創(chuàng)新視角下的立體幾何圖形變換問題

翟榮俊

立體幾何是高考的重要內(nèi)容，而圖形變換問題更是一類常考題型。圖形變換，使得立體幾何問題由“靜態(tài)”轉(zhuǎn)為“動(dòng)態(tài)”，并在“動(dòng)態(tài)”過程中生成新的問題加以考查同學(xué)們的空間想象能力和抽象思維能力，提升同學(xué)們的直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。圖形變換過程中，原圖形中的部分幾何元素的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，因此，如何合理分析變換前后圖形的關(guān)系，特別是抓住動(dòng)態(tài)變換中的幾何關(guān)系的不變性及相互關(guān)系，是解決這類問題的關(guān)鍵。近年來，立體幾何中的圖形變換問題也出現(xiàn)了一些新的變化。本文旨在通過對(duì)立體幾何圖形中的變換問題進(jìn)行剖析，為2021屆高三數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)提供一些參考。

視角一：平移無形變有形，優(yōu)化運(yùn)算顯本領(lǐng)

點(diǎn)評(píng)：本題是一道有一定難度的立體幾何問題，空間向量在本題中使用并不方便，解題的關(guān)鍵在于掌握?qǐng)D形中的線面關(guān)系，通過平移變換，將線段AD平移到QE，將線段BF平移到CN，從而使得原來無形的線面角轉(zhuǎn)化為了有形的∠NCH。可見平移變換，讓原本看似很困難的問題轉(zhuǎn)化為了同學(xué)們熟悉的考題，也將原本很難運(yùn)算的空間角問題變得比較方便，優(yōu)化了運(yùn)算。

視角二：旋轉(zhuǎn)線動(dòng)成曲面，曲直結(jié)合益解題

例2（2020年山東濟(jì)南模擬）已知直

點(diǎn)評(píng)：本題是一道通過直角梯形旋轉(zhuǎn)得到曲面，進(jìn)而圍成幾何體的考題，讓同學(xué)們直觀感受圓臺(tái)（局部）的形成過程，動(dòng)靜結(jié)合，考查了同學(xué)們的空間想象能力。兩個(gè)小題都是圍繞幾何體中的線線關(guān)系展開，考查同學(xué)們對(duì)于旋轉(zhuǎn)過程中不變量和不變關(guān)系的掌握，是否能熟練將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題加以研究和解決。

視角三：翻折化平面為立體，折前折后巧分析

點(diǎn)評(píng)：這道考題通過翻折完成了由平面到空間的轉(zhuǎn)化，翻折過程由“動(dòng)”到“靜”，考查同學(xué)們是否能正確分析翻折過程中哪些量是不變的，哪些量是改變的。處理此類翻折問題時(shí)，通常需要對(duì)照分析折前的圖形和折后的空間圖形，抓住翻折過程中的不變量和不變關(guān)系，這樣容易對(duì)有關(guān)線段、角的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系作出正確判斷。

視角四：割補(bǔ)解決局部問題，原有性質(zhì)要用好

點(diǎn)評(píng)：本題從一個(gè)三棱柱出發(fā)，通過切除一部分，完成由“靜”到“動(dòng)”的割補(bǔ)過程，考查同學(xué)們對(duì)幾何圖形的理解能力，抓住割補(bǔ)變化后的不變性質(zhì)。在問題的設(shè)置上，重點(diǎn)考查同學(xué)們?cè)诶斫庠庵再|(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)局部圖形的研究。第（2）問的解答中，巧妙地引入了等體積法，將圖形變換中的體積轉(zhuǎn)換融入其中，再一次實(shí)現(xiàn)了由“靜”到“動(dòng)”的靈活考查。

立體幾何中的圖形變換問題是高考考查的熱點(diǎn)問題，是平面幾何與空間幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)。縱觀近兩年的高考試題，圖形變換試題的靈活性越來越明顯，能力要求也越來越高。處理這類問題的關(guān)鍵是抓住變換前后兩圖的特征關(guān)系，特別是抓住變換過程中的不變?cè)亍?/p>

總之，立體幾何中的圖形變換看似變化多端，實(shí)則有規(guī)律可循，解答圖形變換問題，需要同學(xué)們樹立信心，掌握解題的常用方法，積極深入地分析問題的特征，才能順利解答。

（責(zé)任編輯 王福華）