數學文化視角下概念教學的實踐與思考

繆凌穎

1問題的提出

隨著中高考的改革，數學文化儼然成為關注熱點，但受應試教育的影響，大多數教師認為，“數學文化的考察就是找一道古算題讓學生做一做就行了，考試時直接看翻譯，難度不大，要把精力放在其他地方.”可見廣大教師對數學文化的理解存在一定的偏差，數學作為人類文化的重要組成部分，其價值囊括科學、應用、審美、人文四個維度，可見，數學不僅要有理性還應有人文性.《課標（2017）版本》指出：數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動.因此，數學文化融入教學的重要內涵就是數學學科素養的培育、數學史的合理滲透和數學活動的開展.

概念教學是數學教學的重要組成部分，想上好概念課不容易，因為數學概念的形成對學生抽象能力提出了較高的要求，而數學概念的抽象能力培養是伴隨著相關活動經驗的積累而逐步提高的，因此讓學生充分參與概念的建構，感受數學概念形成和發展中的是非曲直，不僅能讓學生感悟研究數學概念的一般套路，也對數學核心素養的發展和理性精神的培育大有裨益.2019年10月31日，在福建省蔡德清名師工作室組織的“數學文化教育教學”專題活動中，筆者有幸開設一節題為《認識二元一次方程組》的數學文化交流課，受到專家們的好評，認為學生活動真實高效、課堂文化氛圍濃厚、關注學科素養發展等.如何讓學生在概念學習過程中感受數學文化？如何讓概念的探究與文化的滲透相得益彰呢？下面筆者結合課堂中的幾個教學片斷，談談數學文化視角下概念教學的實踐與思考.

2數學文化視角下的教學實踐與分析

2.1理解教材做好目標定位

在這節課的備課階段，筆者翻閱了北師大版七年級、八年級、九年級的教材中與方程相關的章節，發現教材編寫不僅體現螺旋上升式的理念，而且十分重視方程學習方法的滲透，體現為每一個方程章節都遵循認識方程——解方程——應用方程的學習順序.其次，教材的單元設計也多處體現數學史的融合，例如，章前圖的雞兔同籠與教材中的牛羊問題，彰顯歷史性的同時又顯得饒有趣味.另外，二元一次方程（組）是一元一次方程學習的后續與發展，對多元高次方程（組）、一次函數和不等式的學習起著承上啟下的作用，而八年級的學生已經系統地學習過一元一次方程，對方程學習的一般過程有自己的體會，面對現實中的簡單問題已經初步具備抽象建模的意識，這些相關知識與活動經驗都為本節課開展類比學習提供了良好的基礎，基于以上分析，確立如下的目標：（1）經歷“歷史趣題”的探究進一步體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，進一步積累方程學習的活動經驗;（2）經歷二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念的形成過程，會判斷一組數是否是某個二元一次方程組的解;（3）積極參與二元一次方程組應用的活動，通過與一元一次方程的對比，感受二元一次方程組的優越性.

2.2創設情境明確研究對象

好的情境是教學得以順利開展的必備條件，情境創設通常有兩個目的：一是回顧相關知識和方法，而是促使當前的問題情境與學生既有的認知結構產生關聯或者沖突，從而激發學生的求知欲.所以情境的創設應成為知識生長的沃土，而選用數學史上的方程趣題來引入教學不僅能讓學生經歷抽象建模的過程又可以讓學生再次感受方程是刻畫現實世界數量關系的產物，體會方程的實用價值.

新課開始，筆者在簡要介紹《孫子算經》以后，出示問題1：“雞兔同籠問題”：今有雞兔同籠，上有8頭，下有26足，問雞、兔各幾何？要求學生用一元一次方程解答，繼而以此題為例回顧一元一次方程的相關知識.接著追問，既然這個問題有兩個未知量，若把雞和兔的只數分別表示成x和y，又能列出怎樣的方程呢？類似地，請學生設出兩個未知量研究“歐幾里得問題”——問題2：騾子和驢馱著酒囊行走在路上.為酒囊重量所壓迫，驢痛苦地抱怨著：“你這么年輕，才比我多馱兩袋.”聽到驢的怨言，騾子說：“你為什么滿腹牢騷，抱怨的應該是我才對呀！因為，如果你給我一袋酒，我負的重量就是你的兩倍.”好心的數學大師，請告訴我，他們所負酒囊各有幾袋？

教學分析通過對雞兔同籠問題和歐幾里得經典問題的思考，引導學生列出新方程，明確本節課的研究對象.這樣的歷史趣題，以動物對話的形式生動活潑地呈現問題情境，讓學生在情境中找到探究之樂，體會現實應用價值，感受數學文化的魅力.

2.3抽象本質生成關鍵概念

數學概念的獲得是觀察、比較、分析、抽象、概括和辨析等一系列高階思維活動的結果，在本節課的概念獲得方式屬于概念的同化，因此要遵循如圖l的流程：

例如，在本節課探求二元一次方程及其解的概念的環節，教師先是提出問題3：觀察上一環節所得到的4個方程x+y=8，2x+4y=26，x-y=2，x+1=2（y-1），這些方程和一元一次方程有什么區別？請嘗試給它們下定義并說明理由.在組織學生討論以后，學生代表1發言：我認為叫二元一次方程，因為它們都有兩個未知數.生2補充：還要注意所含未知數的項的次數都是1.教師引導學生明確：方程定義有兩個關注點——“元”與“次”，并出示問題4：x+y+z=5;xy=7;2m+n=4是二元一次方程嗎？如果不是，應該叫什么名字？很快學生就達成共識：它們分別是三元一次方程、二元二次方程和二元一次方程.

緊接著，提出問題5：滿足x-y=2，且符合實際意義的x，y值有哪些？請把它們填入表1.

學生填表后，教師追問這樣的x，y值有幾組？引導學生類比一元一次方程的解形成二元一次方程解的概念，另外，教師還請學生分享填表經驗，讓學生認識到可以先寫出一個x的值或者y的值再根據一元一次方程確定另一個，不僅滲透了對應的思想而且與一元一次方程也建立了聯系.

教學分析由兩個數學史上的經典趣題探究引出二元一次方程，引導學生觀察歸納方程的本質特征，將感性認知上升為理性認識，讓學生借助一元一次方程的知識自我遷移形成二元一次方程的概念，以正反例的辨認來加深學生對“元”與“次”的認識，讓學生深入理解概念的內涵，明確本質屬性，體現了數學發展的科學性.問題5讓學生嘗試、感受二元一次方程的解的不確定性和對應思想為后續的《二元一次方程與一次函數》學習埋下伏筆.

二元一次方程組及其解的概念探究也是如此，限于篇幅不再贅述.

教學分析《九章算術》是中國古代數學的經典著作，對世界數學的發展產生了深遠的影響，教師通過對它的介紹，讓學生感受中國古代數學文化的實用價值并提升民族自豪感.利用兩種設元方法用來引導學生思考“二次購物”問題，讓學生經歷兩種方法的對比，明確二元一次方程組在面對復雜現實情境時的優越性，其直觀的思維與簡潔的表達讓難點的突破變得十分自然，凸顯了新知學習的必要性，體現數學因現實需求而不斷擴充發展的文化.另外，經歷列表嘗試解方程組的過程使學生認識到其解法研究的必要性，為下節課二元一次方程組的解法教學留下懸念.

2.5整理反思納入知識系統

學生暢談收獲，師生梳理形成知識網絡.

最后教師以一首小詩小結本節課：雞兔同籠各多少，牛羊攜手直幾金.二元方程通今古，抽象建模得始終.

教學分析以開放式和歸納式的小結來引導學生的自我反思，從知識、方法、文化價值上進行拓展和延伸，符合課堂的主題定位.教師以詩歌的形式引領學生一起回顧知識的發生過程，厘清知識之間的邏輯關系，點出學習方程的方法，將零散的知識納入學生原有的認知結構，使課堂富有文學味.

3教學思考

《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》中明確指出：二元一次方程（組）的教學應關注實際問題情境，體現建模思想，把實際問題情境的作為教學的出發點和落腳點.因此，作為二元一次方程（組）的概念教學應遵守從實際問題中抽象研究對象的學習方式，更能體現學習的意義.本節課概念多、任務重，容易出現概念淺表呈現的情況.因此教學必須從宏觀處合理布局，利用數學文化背景下的實際問題情境、組織高效的課堂活動，使學生完整的經歷概念的生成過程并厘清邏輯關系.

3.1立足相關概念的自然生成，發展數學的核心素養

章建躍博士認為：概念課的主旋律是讓學生參與概念本質特征的概括活動.在概念形成的初始階段一定要讓學生充分觀察歸納方程的本質特征，放慢教學節奏讓學生用自己的語言描述，通過與認知結構中的一元一次方程比較，形成認知沖突，讓類比學習自然生成.從現場反饋來看，學生不僅能抓住方程概念的靈魂——“元”與“次”而且遷移效果也很好.其次，針對于這種描述性定義的教學應充分讓學生感受概念抽象過程中的直觀與嚴謹，強調概念的辨析和應用的輔助作用，其他概念的形成也是遵循這樣的流程.因此，二元一次方程相關概念的形成不僅是學生發展數學抽象、數學建模等核心素養的過程，更是教學生用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達世界的過程.

3.2彰顯文理交融的文化特色，感受數學的人文魅力

固然數學的理性與邏輯令人折服，但這不代表數學課堂只能留下冷冰冰的推理與計算.讓數學家、數學史、詩歌等這些富有人文氣息的元素也融入課堂中，讓文和理共同為提高學生的數學素養服務，從而實現文理的完美交融.這節課以《孫子算經》的雞兔同籠來引出二元一次方程的相關概念探究，以《九章算術》的牛羊直金來感受其實用性，這些活動無疑讓學生感到數學文化的魅力，有效提高學生的學習動機水平.從課后的學生問卷分析來看，有97.2%的學生認為數學史融入課堂對本節課的學習很有幫助，100%的學生認為數學史能有效提高學習興趣.以詩歌的形式小結，有94.4%的學生感到印象深刻.因此，讓學生感受數學的人文側面，改變學生的數學觀并欣賞數學的美妙之處.

3.3樹立章節一體的教學觀念，體會知識的理性關聯

章節起始課是章節的劇情預告片，應做到既見樹木又見森林，因此它所承載的任務不單是二元一次方程相關概念的認識，還應引起學生對方程的研究模式的思考，由一元一次方程的研究過程遷移到二元一次方程的研究過程，讓知識的發生與應用顯得水到渠成，這樣的教學不僅避免了概念的單一化又能讓學生體會新知與舊知之間的關聯，逐步建立起章節的初步框架，豐富自身的數學概念系統.例如，本節課立足二元一次方程概念，在學生嘗試求解的過程體會與一元一次方程之間的關系，在研究兩個未知量間的關系時又感受到函數的對應思想.當然，遺憾的是對二元一次方程組的解法關聯略顯不足，從課后問卷統計中發現有5名學生表示希望教師多拓展關于二元一次方程組的解法.其實在牛羊直金問題上可以引導學生思考利用兩組等量關系得到羊的單價分別表示y=8-2x/4，y=12-5x/2，而生3將其兩者劃等號就是“消元”的過程.

3.4落實學生活動的主體地位，營造和諧的課堂文化

課堂文化的是學生學習環境建設的重要內容，只有學生樂于思考、勇于表達、積極合作、和諧交流才能讓深度學習真實發生.本節課立足于特定的學習任務情境，為學生創設閱讀、觀察、思考、辨析、交流等學習活動平臺，在教師的組織下由學生自己去探索概念、去關聯知識.例如，小老師上臺講解、古文翻譯、自己談學習體會等環節都很好地落實了學生學習的主體地位.而教師能稚化自己的思維和學生一起感受知識的發生，分享學習感受，以平等的姿態鼓勵學生的學習，傾聽學生的表達等，這些舉措也為營造和諧的課堂文化做出了貢獻.值得商榷的是對于“驢騾酒囊”情境中體現出的一種相互埋怨的情緒筆者的處理顯得不夠成熟，試著改變兩者的身份，設計出一種互幫互助的情境可能會讓德育的滲透顯得潤物細無聲，實現人文教育與科學教育的和諧平衡.

4且行且思

總之，盡管數學文化的研究由來已久，但在初中數學課堂中的落實還有很長的路要走，兩者的深度融合應成為廣大教師的努力方向.只有當數學文化真正植根課堂，融入教學實踐，數學才變得富有柔情和靈動;只有當數學文化成為人人認同的教育思想，數學課才能引領學生向求真、求善、求美的境界不斷發展，真正實現立德樹人的教育目標.