一種大型復(fù)雜建筑結(jié)構(gòu)抗震可靠性分析方法

肖彥杰, 張洵安, 薛榮剛,2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.北方工程設(shè)計(jì)研究院有限公司, 河北 石家莊 050011)

土木工程結(jié)構(gòu)在實(shí)際使用中承受的外部作用、構(gòu)件截面尺寸和材料性能等一般都有隨機(jī)性，因此在結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，有必要考慮結(jié)構(gòu)本身特性及所受外部作用的隨機(jī)性。復(fù)雜結(jié)構(gòu)在地震作用下的可靠性分析比較困難。對于復(fù)雜或新型結(jié)構(gòu)，常不能用簡化模型來計(jì)算響應(yīng)，需要使用有限元法進(jìn)行分析，功能函數(shù)不能顯式表達(dá)且有時(shí)是高非線性的，導(dǎo)致可靠度難以由矩方法計(jì)算。通過Monte Carlo法(MC)計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度不受復(fù)雜功能函數(shù)的限制，且結(jié)果準(zhǔn)確，但需要對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行很多次計(jì)算。大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元分析一般比較耗時(shí)，例如巨-子型有控結(jié)構(gòu)(mega-sub controlled structural system，MSCSS)，由于其振動控制原理與常規(guī)結(jié)構(gòu)不同，響應(yīng)難以用反應(yīng)譜法或靜力彈塑性分析法計(jì)算，而需要由耗時(shí)的動力時(shí)程分析得到。成千上萬次分析會耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間，這限制了MC法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。代理模型是目前受到關(guān)注的一種有效提高計(jì)算效率的方法，該方法使用運(yùn)算量小且誤差在可接受范圍內(nèi)的近似函數(shù)代替運(yùn)算量大的函數(shù)來進(jìn)行計(jì)算，從而使可靠度分析效率大幅提高。

常見的代理模型有響應(yīng)面法、徑向基函數(shù)、Kriging模型、支持向量機(jī)等。Kriging模型是由南非地質(zhì)學(xué)者Krige提出并由法國數(shù)學(xué)家Matheron完善而形成的一種插值方法[1]，它具有較強(qiáng)的全局近似和非線性擬合能力。近年來，人們對Kriging模型在可靠性分析中的應(yīng)用進(jìn)行了大量研究。Kaymaz對比了Kriging模型和響應(yīng)面在可靠度計(jì)算中的使用效果，認(rèn)為Kriging模型存在參數(shù)難以選取等問題[2]。Bichon等參考EGO方法提出高效全局可靠性分析(EGRA)方法，該方法將EF函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)[3]，使用全局優(yōu)化算法尋找加點(diǎn)位置[4]。Echard等提出AK-MCS方法，其結(jié)合U函數(shù)和MC法來選取Kriging模型的訓(xùn)練樣本，該方法由于計(jì)算精度高且不需要借助優(yōu)化算法[5]，引起了人們的關(guān)注，很多改進(jìn)的AK-MCS方法被提出[7]。Jia等將Kriging模型用于框架的抗震可靠性分析，驗(yàn)證了基于Kriging的可靠度計(jì)算法在涉及時(shí)程分析的工程問題中的有效性[8]。Zhou等結(jié)合活躍子空間法提高了AK-MCS在高維問題中的適用性，并將該方法用于非線性框架的抗震可靠性分析[9]。

目前，已有多種基于Kriging模型的可靠度計(jì)算方法，其中，EGRA和AK-MCS是2種經(jīng)典的基于Kriging模型和數(shù)字模擬的可靠性分析方法，計(jì)算精度較高。二者均采用在初次采樣基礎(chǔ)上增加訓(xùn)練樣本點(diǎn)的方式來保證代理模型的精度，由于加點(diǎn)停止條件較保守，用于土木工程結(jié)構(gòu)時(shí)，可能會產(chǎn)生不必要的計(jì)算成本。根據(jù)土木工程結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，本文提出一種基于Kriging模型的可靠性分析方法，其訓(xùn)練樣本加點(diǎn)停止條件的工程含義直觀，便于設(shè)計(jì)人員根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整。通過2個(gè)算例驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和高效性，并結(jié)合時(shí)程分析對巨-子型有控結(jié)構(gòu)體系的抗震可靠度進(jìn)行了計(jì)算，分析結(jié)果表明本文方法適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的可靠度計(jì)算分析。

1 Kriging模型

(1)

式中,μy(x)為預(yù)測值的均值。

已知m個(gè)樣本點(diǎn)X=[x(1),x(2),…,x(m)]及相應(yīng)函數(shù)響應(yīng)值Y=(y1,y2,…,ym)T,點(diǎn)x的Kriging預(yù)測值為樣本點(diǎn)函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)

(2)

式中：x=(x1,x2,…,xn)為n維向量；ci(x)(i=1,2,…,m)為加權(quán)系數(shù)。

Kriging模型假設(shè)未知函數(shù)可表示為

(3)

(3)式由兩部分組成,第一部分為回歸多項(xiàng)式,p為多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),fj(x)為回歸多項(xiàng)式的基函數(shù),βj為回歸系數(shù);第二部分Z(x)是均值為0、方差為σZ2的隨機(jī)過程,協(xié)方差為

(4)

式中:R(x,w;θ)為任意兩點(diǎn)x和w的相關(guān)函數(shù)；θ=(θ1,θ2,…,θn)T為其參數(shù),相關(guān)函數(shù)通常采用高斯型,可表示為

(5)

通過在滿足Kriging預(yù)測值無偏性條件下最小化預(yù)測均方誤差,可以得到未知點(diǎn)x處的預(yù)測均值和均方誤差為

式中

求解優(yōu)化問題

2 基于 Kriging模型的可靠性分析方法

2.1 結(jié)合Kriging和Monte Carlo模擬的可靠性分析

根據(jù)時(shí)程分析中結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)是否超過限值來構(gòu)造功能函數(shù)的方法[9]便于工程設(shè)計(jì)人員使用,而且在時(shí)程分析中不僅可以考慮結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性,還可以通過調(diào)整地面運(yùn)動時(shí)程的參數(shù)來反映地震作用的隨機(jī)性。本文采用這種方法來構(gòu)造功能函數(shù)。不過,對于復(fù)雜結(jié)構(gòu),會得到一個(gè)計(jì)算耗時(shí)的隱式功能函數(shù)。為能簡便、高效地計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度且保證結(jié)果的準(zhǔn)確性,本文提出一種基于Kriging模型的可靠度計(jì)算方法,該方法的基本思路是根據(jù)功能函數(shù)在少量訓(xùn)練點(diǎn)的值建立其Kriging代理模型,并在極限狀態(tài)曲面附近不斷改善代理模型的精度直到滿足工程需要,用代理模型計(jì)算功能函數(shù)值從而避免直接計(jì)算復(fù)雜的真實(shí)功能函數(shù),然后結(jié)合MC法計(jì)算失效概率,以下對該方法進(jìn)行詳細(xì)闡述。

(8)

本文通過在極限狀態(tài)曲面附近不斷增加訓(xùn)練點(diǎn)來提高代理模型在曲面處的精度。使用全局優(yōu)化算法求解(9)式即可在近似極限狀態(tài)曲面上搜索預(yù)測均方誤差最大點(diǎn)x*

(9)

xlb,xub為采樣范圍的界限,若在x*處的模型精度未達(dá)到加點(diǎn)停止條件,則將該點(diǎn)作為新增樣本點(diǎn)加入到訓(xùn)練樣本中以提高Kriging模型的精度。通過這種方式每次增加一個(gè)訓(xùn)練點(diǎn),直到代理模型在極限狀態(tài)曲面處的精度達(dá)到加點(diǎn)停止條件。(9)式的求解可使用Matlab遺傳算法工具箱實(shí)現(xiàn)。

綜上,本文所提可靠性分析方法的步驟為:

步驟1用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法取少量訓(xùn)練樣本點(diǎn),并計(jì)算各訓(xùn)練點(diǎn)的功能函數(shù)值。采樣范圍應(yīng)能讓大部分的Monte Carlo抽樣點(diǎn)落入其中,如[μx-5σx,μx+5σx]

步驟2利用訓(xùn)練樣本及其函數(shù)值建立Kriging模型

步驟3求解(9)式中的優(yōu)化問題得到最優(yōu)點(diǎn)x*

步驟5通過式(8)計(jì)算失效概率近似值。

2.2 算例驗(yàn)證

算例1

一串聯(lián)系統(tǒng)的功能函數(shù)為

x，y相互獨(dú)立,服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

表1 不同方法的可靠度計(jì)算結(jié)果(算例1)

圖1 近似極限狀態(tài)曲線的變化

圖2 MC樣本點(diǎn)的分布

算例2

圖3所示非線性系統(tǒng)[7]的功能函數(shù)為

圖3 非線性系統(tǒng)

表2 隨機(jī)變量的分布參數(shù)

由各方法得到的可靠度計(jì)算結(jié)果列于表3中。其中,使用本文方法進(jìn)行了2次可靠度計(jì)算,二者初始樣本點(diǎn)分別為11和17個(gè),計(jì)算結(jié)果與參考值相差很小,而調(diào)用真實(shí)功能函數(shù)的次數(shù)仍是表中各方法中最少的。加點(diǎn)過程中(初始點(diǎn)為17個(gè))失效概率計(jì)算值隨訓(xùn)練點(diǎn)增加的變化如圖4所示,可見,未加點(diǎn)時(shí)計(jì)算值與參考值偏差較大,隨著樣本點(diǎn)數(shù)的增加,計(jì)算結(jié)果的精度會得到改善。

表3 不同方法的可靠度計(jì)算結(jié)果(算例2)

圖4 加點(diǎn)過程中失效概率值的變化

通過2個(gè)算例可以看出,使用本文提出的方法可得到較準(zhǔn)確的可靠度分析結(jié)果,且調(diào)用真實(shí)功能函數(shù)的次數(shù)少于其他方法,該方法的準(zhǔn)確性和高效性得到了驗(yàn)證。另外,盡管算例中隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的,但本文方法并不要求變量相互獨(dú)立,因?yàn)樵诳煽啃苑治鲋写砟Ｐ蛢H被用于求功能函數(shù)的近似值且建模過程不涉及概率密度函數(shù)或其相關(guān)性的信息。

3 MSCSS的抗震可靠性分析

MSCSS是結(jié)合巨型框架結(jié)構(gòu)(mega frame structure,MFS)和調(diào)頻子結(jié)構(gòu)控制原理形成的一種新結(jié)構(gòu)體系。該結(jié)構(gòu)在MFS基礎(chǔ)上放松主結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)之間的部分連接,并在主、子結(jié)構(gòu)之間設(shè)置阻尼裝置,通過主、子結(jié)構(gòu)的相對運(yùn)動來減小結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng),從而提高了抗震性能[10]。根據(jù)前文比較分析的結(jié)果,將所提方法用于MSCSS的抗震優(yōu)化中以驗(yàn)證其在工程結(jié)構(gòu)中的適用性。

圖5為MSCSS的有限元模型,共32層,層高4 m,含有3個(gè)巨層。巨型梁采用截面為4 m×4 m×0.04 m×0.04 m的工字鋼,巨型柱采用壁厚0.05 m的方鋼,巨型柱的中心間距為26 m,子結(jié)構(gòu)柱截面為0.6 m×0.6 m×0.02 m的方鋼,子結(jié)構(gòu)梁截面為0.5 m×0.2 m×0.02 m×0.02 m的工字鋼。2,3巨層為調(diào)頻子結(jié)構(gòu),其5、10層設(shè)置與巨型柱相連的黏滯阻尼器,阻尼系數(shù)cd為1.5×106N/(m·s-1),阻尼指數(shù)e為0.4,阻尼器的非線性力fd=cd·ve,v為阻尼器變形速率。抗震設(shè)防烈度為9°。

圖5 MSCSS有限元模型

本文以結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)由于地震作用層間位移角φ超過變形限值φb為失效破壞準(zhǔn)則。參考《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50011-2010),變形限值φb取1/250。結(jié)構(gòu)的變形值通過SAP2000中非線性動力時(shí)程分析得到。可靠性分析中考慮地面最大加速度、鋼材模量和巨型柱截面寬度的隨機(jī)性。隨機(jī)變量的分布參數(shù)如表4所示,其中,地面運(yùn)動最大加速度a服從極值Ⅱ型分布[12],其余服從正態(tài)分布。結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可表示為為

G(x)=φb-φm(x)

式中:變量x=(a,E,b1,b2,b3);φm(x)為地震過程中結(jié)構(gòu)的最大層間位移角。在Matlab中通過SAP2000提供的接口可調(diào)用該軟件進(jìn)行時(shí)程分析并獲得其結(jié)果數(shù)據(jù)以計(jì)算φm(x),從而得到G(x)的值。

表4 隨機(jī)變量的分布參數(shù)(MSCSS)

使用本文方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率,初始訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)為11個(gè),相應(yīng)功能函數(shù)值的方差為3.61×10-3,誤差限ε取相對其較小的數(shù),為3×10-5。增加了41個(gè)訓(xùn)練點(diǎn)后,代理模型達(dá)到精度要求,可靠度計(jì)算結(jié)果列于表5中。為驗(yàn)證該方法在工程問題分析中的準(zhǔn)確性,使用AK-MCS對結(jié)構(gòu)的可靠度進(jìn)行了計(jì)算以作對比。使用本文方法得到的可靠度結(jié)果與AK-MCS法的結(jié)果十分接近,而調(diào)用真實(shí)功能函數(shù)的次數(shù)卻少很多,可見本文方法適合用于復(fù)雜建筑結(jié)構(gòu)的可靠性分析中,可以高效地得到較準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

表5 不同方法的可靠度計(jì)算結(jié)果(MSCSS)

4 結(jié) 論

提出一種基于Kriging模型的可靠性分析方法，2個(gè)數(shù)值算例的計(jì)算結(jié)果表明，該方法能夠保證可靠度計(jì)算的精度且計(jì)算效率較高。將該方法應(yīng)用于MSCSS的抗震可靠度計(jì)算中，使用較少的有限元分析次數(shù)得到了準(zhǔn)確的分析結(jié)果，從而驗(yàn)證了該方法在工程問題中的適用性和高效性。該方法的加點(diǎn)停止條件工程含義直觀，便于工程應(yīng)用，可避免過多的仿真分析，是一種適用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠性分析的有效方法。