小議新教材視角下數(shù)學(xué)建模的課堂環(huán)節(jié)

張瑋

據(jù)悉2020年9月入學(xué)的浙江高一新生，將使用新版的人教版教材.之前筆者也參加過(guò)一些關(guān)于新教材的培訓(xùn)，對(duì)新教材也略知一二，總體感覺(jué)就是新老教材的差別很大.新教材中對(duì)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)加大了力度，增加了課時(shí).數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)建立模型來(lái)解決、解釋和預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并服務(wù)于生活，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模還可以培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).如何上好一節(jié)數(shù)學(xué)建模課，對(duì)一線教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn).

2019年10月22日、23日在浙江省杭州第二中學(xué)舉行了高中數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)審及觀摩活動(dòng).本次活動(dòng)的主題為指向高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)轉(zhuǎn)型，同時(shí)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行了全程直播.活動(dòng)給出了4個(gè)課題，分別是汽車停車距離、包裝彩繩、茶水最佳飲用時(shí)間及體重與脈搏（其中茶水最佳飲用時(shí)間問(wèn)題是新教材數(shù)學(xué)建模這塊內(nèi)容課本的例子）.每半天進(jìn)行一個(gè)課題的同課異構(gòu)，每個(gè)課題，筆者挑了2節(jié)課進(jìn)行了觀摩.

這次的活動(dòng)給我們展示了使用新教材后，處理數(shù)學(xué)建模課的一種方式，筆者覺(jué)得受益匪淺.新教材中給出了6個(gè)環(huán)節(jié)，但是筆者以為可以細(xì)分為如下8個(gè)環(huán)節(jié)：①提出問(wèn)題，即課堂引入;②分析問(wèn)題，即影響結(jié)果的決定性因素有哪些;③收集數(shù)據(jù)，可以是實(shí)驗(yàn)獲得，也可以是資料查得，但是要保證數(shù)據(jù)相對(duì)真實(shí);④分析數(shù)據(jù)，通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理方式來(lái)獲取數(shù)據(jù)的整體情況;⑤建立數(shù)學(xué)模型（下稱模型），即選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)擬合數(shù)據(jù);⑥求解參數(shù)，通過(guò)信息技術(shù)，來(lái)獲取待定的參數(shù);⑦模型的檢驗(yàn)、比較和優(yōu)化;③預(yù)測(cè)未來(lái)或解決、解釋實(shí)際問(wèn)題.經(jīng)過(guò)2天的觀摩學(xué)習(xí)和交流，筆者就以上8個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)學(xué)建模課作了一些思考并整理成文.以下為敘述方便，把上述4個(gè)課題依次記為A，B，C，D組.

1提出問(wèn)題

數(shù)學(xué)建模的課，主要是處理生活中的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生理解的比較自然、順暢.因此筆者以為引入要快，開(kāi)門見(jiàn)山.C組中有教師利用詩(shī)人對(duì)杭州西湖的贊美以及遠(yuǎn)近聞名的龍井茶作為引入，筆者覺(jué)得非常好.一兩句話，就將課題提了出來(lái).B組中有教師用用了一張PPT來(lái)引出課題，并在視頻中，具體操作對(duì)角捆扎，入題很直接.筆者認(rèn)為也是一種比較好的提出問(wèn)題的方式.

2分析問(wèn)題

問(wèn)題提出之后，就要提出解決方案.為了找到合適的解決方案，必須要考慮各種影響因素，影響因素不同，解決方案也會(huì)有所不同.從上課過(guò)程來(lái)看，這一塊，學(xué)生完全可以自主思考完成，教師只是起到一個(gè)引導(dǎo)的作用.因此，筆者以為，這一環(huán)節(jié)，主體應(yīng)該是學(xué)生，讓他們充分的發(fā)言，盡可能的將影響因素都考慮完全.但是在高中階段，由于學(xué)生在知識(shí)、條件、時(shí)間上的限制，只能考慮控制變量法，即不考慮次要因素，只考慮主要因素對(duì)結(jié)果的影響.例如在A組課題中，忽略空氣阻力及車況的影響，只考慮了人的反應(yīng)時(shí)間和剎車后是勻減速的情況;C組課題中，是探究在室內(nèi)茶水的溫度變化，也就是在不開(kāi)風(fēng)扇的情況下.

3收集數(shù)據(jù)

這一環(huán)節(jié)，要根據(jù)具體的課題而定，比如A組和D組的課題，就比較適合通過(guò)查閱文獻(xiàn)和資料的方式獲取數(shù)據(jù)，或者通過(guò)權(quán)威部門的實(shí)驗(yàn)來(lái)獲取數(shù)據(jù).而B(niǎo)組和C組的課題就比較適合當(dāng)場(chǎng)做實(shí)驗(yàn)來(lái)獲取數(shù)據(jù).但是無(wú)論從哪種方式收集的數(shù)據(jù)，都必須要保證數(shù)據(jù)的真實(shí)性.

4分析數(shù)據(jù)

對(duì)數(shù)據(jù)的分析是數(shù)學(xué)建模的前提，可以選擇從數(shù)據(jù)運(yùn)算或圖象的角度進(jìn)行分析.例如新教材在指數(shù)函數(shù)的第一課時(shí)中就是從運(yùn)算的角度分析數(shù)據(jù);B組在分析數(shù)據(jù)的時(shí)候，也是用了數(shù)據(jù)運(yùn)算的方法.而C組、D組就從圖象的角度，即利用散點(diǎn)圖，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析.散點(diǎn)圖的優(yōu)勢(shì)就是直觀，可以從圖上直接得到數(shù)據(jù)的分布情況，比如單調(diào)性等.

5建立模型

在數(shù)據(jù)分析結(jié)束后，需要根據(jù)數(shù)據(jù)的情況選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)反應(yīng)實(shí)際情況.在這一環(huán)節(jié)中，對(duì)于不同的課題會(huì)有不同的處理方式.但無(wú)論選擇哪種模型，都需要盡可能地符合實(shí)際情況，以便最終預(yù)測(cè)、解決或解釋實(shí)際問(wèn)題.由于高中階段研究的函數(shù)主要有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)，因此選擇模型的時(shí)候，我們一般會(huì)考慮在這些函數(shù)中選擇，當(dāng)然也包含了它們的線性組合.例如C組的數(shù)據(jù)在散點(diǎn)圖上呈現(xiàn)出了一種遞減的趨勢(shì)，因此可以考慮指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù);B組則通過(guò)數(shù)據(jù)運(yùn)算，建立了一個(gè)不等式的模型，從而使得問(wèn)題可以繼續(xù)深入;A組和D組的課題則有一些學(xué)科背景，此時(shí)我們?cè)谶x擇模型的時(shí)候，應(yīng)該根據(jù)該課題所蘊(yùn)含的學(xué)科背景，從理論上推導(dǎo)出合適的模型.比如A組的課題有物理背景，所以可以先從物理的角度推導(dǎo)出二次函數(shù)模型，然后再來(lái)驗(yàn)證優(yōu)化模型;D組課題有生物背景，同樣也可以通過(guò)嚴(yán)密的推導(dǎo)得出冪函數(shù)模型，再對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證優(yōu)化.

在這個(gè)部分，筆者以為應(yīng)該讓學(xué)生多提想法，學(xué)生的思維具有一定的發(fā)散性，因此我們可能會(huì)得到不止一種模型.例如有學(xué)生提出可以用分段函數(shù)模型來(lái)進(jìn)行擬合，這個(gè)想法很不錯(cuò)，對(duì)此我們應(yīng)該給予肯定.對(duì)于模型的選擇，沒(méi)有對(duì)錯(cuò)，只要是合理的，教師都應(yīng)該給予肯定和鼓勵(lì).

6求解參數(shù)

模型確定之后，就是求解參數(shù)的問(wèn)題了，即對(duì)離散的點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合.從建立的模型和獲取數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的角度來(lái)看，求解過(guò)程都不可能由人工來(lái)完成，只能利用軟件強(qiáng)大的計(jì)算功能來(lái)進(jìn)行，比如Excel.Matlab等，因此我們只需要確定用什么樣的方法來(lái)計(jì)算參數(shù)即可.從幾位教師的課上來(lái)看，學(xué)生不約而同的選擇了同樣的方法，即把所有的數(shù)據(jù)分成幾組，然后把每一組的參數(shù)都算出來(lái)，最后取各組參數(shù)的平均值，以此來(lái)作為模型中參數(shù)的值.這種方法雖然精度不夠，但是有一定的道理，學(xué)生能想到應(yīng)該給予鼓勵(lì).

在這環(huán)節(jié)，筆者有一點(diǎn)想法，就是在確定模型的時(shí)候，應(yīng)該考慮絕大多數(shù)離散點(diǎn)的情況，而并非全部離散點(diǎn)的情況.因?yàn)樵趯?duì)實(shí)際問(wèn)題采取數(shù)據(jù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，甚至有個(gè)別數(shù)據(jù)已經(jīng)嚴(yán)重偏離了事物本身的規(guī)律，因此筆者認(rèn)為，對(duì)于極個(gè)別嚴(yán)重偏離的點(diǎn)，應(yīng)該刪除，以減小模型的誤差.例如在A組教學(xué)中，有一位教師用抓硬幣的方式來(lái)測(cè)量了學(xué)生的反應(yīng)時(shí)間.在6次試驗(yàn)中，學(xué)生抓住的硬幣從下往上數(shù)的位置分別是11，5，5，5，5，1.筆者以為第1次和第6次，應(yīng)該屬于實(shí)驗(yàn)誤差，在計(jì)算反應(yīng)時(shí)間時(shí)，應(yīng)該刪除.

7模型的檢驗(yàn)、比較和優(yōu)化

在第5個(gè)環(huán)節(jié)中，可能有學(xué)生給出了2種不同的模型，因此在確定完參數(shù)之后，就要對(duì)多個(gè)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看哪個(gè)模型更接近于實(shí)際問(wèn)題.另外還需要考慮最接近于實(shí)際問(wèn)題的模型，是否還可以進(jìn)行模型或參數(shù)上的優(yōu)化.

先說(shuō)檢驗(yàn)單個(gè)模型的情況.對(duì)已經(jīng)確定的模型，我們可以考慮再獲取一些數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn).例如在D組課題中，教師又提供了馬的體重與脈搏的數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)模型進(jìn)行了檢驗(yàn).在C組課題中，我們也可以再繼續(xù)進(jìn)行測(cè)量5分鐘，或10分鐘之后的溫度，來(lái)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn).另外在檢驗(yàn)過(guò)程中，如果實(shí)際值和模擬值存在偏差，還應(yīng)該要解釋偏差存在的原因.這一點(diǎn)，4組教師的教學(xué)中都有解釋，但是并不完整.偏差的存在筆者認(rèn)為應(yīng)該有3方面：第一，建立的模型并非符合所有的數(shù)據(jù)，因此產(chǎn)生偏差;第二，在獲取數(shù)據(jù)時(shí)，測(cè)量存在著誤差;第三，次要因素對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響所帶來(lái)的偏差.

在檢驗(yàn)多個(gè)模型的過(guò)程中，還要比較模型的優(yōu)劣.由于曲線擬合的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)不唯一，可以說(shuō)沒(méi)有所謂的最優(yōu)擬合，因此對(duì)于擬合模型的優(yōu)劣性判斷，我們只需要考慮誤差是否滿足要求即可，即模型是否更貼近實(shí)際問(wèn)題.對(duì)于多個(gè)模型的優(yōu)劣判斷，一般情況下，如果從圖形考慮就是離散點(diǎn)是否平均的分布在擬合曲線的兩側(cè);從數(shù)據(jù)的角度考慮就是偏差是否相對(duì)較小，比如百分誤差，殘方差等.雖然最小二乘法是目前曲線擬合中，用的比較普遍的一種方法，但是筆者并不贊同一開(kāi)始就用最小二乘法來(lái)進(jìn)行曲線擬合.可以在判斷優(yōu)劣的過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，得到最小二乘法.比如在A組教學(xué)中，對(duì)同一個(gè)模型，得到了兩組不同的數(shù)據(jù)，即方案1和方案2.因方案2得到的擬合值和實(shí)際值的偏差較大，因此很自然地選擇了差值較小的一條曲線方案1.但是教師似乎并不滿意就此結(jié)束，于是追問(wèn)學(xué)生，偏差值有正有負(fù)，有沒(méi)有更好的辦法讓偏差值得到更好的體現(xiàn).學(xué)生回答，可以把偏差值加上絕對(duì)值.教師繼續(xù)啟發(fā)，學(xué)生回答，可以考慮方差.由此就很自然地引出了最小二乘法.而在大多數(shù)的課中，學(xué)生都利用了平均值來(lái)代替擬合值，由于學(xué)生專業(yè)知識(shí)的限制，教師也并沒(méi)有提出最小二乘法的概念，筆者以為這樣處理也可以.

另外在不同的情況下，模型的優(yōu)劣也會(huì)發(fā)生變化.比如在C組問(wèn)題中，若考慮溫度高于70度的情況，則選擇指數(shù)模型更貼近實(shí)際情況;而在溫度低于70度的情況，則選擇冪函數(shù)模型更加貼近實(shí)際情況;若考慮整段的情況，則需要選擇指數(shù)模型.因此在比較模型優(yōu)劣的時(shí)候，需要考慮實(shí)際問(wèn)題的具體情況，從而選擇更好的擬合模型.

所以當(dāng)?shù)玫降哪Ｐ瓦€不夠精確的時(shí)候，我們可以重新回到第6個(gè)環(huán)節(jié)，去尋找一種更好的辦法來(lái)求解參數(shù);或者回到第5個(gè)環(huán)節(jié)，重新尋找一種更好的模型來(lái)貼近實(shí)際問(wèn)題.

8預(yù)測(cè)未來(lái)或解決、解釋實(shí)際問(wèn)題

最后需要回歸實(shí)際問(wèn)題，也就是說(shuō)，需要利用模型來(lái)解決或解釋實(shí)際問(wèn)題，甚至為以后將會(huì)發(fā)生的情況做出預(yù)測(cè)，以方便人們做出決策.例如A組教學(xué)中，有教師否定了2秒準(zhǔn)則，從而提出了t秒準(zhǔn)則;也有教師讓學(xué)生解釋了當(dāng)速度為100km/h時(shí)，必須與前車保持100米以上距離的合理性.再如在C組教學(xué)中，也可以利用模型來(lái)解釋為什么茶道的表演要規(guī)定在10分鐘左右.

對(duì)于預(yù)測(cè)未來(lái)，新教材中在指數(shù)函數(shù)第一課時(shí)中的例子可以給出好的解釋.當(dāng)我們用數(shù)學(xué)建模刻畫(huà)出景區(qū)客流量的規(guī)律之后，就可以對(duì)今后幾年的客流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，以方便人們做出相應(yīng)的決策.

9一點(diǎn)反思

本次活動(dòng)的4組課題通過(guò)數(shù)學(xué)建模處理了實(shí)際生活中的一些問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有用性.因此筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模的最大的實(shí)際意義在于將建模的結(jié)果應(yīng)用于生活，指導(dǎo)我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，能夠更加科學(xué).

由于一節(jié)課的時(shí)間只有40分鐘，并且我們是在限制了很多可變因素的基礎(chǔ)上進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，同時(shí)學(xué)生在知識(shí)的儲(chǔ)備上還沒(méi)有完全到達(dá)真正數(shù)學(xué)建模的要求，因此要在一節(jié)課內(nèi)進(jìn)行完整的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，顯的有些倉(cāng)促.由此筆者認(rèn)為高中的數(shù)學(xué)建模課堂，重點(diǎn)在于讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，即過(guò)程的參與性和完整性，要讓他們明白什么是數(shù)學(xué)建模，建模過(guò)程中要做哪些事情，從而為今后真正的數(shù)學(xué)建模打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在課堂上，筆者以為教師應(yīng)該要調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓更多的學(xué)生參與到課堂中來(lái)，提出他們的觀點(diǎn)和想法.只要是正確的觀點(diǎn)和想法，教師就應(yīng)該順著學(xué)生的想法，繼續(xù)走下去，哪怕得到的結(jié)果不是最好的，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).

新課標(biāo)要求教師盡可能地將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程充分的暴露在學(xué)生面前，吸引學(xué)生積極參與知識(shí)的再創(chuàng)造和發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂會(huì)話中驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“兩個(gè)過(guò)程”的合理性，即數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性和學(xué)生思維過(guò)程的合理性.之前李龍才老師在新課程培訓(xùn)的報(bào)告中也提到，在加強(qiáng)兩個(gè)過(guò)程的合理性的同時(shí)，還要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程.所謂完整，是指我們應(yīng)該要對(duì)多個(gè)實(shí)例進(jìn)行觀察、比較、分析，歸納出共性，抽象出（或提取出）本質(zhì)特征.然后推理出性質(zhì)，并建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)果，最后通過(guò)建模，解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題.