創新視角下的立體幾何開放題

葉亞美

數學開放題，是指無明確條件或結論，必須經過認真分析、探究，方能獲解的試題。因能有效考查同學們的思維品質，創造性地分析問題和解決問題，開放題正逐漸成為新高考數學創新命題的新趨勢。近年來各地立體幾何解答題中開放題的考查形式主要為結構不良試題及探索存在問題。本文擬通過對這兩類開放題的解析，為2021屆高三數學立體幾何復習備考提供一個參考。

創新題型1——結構不良試題：難在策略選擇，重在推理嚴謹

立體幾何開放題中結構不良試題多指條件殘缺問題。解此類結構不良試題時，需根據題目要求在給定條件中選擇部分條件，并利用選定的條件解決相關問題。結構不良試題突出了思維的靈活性及策略選擇，能夠對數學理解能力、數學探究能力、數學推理能力的考查起到積極的作用。

點評：由上述解答可以看到，無論選擇哪兩個條件，都可解答題目。而且，在選擇的三個條件中，并沒有哪個選擇讓解答過程比較繁雜，只要熟練掌握空間點、線、面的關系，嚴謹推理，都可順利得到PB⊥平面AEFD及四邊形AEFD為直角梯形，為求體積比奠定基礎。第（2）問通過建立空間直角坐標系，將“求直線PC與平面ADFE所成角的正弦值”的問題轉化為向量運算，減少了邏輯推理的過程，這種向量運算的方法也是今后求空間角、距離的常用方法。

點評：由上述解答可以看到，當四邊形ABCD為菱形時，本題所給的條件②是不符合要求的，故能否作出正確判斷，并合理選擇①③十分關鍵。當選定條件后，證明PO⊥面ABCD，只需用線面關系進行嚴謹推理即可。后面的求二面角APB-C的余弦值有兩種方法：其一是向量法，即以O為坐標原點，以OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，通過向量運算求解;其二是直接法，即過點C作CM⊥PB于M，連接AM，可以證明∠CMA為二面角APB-C的平面角，再通過計算求解即可。

創新題型2——探索存在問題：貴有解題思路，成在思想方法

立體幾何中的探索存在問題，因“是否存在”的不確定性，增強了試題的開放性。解答探索存在問題時，一般先假定結論存在，并以此進行推理，若能推出矛盾，即可否定假設;或先利用一定的數學思想方法探索存在的可能性，再加以論證。探索存在問題能較好地考查同學們的觀察能力、猜想能力、分析判斷能力、運算能力等。

點評：題（1）（2）只需用空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，進行嚴謹推理即可獲證。題（3）由于點E具有不確定性，通過“假設在棱AM上存在一點E”，將不確定的問題轉化成嚴格論證探討的過程，而通過建立平面直角坐標系，又將探索“點E是否存在”的問題轉化為“求符合條件的參數λ的值”的問題，其解決常常用到方程思想。這種“假設——論證（或求解）”的方法是解決探索存在問題的常用方法。而利用空間向量及待定系數法求解存在性問題顯然思路簡單、解法固定、操作方便，應引起重視。

結構不良試題及探索存在問題是近年高考立體幾何開放題中的高頻考題，充分體現了高考能力立意的指導思想，解決兩種開放題，特別要關注求解策略，充分利用向量的工具作用，以及轉化思想、方程思想等，請同學們多去探索，去體會，切實提高解題能力。

（責任編輯 王福華）