基于雙樣條擬合的五軸插補算法

黎紅石 樊留群 趙建華 黃云鷹

(①同濟大學中德學院，上海200092；②沈陽機床(集團)設計研究院有限公司上海分公司，上海 200433)

五軸數控加工是獲取高精度復雜曲面的有效手段之一，在船舶、汽車、航空航天等領域都有重要意義[1]，其中刀具路徑規劃則是保障加工質量的關鍵環節。常見的五軸加工采用單樣條曲線進行插補[2]，利用微段平滑加工算法實現加工表面優化，但擬合算法無法區分三軸位置坐標和旋轉軸角度信息，擬合得到的信息是位置和姿態互相影響的結果。雙樣條插補則提出將位于刀位文件中的刀尖點坐標與刀軸矢量分開，利用兩條樣條分別刻畫這兩類信息，以兼顧刀具在加工時位置和姿態兩方面的表現[3-5]。除此還出現多樣條的插補方法，來追求對加工路徑更精確的控制[6]，但由此帶來的計算量也會顯著增加。本文借助于五軸加工標準測試樣件S樣件的刀位文件，采用文獻[2]中的方法對數據點進行分段，針對其工件加工路徑中采取單樣條插補的數據點段，對其使用雙樣條插補，同時結合前瞻速度規劃理論，實現完整的插補計算過程，再對插補結果進行分析對比，驗證雙樣條插補的可行性和實用性。

1 刀位文件生成雙樣條曲線擬合方法的研究

1.1 雙樣條擬合

在現今五軸加工中，常使用的擬合工具為NURBS樣條[7]。NURBS曲線主要由控制點和節點向量構成，樣條擬合目標即控制點和節點向量的求解。雙樣條擬合則涉及到刀尖點和刀柄點兩條樣條的求解。

雙樣條擬合旨在從刀位文件里獲取兩條樣條。每次循環從刀位文件中讀取若干行數據，經過坐標變換。由刀尖點qm=(xm,ym,zm)組成第m個刀尖數據點Q(um)。結合刀軸矢量Om=(Oi,m,Oj,m,Ok,m)以及設定的刀柄長度Lt可以計算出一系列刀柄數據點q′(w)。至此得到刀尖點和刀柄點如圖1所示。

1.2 控制點求解

曲線控制點求解方法采用帶權因子和一階導數約束的最小二乘逼近算法，詳見文獻[7]。

以刀尖點擬合為例，刀柄點曲線擬合與此相同。待擬合數據點qm(m=0，…，r)，其中每個數據點帶有一階導數約束，導數約束向量矩陣用Dm(m=0，…，r)表示。每個數據點qm和Dm都設置由一個稱為權因子的參數進行控制，權因子是用來衡量曲線滿足這項給出數據要求的嚴格程度，如數據點q3的權因子為0時，曲線就必須穿過q3，類似插值。權因子常見取1。

數據點qm和Dm以權因子為判定標準，分為完全約束(權因子為0)和非完全約束(權因子不為0)。參與方程計算的各個矩陣：S表示非完全約束的數據；T表示完全約束的數據；W=[wk]為對角陣，對角線上記錄沒有完全約束時對應的數據權因子值；P=[Pk]為控制點；N記錄非完全約束的數據項的基函數或基函數一階導數信息；M記錄完全約束的數據項的基函數或基函數一階導數信息；

接下來引入拉格朗日乘子A=[λk]，k=0，…，mC，然后列出方程。

在滿足完全約束方程MP=T的情況下，需要時非完全約束方程NP=S等號兩邊誤差最小，即S-NP最小。利用A=[λk]，即需要式(1)達到最小：

(ST-PTNT)W(S-NP)+aT(MP-T)

(1)

將其求導并令導數為0，結合MP=T，可以計算出控制點P=[Pk]。

1.3 節點向量求解

同樣以刀尖點數據為例，要獲得節點向量，需要先將數據點參數化，參數化的方法有很多：均勻參數化、弦長參數化和向心參數化等[7]。本文采用弦長參數化：

(2)

至此可以計算出刀尖點C(u)和刀柄點C′(u)擬合曲線的控制點和節點向量P、U，P′、u′。

2 雙樣條曲線插補研究

利用曲線擬合得到的雙樣條，采用圖2的步驟進行插補。

2.1 曲線插補原理

雙樣條曲線插補需要求得刀尖點樣條的參量uj+1和刀柄點樣條的參量wj+1，插補過程以刀尖點曲線為插補路徑，將其作為主要插補規劃對象，故首先計算刀尖點的參量uj+1。常見的曲線參量計算方法有等參數法、泰勒展開式、四階Adams方法、預測-校正方法[8],本文采用四階Runge-Kutta法進行參量計算[9]。應用到NURBS插補表現為：

(3)

式中:ΔL為一個插補周期中規劃的步長

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于是

(4)

2.2 插補參量同步

得到刀尖點樣條的插補參量uj+1后，需要計算此時刀柄點曲線上的插補點，即確定刀柄點曲線的參量wj+1。為了能從擬合的雙樣條上正確選取反映刀軸矢量原始走向的刀柄點和刀尖點，需要完成插補參量的同步如圖3。常用的同步方法[10]為，當uj+1處于刀尖點曲線節點向量區間[uk,uk+1]時，對應的wj+1也應處于刀柄點曲線節點向量區間[wk,wk+1]。

在保證兩條樣條的參量始終處于同一角標的節點區間后，可以定義區間內參量uj+1與wj+1的對應關系，一般以其線性變化關系建立等比關系式如式(5)：

(5)

3 前瞻速度規劃

在雙樣條插補過程中，為了保證刀具的運動特性良好、減緩機床振動和改善工件質量，也同樣會面臨速度規劃的問題。前瞻速度規劃指在動態緩沖區預讀若干程序段，獲得多根樣條的點位信息，提前計算是否存在危險點并在發現時為其分配速度，以此確定出各個速度節點，形成速度分段。然后按給定的速度曲線計算段內的加減速情況，完成每一個插補點的步長計算，從而為插補器提供信息，并在有新的擬合樣條信息加入緩沖區時進行刷新，更新各節點給定的速度[11-12]。其中段內加減速采用S曲線加減速規劃圖[13]。

以整體加速過程為例， 即vs≤ve，需要計算兩個臨界距離，一個是按照上述S型曲線加減速圖從vs加速到最大速度從F再減速到ve的距離Rmaxl，一個是直接從vs加速到ve的距離Rminl，然后與該段本身相距長度D進行比較，情況如下：

(1)D>Rmaxl：則速度規劃為，從vs加速到最大速度F，然后以F勻速加工D-Rmaxl長度，再減速到ve；

(2)Rminl≤D≤Rmaxl：此時刀具無法做到加速到最大速度F再減速，但又有過于充足的距離加速到ve，便根據節點間距離D的大小反算得到一個中間速度vtemp，通過加速到vtemp再減速到ve來實現最大加工效率。但值得注意的是，vtemp的大小需要保證vs到vtemp的加速段長和vtemp到ve的減速段長大于插補周期T內按照S型加減速該位置對應的插補步長ΔL，否則插補時得到的插補點會越過該中間速度點。

(3)D

減速過程同理，計算兩個臨界距離，也有3種規劃情況。

完成速度規劃之后，通過計算起始點到當前插補點的弧長來確定該點在速度規劃里的位置，從而獲得對應的速度。但由于本文是采用Runge-Kutta法求解插補參量的，公式中不是直接使用瞬時速度，而是一個插補周期T內的步長ΔL，即速度圖上當前點向后一個T時間范圍走過的面積。

所以在給定一個參量uj后，按照速度規劃的結果，得到的是一個步長ΔLj。但到現在為止速度規劃僅考慮了單條樣條的插補情況，反映在五軸加工上即只顧及了刀尖點qm=(xm,ym,zm)的運動狀態。于是在實時獲得ΔLj且計算出uj+1后，還需要利用式(5)得到刀柄曲線wj和wj+1，分別計算出C(uj)、C′(wj)以及C(uj+1)、C′(wj+1)。并結合C(uj-1)、C′(wj-1)來計算刀軸矢量A(uj)變化的速度和加速度如圖4。

(6)

如果求得的速度和加速度滿足最大角速度、角加速度約束，則ΔLj可以使用，否則按照最大角速度、角加速度約束反解允許的最大步長ΔLjmax，然后再利用式(3)求插補參量uj+1。

4 實驗結果與分析

實驗采用S樣件的刀位文件，利用最小二乘法，分別對直接插補 (利用坐標變換前X,Y,Z,A,C形成的五維向量作為原始點) 和雙樣條插補進行擬合。得到結果圖5～7。

從結果圖中可以看出，S樣件的數據點中會出現刀軸矢量突變的情況，采用平移坐標和旋轉坐標合并的直接插補法擬合，矢量擬合誤差小，但會沿襲這樣的曲線特性；而采用雙樣條插補的計算方法進行擬合，會填補刀軸矢量使其平滑過渡，但擬合誤差會增大。

插補過程中，采用參數：插補周期T=1 ms、最大進給速度F=2 000 mm/min、最大加速度為a=600 mm/s2、最大加加速度J=20 000 mm/s3、最大弦高誤差error=0.01 mm。插補結果如圖8。

在兩種插補方法中，實驗數據點被分為了三段進行擬合，在采用相同的速度規劃策略的前提下，直接插補法在樣條內部會多產生幾個危險點，使其最終插補速度曲線呈現多次加減速；雙樣條插補也因平均速度更大，整個插補所用時間也更短。從加速度曲線來看，雙樣條插補能保證所有點的加速度都滿足最大加速度要求且波動次數更少。最后旋轉軸速度運動表現上，也如同擬合結果分析的那樣，雙樣條插補的旋轉軸速度過渡更平滑。

5 結語

本文對五軸加工中雙樣條插補的整個計算過程進行了仿真模擬，并將其與常見的直接樣條插補法進行了比較。兩種插補方法均采用相同的最小二乘擬合方法以及S型曲線速度規劃，從模擬結果數據可以看出，雙樣條插補與直接插補法在刀尖點的擬合精度上差別不大，但在刀軸矢量上，雙樣條插補犧牲了一定的擬合精度。但不管是刀尖點還是旋轉軸，雙樣條插補得到的運動參數曲線表現都更出色。在五軸加工中，根據原始點數據信息和機床自身特性，可以適當采取不同的插補方法，雙樣條插補不失為不錯的選擇之一。