空間向量應用的誤區(qū)提醒

王慶敏

空間向量是解答立體幾何問題的有力工具，問題求解的過程是通過建立空間直角坐標系，引入點的坐標，表示出相關向量，將距離、平行、垂直、夾角問題轉化為相應的向量關系問題。但同學們在應用空間向量解題時，常會由于建系不合理、混淆有關概念、過程不規(guī)范等原因，造成錯誤。本文總結了幾類典型的易錯點，給予提醒。

一、建系不合理或盲目建系

建立空間直角坐標系是應用空間向量解題的“起點”，通過恰當建系、準確求出點的坐標，再表示出相應向量，進而利用向量的關系求解空間幾何問題。但要注意的是解題時要避免盲目建系，小題大做（證明平行、垂直一般不需要建系;求解距離時很少建系;在易作平行線求異面直線所成的角、易作平面的垂線求線面角、易作交線的垂線求二面角時可不用建系）。

誤區(qū)提示：恰當建立坐標系是使計算簡捷的有力保障，如果建系不合理，會導致點的坐標無法求出或不易求得，向量無法表示，進而使計算過程較為煩瑣，甚至可能出現無法計算出結果的情況。解答本題時，同學們的建系方式五花八門，有一部分同學把點B或D視為空間直角坐標系的坐標原點，導致某些點的坐標不易求解，陷入解題誤區(qū)。

二、過程不嚴謹

建立空間直角坐標系時，要選擇兩兩垂直的三條直線為坐標軸，但這種垂直關系往往不會直接給出，而是需要先證明后再應用。誤區(qū)提示：空間直角坐標系的建立要充分利用題目中直接或間接給出的線線垂直關系，本題中給出了矩形、等腰三角形，因此可利用相關圖形的性質得到線線垂直關系。類似地，若題目條件中含有菱形，則可利用其對角線互相垂直得到線線垂直關系。但要注意，在問題的求解中利用這些關系建立坐標系時，要給出必要的說明。

三、忽視線面角與向量角的關系

線面角是直線與其在平面內的投影的夾角，而利用空間向量求線面角時，通常求出的是直線的方向向量與平面法向量的夾角，要注意二者的關系。

例3 （2020年貴州遵義高三期中（理））如圖5，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為邊AM，MD的中點，在五棱錐P-ABCDE中，F為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H。

（1）求證：AB∥FG;

（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小。

解析：（1）在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB∥DE。

解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識。二是向量的坐標運算體現了數形結合的思想。用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：①要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？④怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？從立體幾何解答題的答題情況看，同學們出現“會而不對，對而不全”的現象嚴重（解題中論述不嚴格，條理不清，缺條件，因果關系不成立等）。在平時的訓練中，要注重思維的條理性和表達的規(guī)范性，做到分析問題有理有據，表達論證合規(guī)合矩。在立體幾何解答題的作答中，防止出現“跳”（步），“離”（圖形與書寫相脫離），“省”（省略關鍵步驟）等現象。乍一看，結果（論）正確，似乎沒有問題，但經不起仔細推敲。在平時訓練中，要做到：符號語言要規(guī)范，表達要嚴謹（建系的說明）。分分必爭！對照歷年高考閱卷的評分細則和評分標準嚴格做到解題步驟書寫規(guī)范，踩點得分，分步得分。要實現：想得清楚，說得明白，寫得干凈。

（責任編輯 王福華）