法？哪種方法對其來說會是“貼近自己”的解法呢？

筆者在講解完一周后，將本題原封不動地讓學生又重新做了一遍，之后統計用不同方法解題的人數.從統計結果來看，選擇解法1的有26人，解法2的有18人，解法3的有11人，解法5的有5人，解法4沒有人選擇.從測試結果來看：大部分學生都選擇解法1、2，由此可以得出，解法1、2是學生“貼近自己”的解法，這也是學生最容易想到的解法，即學生會選擇“貼近自己的解題方法”;而解法4、5雖然簡單，但其中蘊涵的思維量較大，反而對學生來說是比較“陌生”的.

總之，在講解解析幾何時，應正確認識“一題多解”的教學策略.如同“車到山前必有路，題到解時必有法”，并且有多法，但是需要甄別哪一條是最合適的.雖說“要給學生一碗水，教師需有一桶水”，但教師更應具備“準確取出這一碗水的能力”，同時幫助學生發現解題的思路、拓展解題思維，讓學生找到適合自己的解法，畢竟選擇何種方法解題的決定權在學生.