共軛梯度算法在振動信號處理中的應(yīng)用

李琪琪，莊 建，王智超，張國慶

(北京航天試驗(yàn)技術(shù)研究所，北京 100074)

0 引言

在液體火箭發(fā)動機(jī)試驗(yàn)過程中，當(dāng)出現(xiàn)異常頻率振動時，由于能量集中，很容易使發(fā)動機(jī)破壞，如出現(xiàn)在渦輪泵轉(zhuǎn)動頻率附近的“次同步”振動，可在十分之幾秒內(nèi)使渦輪泵軸承毀壞[1]。可見，發(fā)動機(jī)試驗(yàn)振動參數(shù)的測量及數(shù)據(jù)的有效分析對于保證發(fā)動機(jī)不受損壞，預(yù)防試驗(yàn)破壞性具有一定的意義[2]。

目前液體火箭發(fā)動機(jī)試驗(yàn)振動信號的處理、分析主要在頻域進(jìn)行[3]，分析多用傅里葉變換的譜估計(jì)方法[1]，這種方法有著分辨率低和旁瓣泄漏嚴(yán)重的固有缺點(diǎn)，嚴(yán)重時會將振動信號中包含的主要頻率特征掩蓋，而產(chǎn)生較大的失真。而現(xiàn)代譜估計(jì)方法可以有效地解決這個問題，現(xiàn)代譜的精確估計(jì)值可以當(dāng)作是解一組線性方程，AR(auto—regressive)、MA和ARMA是功率譜中的主要參數(shù)模型。AR參數(shù)模型譜估計(jì)是現(xiàn)代譜估計(jì)中最常用的時間序列的建模方法，目前已廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如雷達(dá)、聲納、機(jī)械等。

在每種模型的建立中，其核心問題是其參數(shù)的求解問題。在本文中用共軛梯度算法以及線性預(yù)測的知識來求解參數(shù)，實(shí)現(xiàn)功率譜估計(jì)[4]。共軛梯度法是一種具有低計(jì)算復(fù)雜度和高計(jì)算效率的參數(shù)計(jì)算方法[5]。

對基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)仿真分析，并用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。與傳統(tǒng)的經(jīng)典譜估計(jì)算法相比，本文的算法具有更好的分辨率。

1 基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法

1.1 AR模型概述

對于一個AR模型，其中輸入是白噪聲u(n)，輸出是x(n)，可表述為[6-9]

(1)

(2)

一個p階的AR模型共有p+1個參數(shù)，即σ2和a1,a2,…，ap。AR模型參數(shù)的估計(jì)是通過求解自相關(guān)矩陣方程得到的[10]，本論文中將共軛梯度算法和線性預(yù)測的算法應(yīng)用到AR模型譜估計(jì)中，得到參數(shù)后將其代入式(2)即可得到x(n)的功率譜。

1.2 共軛梯度算法

共軛梯度算法的迭代公式如下[11-12]。

(3)

w(n)=w(n-1)+α(n)p(n)

(4)

(5)

(6)

p(n+1)=g(n)+β(n)p(n)

(7)

式中：x(n)為信號輸入量；R(n)為輸入信號x(n)的自相關(guān)矩陣。式(3)～式(7)中，初始條件為w(0)=0,g(0)=b(0),b(0)=1,p(1)=g(0)，λf=0.999 9，η=0.999，M=70，M=p，N=1 024。在求解過程中設(shè)初值如下R(0)為一個N×N的0陣；g(0),b(0),p(1)為M×N的全1陣，最后通過迭代求出w(n)，即式(2)中的p個參數(shù)a1,a2,…,ap。

1.3 線性預(yù)測算法

一個p階的AR模型和一個p階的線性預(yù)測器是等效的。線性預(yù)測器誤差能量的均值記為l，p階預(yù)測器對輸入x(n)預(yù)測的最小均方誤差lmin為[13-14]

(8)

對同一平穩(wěn)隨機(jī)信號x(n)，因?yàn)槠渥韵嚓P(guān)函數(shù)是相同的，所以有

(9)

這樣便用線性預(yù)測的算法求出了AR模型激勵白噪聲方差σ2，再由共軛梯度算法式(3)～式(7)求出p個參數(shù)ak，將這p+1個參數(shù)代入式(2)中即實(shí)現(xiàn)了信號x(n)的功率譜估計(jì)。

2 MATLAB算法仿真

2.1 仿真方案與條件

利用MATLAB仿真標(biāo)準(zhǔn)正弦信號，并加入白噪聲干擾信號。分別用經(jīng)典譜估計(jì)算法中的直接法和基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法對仿真的標(biāo)準(zhǔn)信號進(jìn)行功率譜估計(jì)仿真分析。這樣，在知道被測信號的頻率特性的前提下，分別用不同的功率譜估計(jì)算法對信號進(jìn)行頻率特性分析，通過仿真結(jié)果可以驗(yàn)證兩種譜估計(jì)方法的性能[15-18]。

仿真條件1：設(shè)信號采樣率為25 kHz，信號為主頻為2 kHz和4 kHz的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號疊加，并加入白噪聲。在信噪比(SNR)為10 dB的條件下對兩種算法進(jìn)行仿真分析比較，算法仿真如圖1和圖2所示。可以看出，在信噪比SNR=10 dB的情況下，基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法估計(jì)出的功率譜曲線要比經(jīng)典法估計(jì)出的曲線平滑得多，后者譜線更清晰，分辨率優(yōu)于前者，能更好地顯示信號頻率特性。

圖1 SNR=10 dB，標(biāo)準(zhǔn)信號經(jīng)典功率譜估計(jì)算法Fig.1 SNR=10 dB,classical power spectral estimation algorithm for standard signals

圖2 SNR=10 dB，標(biāo)準(zhǔn)信號基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法Fig.2 SNR=10 dB,spectral estimation algorithm based on conjugate gradient and AR model for standard signals

仿真條件2：設(shè)信號采樣率為25 kHz，信號為主頻為2 kHz和4 kHz的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號疊加，并加入白噪聲。在信噪比為—10 dB的條件下對兩種譜估計(jì)算法進(jìn)行仿真分析比較，算法仿真如圖3和圖4所示。可以看出，在信噪比SNR=—10 dB的情況下，基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法可以清楚地分辨出信號的主頻特性，譜線也要比經(jīng)典法平滑得多。經(jīng)典功率譜估計(jì)方法已經(jīng)不能有效地分辨出信號的主頻特性。可見，在低信噪比的情況下，本文的算法仍然保持了較好性能，明顯優(yōu)于經(jīng)典譜估計(jì)方法。

圖3 SNR=—10 dB，標(biāo)準(zhǔn)信號經(jīng)典功率譜估算法Fig.3 SNR=—10 dB,classical power spectral estimation algorithm for standard signal

圖4 SNR=10 dB，標(biāo)準(zhǔn)信號基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法Fig.4 SNR=—10 dB,spectral estimation algorithm based on conjugate gradient and AR model for standard signal

2.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

對液氧甲烷發(fā)動機(jī)第XX次試驗(yàn)中氫泵軸向振動信號進(jìn)行頻率特性分析，分析結(jié)果如圖5和圖6所示。從仿真結(jié)果可以看出，圖6的基于共軛梯度算法和AR模型譜估計(jì)方法估計(jì)的功率譜曲線要比圖5經(jīng)典法估計(jì)出的功率譜分辨率好，能較好地反映振動信號的頻率特征，譜線也平滑很多。

圖5 試驗(yàn)信號經(jīng)典功率譜估算法Fig.5 Classical power spectral estimation algorithm for test signals

圖6 試驗(yàn)信號基于共軛梯度和AR模型的譜估計(jì)算法Fig.6 Spectral estimation algorithm based on conjugate gradient and AR model for test signals

3 結(jié)論

液體火箭發(fā)動機(jī)的結(jié)構(gòu)特性是通過振動信號測量處理和分析得到的，本文將共軛梯度算法和AR模型的譜估計(jì)算法應(yīng)用于液體火箭發(fā)動機(jī)試驗(yàn)的振動信號處理中[19]，對算法進(jìn)行了仿真分析并與傳統(tǒng)的經(jīng)典功率譜估計(jì)算法進(jìn)行了性能比較。仿真結(jié)果表明：AR模型的分辨率和隨機(jī)信號x(n)的信噪比有著密切的關(guān)系，隨著信噪比的降低，算法性能會下降，但要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的譜估計(jì)算法。在信噪比為-10 dB的仿真環(huán)境下，經(jīng)典譜估計(jì)方法已經(jīng)不能有效分辨信號的頻率特征，而基于共軛梯度和AR模型譜估計(jì)算法仍能較好地分辨出已知信號的特征頻率，算法性能好。經(jīng)典功率譜估計(jì)的分辨率反比于有效信號的長度，但現(xiàn)代譜估計(jì)的分辨率可以不受此限制[20]。在實(shí)際試驗(yàn)信號處理中，基于共軛梯度和AR模型譜估計(jì)算法的譜線依然具有較好的分辨率和平滑性。