同軸離心式噴嘴熱聲不穩定性遞歸網絡分析

楊尚榮, 周晨初 ,王牧昕

(1.西安航天動力研究所 液體火箭發動機技術重點實驗室, 陜西 西安 710100； 2.中國航天科工集團公司六院210所，陜西 西安 710065)

0 引言

熱聲系統中火焰、流場和聲場間存在復雜的耦合關系，因此，熱聲系統可以作為復雜系統處理[1]。復雜網絡方法常用來研究復雜系統[2]，研究思路為首先將研究對象轉換為網絡結構形式(僅包含節點和邊)，然后利用網絡測度(包括節點、邊、全局測度)進行量化分析。近來被應用到熱聲系統的動力學研究中，可以獲得更多非線性動力學特性方面的信息，此外，基于復雜網絡方法，可以發展出熱聲系統中熱聲振蕩和貧燃熄滅的預測方法[3]。

Murugesan利用可視化網絡(visibility networks)方法將壓力時間序列轉變為復雜網絡，發現燃燒噪聲具有無標度(scale—free)網絡特征[4]，而熱聲不穩定具有規則的分布特征。王金華利用可視化網絡構建了湍流火焰面的拓撲結構，標記出對湍流火焰面有較大影響的關鍵褶皺結構，分析了湍流與火焰的相互作用規律[5]。Okuno采用周期網絡(cycle networks)和k—鄰近網絡(k—nearest neighbors)研究了燃氣輪機模型燃燒器中的熱聲不穩定現象，發現熱聲不穩定具有準周期和高維度特征，節點度顯示出冪律型分布，同時較小的平均路徑長度和較大的聚類系數說明系統存在小世界(small—world)特征[6]。Gotoda利用改進的可視化網絡和遞歸網絡研究了湍流受限火焰的熄滅過程，發現接近火焰熄滅時的燃燒狀態具有小世界特征，網絡的平均度可以作為火焰熄滅的在線預測工具[7]。Murugesan在鈍體穩焰湍流燃燒器的動力學研究中，發現復雜網絡的一些測度，如特征路徑長度、聚類系數、網絡直徑、全局有效性可作為熱聲振蕩和貧燃熄滅的預測指標[8-9]。Godavarthi利用遞歸網絡方法[10]，發現特征路徑長度、介數中心性可對湍流燃燒器中的動力學轉變過程進行預測。Murayama利用旋渦間相互作用構造了湍流網絡，研究了預混火焰燃燒噪聲階段速度場的動力學特征，發現其具有無標度網絡特征[11]。

同軸離心式噴嘴是液體火箭發動機常用的雙組元噴嘴之一，對其燃燒穩定性的研究一直受到學者們關注。Miller開展了同軸離心式噴嘴燃燒試驗，發現對于特定噴嘴，燃燒不穩定只發生在一定的頻率范圍內[12]。Wierman研究了氣中心同軸離心噴嘴的燃燒響應，發現氧噴嘴長度對振蕩幅值的影響較大[13]。王楓研究了氣液同軸噴注器的結構尺寸和工作參數對燃燒穩定性的影響，發現噴嘴縮進長度對燃燒穩定性裕量影響很大且存在相對最佳值[14]。王延濤試驗發現氣氣同軸離心噴嘴的自發燃燒不穩定過程出現了“滯后”現象[15]。王迪開展了氣液同軸離心式單噴嘴模型發動機燃燒試驗，發現增加縮進長度會對縱向燃燒不穩定產生阻尼作用，但在某些特定的燃燒室長度下，上述阻尼作用可以忽略[16]。

本文開展同軸離心式噴嘴穩定性試驗研究，采用遞歸網絡方法分析同軸離心式噴嘴火焰動力學特性，為液體火箭發動機穩定性評估和預測提供參考。

1 實驗系統和數據處理方法

1.1 實驗裝置

燃燒試驗系統原理如圖1所示[15]，系統用來進行單噴注器燃燒模擬實驗研究[17]。

1—噴嘴；2—支架；3—模擬噴注器面板；4—模擬燃燒室；5、6—換熱器；7—通風系統；8—脈動壓力傳感器。圖1 燃燒試驗系統原理圖Fig.1 Schematic of test bench

模擬燃燒室為敞口圓筒形結構，直徑156 mm，高277 mm，垂直安放在模擬噴注器面板上。試驗用噴嘴(見圖2)[15]為帶縮進室的同軸離心噴嘴，外噴嘴為離心煤油噴嘴，出口直徑16.4 mm，內噴嘴為直流氧化劑噴嘴，出口直徑13.4 mm，縮進室長度為10.5 mm。噴嘴安裝于模擬燃燒室中間位置，出口與模擬噴注器面板平齊。氧化劑為400 ℃的富氧氣(氧氣88%+空氣12%)，燃料為410 ℃的煤油蒸氣，均由換熱器加熱至相應溫度。

1—直流噴嘴；2—離心噴嘴；3—節流嘴；4—富氧氣通道；5—縮進室。圖2 帶縮進室的同軸離心噴嘴Fig.2 Recessed coaxial injector

1.2 試驗方法和工況

試驗中，燃料流量不變，逐步增加氧化劑流量至各工況點，如表1所示[18]。脈動壓力傳感器安裝在燃燒室壁面距噴注器面板20 mm的位置(見圖1)，采樣頻率12.8 kHz。

表1 試驗工況點

1.3 遞歸網絡

遞歸網絡是將時間序列轉變為復雜網絡的其中一種方法。對于壓力時間序列{x(i):i=1,2，…,m}，由時間延遲重構技術可以得到延遲向量[19]

式中：d為嵌入維數，通過虛假最鄰近法[20]確定；τ為延遲時間，取采樣間隔的整數倍，通過互信息法[20]確定。

式中：Θ為Heaviside函數；ε稱為遞歸閾值；N=m-(d-1)τ為重構相空間中向量的數量；2條軌跡間的距離通過L2范數進行計算。

遞歸網絡的鄰近矩陣元素Aij利用遞歸矩陣元素Rij由下式計算得到[20]

Aij=Rij-δij

式中δij為Kronecker delta。當i=j時，δij=1；當i≠j時，δij=0。

鄰近Aij提供了節點和節點間邊的信息，如果Aij=1，則節點i和j有邊相連；如果Aij=0，則節點i和j不相連。從定義可以看到，遞歸網絡是無向、對稱、無權重網絡。

2 實驗結果及分析

2.1 壓力時間序列分析

試驗中燃料流量不變，隨著氧化劑流量的增加(混合比增加)，系統從燃燒噪聲轉變為熱聲不穩定狀態。圖3中列出了典型工況下(混合比0.81、2.97、4.32)的壓力時間序列?？梢钥吹?，混合比0.81時系統振蕩幅值很低，為燃燒噪聲狀態。混合比2.97時，系統出現大幅值壓力振蕩和小幅值壓力振蕩間隔出現的現象，稱為陣發現象?；旌媳?.32時，系統出現了幅值較一致的高幅值壓力振蕩。

不同混合比下的壓力均方根值如圖4所示。在混合比為2.35時，模擬燃燒室出現了自激燃燒不穩定，混合比為2.97時，振蕩幅值達到最大，繼續增加混合比，振蕩幅值有所下降。壓力均方根值常被用來在線評估燃燒系統的穩定性。但由于燃燒不穩定的幅值在出現不穩定之前是未知的，因此將其作為不穩定預測的參數不合適。此外，即使壓力均方根值較高，也有可能是噪聲引起的[10]。因此需要其他可以評估和預測燃燒不穩定的參數。

圖3 不同混合比條件下的壓力時間序列Fig.3 Pressure time series for different mixture ratios

圖4 不同混合比下最大功率譜幅值Fig.4 Maximum amplitudes of PSD for different mixture ratios

2.2 網絡拓撲結構

2.2.1 最優延遲時間

采用交互信息法求最優延遲時間τ時，取互信息法的第一個局部最小值為最優延遲時間。求得混合比0.81、2.97、4.32時最優延遲時間τ分別為0.11、0.07、0.07 ms。圖5顯示了混合比2.97時最優延遲時間計算結果。

圖5 混合比k=2.97時最優延遲時間Fig.5 Optimal delay time for mixture ratio k=2.97

2.2.2 嵌入維數

獲得最優延遲時間后，利用虛假最鄰近法求解嵌入維數。求得混合比0.81、2.97、4.32時嵌入維數d分別為15、9、8。圖6顯示了混合比2.97時的最小嵌入維數計算結果。

圖6 混合比k=2.97時最小嵌入維數Fig.6 Minimum embedding dimension for mixture ratio k=2.97

2.2.3 網絡拓撲結構

圖7中列出了典型工況下(混合比0.81、2.97、4.32)的遞歸網絡拓撲圖。混合比0.81時為燃燒噪聲狀態，體現出隨機網絡特征?；旌媳?.97時為陣發狀態，網絡圖顯示出中央聚集和周期邊界特點，中央聚集表示系統為低幅值振蕩，由遞歸圖分析可知[18]，系統為準周期振蕩，周期邊界代表系統為大幅值極限環振蕩狀態?；旌媳?.32時為準周期振蕩狀態，顯示出寬邊界圓環特征?？梢钥闯?，遞歸網絡拓撲圖體現出了不同燃燒動力學狀態下吸引子的幾何特征。

圖7 3種混合比下的網絡拓撲結構Fig.7 The topologies of recurrence networks for the mixture ratios

2.3 遞歸網絡分析

采用遞歸網絡中幾種全局測度對系統狀態轉變過程進行量化估計。分別利用1 000()、1 500()、2 000()個數據點計算各網絡測度值，見圖8。可以看出，除介數中心性(數值隨數據點個數增加而向下平移減少，但表現出相同的變化規律)外，其他網絡測度值均體現出了良好的收斂性。

平均度：單個節點的度定義為

代表與節點v相連的節點的數量。平均度定義為

平均度正比于遞歸量化分析中的量化指標——遞歸率[21]，遞歸率在文獻[18]中進行了分析，因此本文不再對平均度進行分析。

聚類系數：聚類系數是節點聚集性的測量，量化任意節點領域內的節點是否互為相鄰節點。單個節點的聚類系數定義為

式中：Nv為與節點v相連的節點之間邊的數量；kv(kv-1)/2表示與節點v相連的節點之間最大可能的邊的數量。整個網絡的平均聚類系數定義為

圖8 網絡測度隨混合比的變化Fig.8 Variation of recurrence networks measures with mixture ratios

從圖8(a)看到，聚類系數在陣發振蕩時值最大，燃燒噪聲時值最小。說明燃燒噪聲階段，節點間相互獨立性較強，體現出隨機特性。陣發振蕩存在低幅值準周期振蕩(中央聚集)，準周期振蕩狀態存在寬邊界圓環聚集，因此聚類系數較大。

特征路徑長度：節點i和節點j之間的最短路徑長度Li,j定義為連接兩節點所需要的最少邊數，對于不相連的節點，Li,j=0。特征路徑長度L定義為所有點之間最小路徑長度之和與所有節點之間可能的邊的數量的比值

從圖8(b)看到，L在陣發振蕩時值最大，準周期振蕩和燃燒噪聲時較小。陣發振蕩時，高幅值振蕩節點和低幅值振蕩節點間距離遠，路徑長，因此特征路徑長度大。噪聲狀態網絡總邊數較少(可從網絡圖的密度看出，與遞歸閾值ε的取值方法有關)，正規化后特征路徑長度小。

網絡直徑：網絡直徑定義為特征路徑長度的最大值

D=max(Li,j)

從圖8(c)看到，網絡直徑趨勢與特征路徑長度稍有不同，燃燒噪聲時較小，陣發振蕩和準周期振蕩時值較大，說明燃燒噪聲時節點互聯度高。

全局有效性：全局有效性E定義為

表征節點間互達的有效性。對于不相連的節點，Li,j=。全局有效性是最短路徑長度的倒數和，因此，如果特征路徑長度小，則全局有效性高，意味著網絡是高度互聯的。從圖8(d)看到，全局有效性與特征路徑長度趨勢相反，燃燒噪聲時值最大，說明節點高度互聯。

介數中心性：單個節點的介數中心性定義為經過該節點的最短路徑與所有最短路徑的比值

式中：σi,j為節點i和j之間最短路徑的數量；σi,j(v)為節點i和j之間最短路徑且經過節點v的數量。介數中心性確定相空間中連接兩個高密度區域的低密度區域。從圖8(e)看到，介數中心性在陣發振蕩時值最大，準周期振蕩時較小，燃燒噪聲時值最小。較高的介數中心性說明吸引子具有較高的局部破碎[20](fragmentation)。陣發狀態相空間中高密度區域的分布不一致，因此介數中心性在陣發狀態時數值較大。

同配性：定義為所有邊兩端節點的Pearson相關系數

式中B=∑i

從圖8(f)看到，同配性在3種狀態下均為正值，即均為同配網絡。在陣發振蕩時值最大，準周期振蕩時聚類系數較小，燃燒噪聲時值最小。

通過上述計算分析，發現復雜網絡的一些測度，如特征路徑長度、聚類系數、介數中心性、網絡直徑、全局有效性等在3種燃燒狀態下，其值存在明顯的差異，因此均可作為同軸離心式噴嘴燃燒動力學轉變過程的表征指標。進一步，與壓力均方根值一起作為系統穩定性的判斷標準，可以提高預警系統的可靠性。

3 結論

采用遞歸網絡方法對同軸離心式噴嘴燃燒穩定性進行了分析。獲得了以下結果：

1)試驗中隨著混合比的增加，系統依次經歷了燃燒噪聲狀態、陣發狀態和準周期振蕩狀態。

2)網絡拓撲遞歸網絡體現出了不同狀態下吸引子的幾何特征。燃燒噪聲狀態顯示出隨機網絡特征，陣發狀態時顯示出中央聚集和周期邊界特點，準周期振蕩狀態顯示出寬邊界圓環特征。

3)網絡測度，如聚類系數、特征路徑長度、介數中心性、網絡直徑、全局有效性、同配性等均可作為同軸離心式噴嘴燃燒動力學轉變過程的表征指標，可與壓力均方根值一起作為系統穩定性的判斷標準。