基于數學核心素養的數學建模案例教學

陳德燕

《普通高中數學課程標準（2017年版》（以下簡稱《課標》）在學科核心素養中指出：“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.”“數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題.”《課標》給出了數學建模核心素養的三個具體要素：對現實問題進行數學抽象的素養、用數學語言表達問題的素養、用數學方法構建模型解決問題的素養，數學建模的四個具體環節：發現和提出問題環節、建立和求解模型環節、檢驗和完善模型環節、分析和解決問題環節，簡稱“三要素”、“四環節”.

在數學建模教學中，落實“四環節”是形成和發展數學建模核心素養“三要素”的路徑與方法，是達成與發展數學建模核心素養的關鍵.下面就數學建模教學中“四環節”的落實談談個人的體會.

1發現和提出問題

發現和提出問題的本質是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題.為引導學生感悟將現實問題進行數學抽象，進而實現用數學的語言與方式表達現實問題的方法，積累發現和提出問題的經驗，在選擇數學建模素材（或問題）時，應注意選擇具有一定的現實性、模糊性、開放性的問題.

案例 木板支架的最大承受力

建筑工地上經常用一塊木板擱在兩個支架上，建筑工人在木板上行走或操作.如何估算該木板支架的最大承受力？

分析由于數學建模問題具有現實性、模糊性的特點，因此，數學建模的首要問題是將現實世界的問題簡化為現實的模型.

為此引導學生考慮影響木板支架承受力的因素（變量），并選擇關鍵因素（變量）進行研究.經過討論，在考慮是同一種材質木板的前提下，將影響木板支架承受力的關鍵變量確定為：兩個支架間的距離、木板的寬度、木板的厚度，分別用d，a，h表示.記M為該類型材質木板支架的最大承受力.則問題轉化為研究變量d，a，h，M之間的關系，即尋找d，a，h與M之間的函數關系.這樣通過對現實問題的數學抽象、進而用數學的語言與方式表達問題，實現將實際問題向數學問題方向的轉化.

2建立和求解模型

數學模型的建立離不開數據與數據的收集.由于工具缺乏以及課堂時間的原因，數據收集成為一個數學建模的一個“堵點”、“難點”，但就數學建模而言，這一環節是不可或缺的.考慮到課堂教學的實際情況，筆者對這一“堵點”采取師生共同討論需要收集哪些數據以及收集數據的方式，然后展示“收集”到的數據.

案例中，為突破多變量難點，引導學生回歸到現實問題展開思考：根據生活經驗，在兩支架間距離d不變的情形下，顯然木板支架的最大承受力M與木板的寬度、木板的厚度有關.如果進一步固定木板的寬度（或厚度），那么木板支架的最大承受力M就只與木板的厚度（或寬度）有關了.受此啟發，我們在確定它們之間的關系式時，先固定d，a，h中的兩個變量，找出余下變量與M之間的關系式，再綜合得到這三個變量與M之間的關系式.

d=2，h=0.2時，經過試驗測得M的值如表1所示;d=2，h=0.2時，經過試驗測得M的值如表2所示;d=2，h=0.2時，經過試驗測得M的值如表3所示.（d，a，h的單位為m，M單位為kg）

若能夠獨立或通過小組討論完成本案例解答的各個過程，包括對現實問題的數學抽象、數據采集、數據分析、建立和求解模型、驗證與修正模型、并能夠對模型在實際應用時提出建議，則可以認為達到數學建模素養水平3的要求.

數學建模教學首先應讓學生體驗數學建模的全過程，感悟用數學建模解決實際問題的“套路”.上述案例的教學就很好地使學生體驗與經歷了數學建模的全過程：（1）發現和提出問題，實現實際問題的數學化.通過對現實世界問題的簡化得到現實的模型，進而對實際問題進行數學抽象，實現用數學的語言與方式表達實際問題（將木板支架的最大承受力這一現實問題轉化為研究木板支架的最大承受力M與兩支架間距離d，木板寬度a，木板厚度h之間的關系問題，將問題演變為尋找d，a，h，M四者之間的關系）.（2）數據的收集與分析，建立與求解模型.（3）模型的修正與檢驗.（4）模型的解釋與實際問題的解決.

其次，數學建模是一種思維的方式，僅僅是從理論上學習數學建模的思想和方法，而不借助于具體的案例和素材動手實踐是達不到形成和發展數學建模素養要求的.在開展數學建模活動中，可采取“短問題與長問題”相結合的方式.“短問題”指可以在課堂內完成、或課后30分鐘左右可以完成的建模問題，一般為數學建模活動的一部分，如本案例中略去數據“收集”環節以適合于課堂教學與課后隨堂作業.“長問題”指適合于學生在數周或假期等較長的一段時間內獨立或小組合作共同完成的建模問題.如，調查了解在各時間段從你家到學校的通勤時間（或你家到機場、動車站等），以便規劃你的行程，就屬于“長問題”，本文的案例也可以作為“長問題”.在“長問題”中應要求學生寫出研究報告并對研究報告的形式與內容提出規范的要求.