立體幾何中平行和垂直問題的證明

李普紅

平行與垂直關系的證明是高考考查立體幾何的高頻考點，大部分問題都可以用傳統的幾何方法解決，有一部分問題需要建立空間直角坐標系利用空間向量解決。用傳統法解題時，應注重線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等問題的性質定理和判定定理的靈活應用。用向量法解題時，應建立恰當的空間直角坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標。

考向一：證明線面平行

例1 如圖1，已知空間幾何體BACDE中，△BCD與△CDE均是邊長為2的等邊三角形，△ABC是腰長為3，底邊為BC的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD。

（1）試在平面BCD內作一條直線，使得直線上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出證明;

（2）求三棱錐EABC的體積。

解析：（1）如圖2所示，取DC的中點為N，BD的中點為M，連接MN，則MN即為所求。

連接EM，EN，取BC的中點H，連接AH。

因為△ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點，所以AH⊥BC。

平行或垂直關系的證明常出現在解答題的第一問，對同學們的直觀想象能力要求很高。特別地，有一類問題是只有在第一問利用幾何法證明了垂直關系，才能在后面的問題中建立空間直角坐標系解題，所以平時應注重這方面的訓練。 （責任編輯 王福華）