基于動態規劃的月面定點著陸快速制導方法

趙弘騫, 代洪華, 黨朝輝

(1.西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.航天飛行動力學技術國家級重點實驗室, 陜西 西安 710072)

月球是距離地球最近的天體，也是空間科學研究最重要的天體之一。從20世紀50年代開始就有各類航天器對月球進行探測。1961年至今，以美國、歐空局、中國、日本、印度等為代表的世界主要航天大國和組織開始制定各自的載人登月計劃，其中以美國2019年最新提出的"阿耳忒彌斯"載人月球探測計劃為代表。載人登月的下一步是建立月球基地，目前各國提出了不同的月球基地方案，其中以“門德爾計劃”為代表[1]。載人登月是一項極為復雜的系統工程，一旦某些環節出現問題宇航員將在月表處于危險之中。同時由于地月距離遙遠，宇航員無法等到地球再次發射航天器進行救援，所以需要設計一種部署在環月球軌道的救援航天器。

目前針對該類面向月球緊急救援任務的制導規劃研究較少。傳統軌道規劃主要考慮燃料最優，而對于緊急救援任務需要考慮時間最優,是本文與傳統方法的本質區別。本文首先對該類航天器的工作模式進行假設：航天器分為軌道艙和救援艙兩部分，首先由初始軌道經軌道轉移到達任務軌道，下降軌道高度，經一段時間調整后星下點到達救援點附近。隨后釋放著救援艙，經制動下降軟著陸于月表，投放救援物資，軌道艙則留在任務軌道為救援艙提供導航與通訊。

本文研究的制導問題是一種終端時間自由且帶有條件約束的非線性最優化控制問題，其分為4個階段，即初軌段、初軌轉移段、任務軌道調相、動力下降段，其中需要在第2、4段設計軌道轉移制導、制動段軟著陸制導，在第1、3段僅進行軌道保持控制，最后設計基于動態規劃法的全局最優制導律。

目前，軌道轉移制導主要分為連續推力制導和脈沖推力制導2類[2-3]。連續推力制導為非線性規劃問題，使用遺傳算法、偽譜法和差分進化算法等進行求解，其控制復雜，對推力器經度要求高[4]。脈沖推力制導主要以兩脈沖Lambert軌道轉移為代表，求解動力學方程的邊值問題，從而確定2次的脈沖，其控制簡單，對單次推力大小要求較高[5]。

目前，軟著陸制導的方法主要分為重力轉彎制導、標稱軌跡制導和閉環顯式制導3類[6]。重力轉彎制導方法簡單可行，但無法進行時間和燃料優化[7]。標稱軌跡制導理論上可實現燃耗最優，但考慮到軟著陸時間較短和星載計算機能力限制使其難以實現[8]。顯式制導方法根據著陸器的運動狀態，按照泛函的顯函表達式實時計算控制量的制導方法。該方法物理意義明確，實時性好，但魯棒性需要提高[9]。

目前，關于月球軟著陸的軌道轉移優化方法、制動下降段優化方法均研究較多，但是將整個著陸過程整體優化的研究較少。本文研究點在于對月面緊急救援任務，設計了一種全程時間最優的制導律。本文從全程時間最優的角度對制導過程進行分析和建模。首先采用普適變量法對月球引力攝動下的單圈Lambert軌道轉移問題進行分析，而后采用改進顯式制導方法解決了動力下降段制導問題，并提出允許控制數據庫的概念。最后采用動態規劃法，從已建立的全程各段控制集中優化選擇各階段初末條件實現制導過程的全局時間最優。

1 問題描述

救援航天器的工作分為4個階段：①在接到救援指令后，在100 km環月待命圓軌道上移動到軌道轉移的起始點；②采用雙脈沖Lambert軌道轉移的模式，從待命軌道機動進入15 km任務圓軌道；③在任務軌道上飛行一段時間，使接近救援點，該任務軌道上應僅有一個點距離待救援最近；④在任務軌道上釋放著救援艙，經動力段制導，下降高度到達軟著陸前2 km懸停點。

圖1 救援航天器工作模式示意圖

在緊急救援著陸過程中存在三步決策,分別是離開初始軌道時的位置、進入任務軌道的位置、離開任務軌道的位置。每一階段的終態都是下一階段的初始狀態,同時每一階段都存在一定約束,這導致了緊急救援的時間優化問題是一個強耦合、非線性的問題。對該問題決策變量可選為初軌段時間Δt1、初軌轉移段時間Δt2、初軌轉移段結束點狀態X2和任務軌道段時間Δt3,在確定上述決策變量的基礎上就可以通過數值積分獲得航天器每時刻狀態和制動下降段時間Δt4。

對全過程優化定義為:給定初始點狀態X0和待救援點位置Xf,在滿足各階段約束的情況下,求取優化決策變量Δt1,Δt2,X2,Δt3以完成任務。對于多步優化問題,采用動態規劃法求解可以降低算法時間復雜度。

2 月球非球形攝動下的Lambert軌道轉移

2.1 軌道轉移動力學模型

如圖2a)所示,設O-XYZ為慣性坐標系,O位于月心,OZ指向初始航天器方向,OX在環月軌道平面內,指向前進方向,OY由右手定則確定,構成直角坐標系。φ,θ分別表示發動機推力在軌道坐標系下的方向角和俯仰角,發動機推力引起的速度增量在慣性系下的三軸分量分別為Δu,Δv,Δw,航天器狀態向量P(x,y,z,u,v,w) 均在月心慣性系下表示。

圖2 坐標系和變量定義

本文基于二體問題和開普勒軌道假設,將Lambert問題改進為固定時間(tf) 約束下,已知初末狀態向量P0,Ptf,求解2次軌道轉移脈沖的兩點邊值問題。其動力學方程為

(1)

式中,μ為月球引力常量,r為軌道半徑。由于采用脈沖推力軌道轉移,狀態量在邊界發生突變,該運動學方程輸入的邊界值i0,itf由(2)式確定

(2)

在Lambert軌道轉移中邊界條件由執行任務時的初始狀態和目標點的位置決定。對該過程消耗的燃料進行分析,令Q=Ispge則

(3)

(4)

式中:Isp為發動機比沖;ge為地球引力常數;Q為單位推進劑產生的沖量;m0,mtf為2次軌道轉移前的質量;Δm0,Δmtf為2次軌道轉移消耗推進劑質量。

上述(1)～(4)式構成了軌道轉移動力學模型,該類問題可通過構建普適變量時間方程,使用Newton迭代法進行求解,本文不再贅述[10]。

2.2 月球非球形攝動下的制導律設計

對于月球而言,其非球形攝動的J2,J22項影響最大,月球引力位函數在慣性系下形式如下[11]

(5)

式中:Clm,Slm為非歸一化諧系數;Plm為締合勒讓德函數;λG,φ為月心經緯度。對于月球引力的J2項C2,0=-8.475 05×10-4,S2,0=0,對于月球引力的J22項C2,2=8.417 75×10-5,S2,2=4.960 53×10-5。

考慮攝動后的航天器運動學模型為

(6)

式中,gradU為月球引力位梯度。

(7)

記錄每種狀態下的容許轉移控制,建立軌道轉移數據庫,即所有容許控制的集合,而后采用動態規劃的方法從數據庫中選出最優控制集合,以實現對全程最優解的確定。

圖3 受攝動Lambert問題求解流程

3 制動段制導律設計

3.1 制動段動力學模型

設O′-XYZ為原點在月心的慣性坐標系,O′Z軸指向動力下降段起始點,O′X軸位于v和O′Z軸所確定的平面內,垂直于O′Z軸,指向速度方向為正;O′Y軸服從右手法則。設o-xyz為原點在著陸點的著陸場坐標系,oz軸沿O′o方向背離月心為正,ox軸垂直于oz軸指向運動方向為正;oy軸服從右手法則。忽略月球自轉,在整個制導過程中,視月球重力加速度為常值。 則在著陸場坐標系中,動力學模型可近似表示為[12]

(8)

式中:ax,ay,az分別為著陸場坐標系下的三軸加速度分量;φ,Φ為制動力的俯仰角和方向角;gL為月球重力加速度,視為常數。發動機為液體燃料,全程工作,比沖一定[12]。

3.2 最優制動段制導律設計

定理 2.6 ([0,1], ρπ)是完備度量空間,即([0,1], ρπ)中的Cauchy-列均收斂。

(9)

本文根據發動機等加速度且全程工作的假設,引入如下性能指標,將下降段時間最優問題轉化為能量消耗最優問題,在能量最優顯式制導控制[13]的基礎上進行求解。

(10)

(11)

(12)

(13)

將(13)式帶入(8)式積分求解可以得到協態變量的中間參數(λ10,λ20,λ30,λ40,λ50,λ60)的表達式,進而得到每時刻三軸方向需要的加速度

(14)

通過最優控制的三軸加速度反推最優控制的俯仰角和方向角為

(15)

實際推力可以表示為

(16)

(17)

則tgo的解析表為

(18)

tgo可以由上述四次方程解析獲得,這樣(14)～(16)式和(18)式就構成了一組最優制導律。在給定著陸的初末位置時,就可以計算這種狀態下最優軌跡和時間消耗,并建立動力下降段允許控制數據庫,為全局最優的制導律提供數據支撐。

4 全局動態規劃法

本文二、三部分的分析,著重于緊急救援航天器第② 、④ 階段的制導律設計,在每個階段中給定相應條件即可得到制導軌跡和飛行時間。在初軌段和任務軌道調相段的飛行時間可以由下式確定

(19)

式中:δ1,δ2為進入和離開任務/初始軌道時刻所對應的真近點角;χ為任務/初始軌道角速度。

同時,在全過程還要考慮到如下過程約束

(20)

圖4 動態規劃法網絡圖

對于多約束優化問題,采用動態規劃法求解。其主要原理是不論第一段采取何種決策,第二段以后的決策序列都對第一段產生的狀態是一個最優決策。動態規劃法的時間復雜度相較于遍歷搜索法的O(n!)降低到了O(n2),更便于在軌計算[14]。其具體實現步驟為:

step1 為實現月面緊急救援,取如下表示全程用時最短的性能指標函數

(21)

式中:uk為k階段允許控制集;dk(uk)為從k階段的uk選擇的控制對應的時間。

step2 對于動力下降段決策,輸入待救援點位置Xf、任務軌道調相段結束狀態X3,利用(14)至(16)式、(18)式獲得制動段允許控制集,定義f1(E)為各X3對應的最短轉移時間。

f1(E)=min{u4(Di,E)}

(22)

step3 對于任務軌道調相段,輸入狀態X2,X3,利用(19)式獲得允許控制集,定義f2(Di)為各X2狀態到救援點的最短時間。

f2(Di)=min{u3(Cj,Di)+f1(E)}

(23)

step4 對于初軌轉移段,輸入狀態X1,X2,tf,利用圖3的受攝動Lambert問題求解流程獲得轉移段允許控制集,定義f3(Cj)為各X1到救援點的最短時間。

f3(Cj)=min{u2(Bk,Cj)+f2(Di)}

(24)

step5 對于初軌段采用和step3相同的方法,獲得初始點X0到救援點的最短時間,即全局最優解。

f4(Bk)=min{u1(A,Bk)+f3(Cj)}

(25)

式中,u1,u2,u3,u4為上文建立的符合各階段條件約束的允許控制數據庫。

有別于傳統航天多階段任務的經驗決策,通過上述迭代遞推的方法的各階段控制,使之在全局上時間最優。所述的各階段允許控制集是滿足(20)式約束的有限集合,其集合的大小可根據所需的求解精度確定。

5 仿真驗證

采用計算機數值仿真方式進行驗證,軌道積分采用ode45變步長方法。假定某月面緊急救援任務的初始條件為:月球引力常數μ=4 903 km3/s2,r=1 738 km,救援航天器總體質量為3 000 kg,其燃料質量因數為μF1=0.3,Isp=350 s,初始軌道為i=0的120 km高度的圓軌道,位于月球經緯坐標系下(0°N,100°W),任務軌道高度為15 km,釋放的救援艙質量為1 000 kg,Isp2=300 s,μF2=0.4,待救援點在月球經緯坐標系下為(10°N,20°E)。設在任務過程4個階段的用時分別為Δt1,Δt2,Δt3,Δt4,各階段的允許控制集合構建時按位置精度為軌道傾角與月心角1°,時間精度1 s進行仿真。圖5至9分別表示各階段的允許控制集。

由圖5可知Δt1,Δt3與航天器在軌道運行經過的月心角的關系,在二體模型下其運行時間與月心角呈線性關系,在任務軌道上運行相同的月心角所用的時間相對較短,這是由于其軌道高度較低。為了實現救援航天器的快速著陸,盡可能多地在任務軌道時運行。

圖5 Δt1,Δt3與在軌運行月心角的關系

圖6表示引力攝動下Lambert軌道轉移所消耗的燃料質量與初末位置經過的月心角Δθ和給定轉移時間tf有關。在一定的Δθ下,燃料消耗隨tf的增加先減小后增大,總存在一個極小值,當目標軌道傾角和升交點赤經變化時,燃料消耗和Δθ與tf的關系時相似的。

圖6 Lambert轉移燃料消耗與入軌位置

圖7表示在軌道轉移部分段允許控制集,取燃料消耗恰滿足約束的最短轉移時間的控制作為允許控制。最短轉移時間tf隨目標軌道升交點和運行的月心角Δθ增大而增大,隨軌道傾角Δi變化不明顯。

圖7 轉移段允許控制集

圖8表示救援艙不同位置進入動力下降段到救援點所消耗的時間,其中軌道傾角和經度表示航天器進行下降段制導的初始位置。可知初始經度越靠近目標,則所用的時間將會非線性的減小,越晚離軌則時間減少的越多,而下降段時間對軌道傾角不敏感。在燃料允許條件下,最短著陸時間為353.9 s。

圖8 制動段允許數據集

將建立的關于Δt1,Δt2,Δt3,Δt4的允許控制數據庫帶入到(21)～(25)式的動態規劃法遞推方程中,用文獻[17]中求解方法計算得到救援航天器各階段的控制[15]。

其中在Lambert轉移段施加的第一次脈沖為ΔV1=(-437.26,384.78,255.91)Tm/s燃料消耗553.25 kg,第二次脈沖為ΔV2=(258.87,-403.98,5.55)Tm/s燃料消耗346.75 kg。從表1中可以看出,全局最優控制的結果并不是各階段最優控制的簡單疊加,采用本文的算法救援航天器共用時2 322.32 s,消耗燃料質量為1 257.5 kg,且滿足各階段的性能要求。

表1 基于動態規劃的控制結果

圖9 動力下降段控制推力方向角隨時間變化

圖9分析了在制動段其發動機的俯仰角和方向角隨時間變化情況,從仿真結果可以看出,著陸器在該顯式制導律作用下可以準確安全地到達目標著陸點, 速度同時減小為零。φ的變化范圍較小,用于減速,Φ用于調整方向。在前347 s 2個推力方向角變化都比較平緩, 在347 s后Φ發生了抖振,這是由于隨著目標的接近,(14)式中的tgo減小,引起的加速度發散,解決方法為臨近目標上空時按慣性飛行或設計臨近目標時的制導律。

在以往的工程設計中,通常將優化問題在各階段分別考慮,導致無法得到總體最優的結果,現假設兩種局部最優設計思想與本文總體優化方法對比分析。局部優化方案Ⅰ:考慮初軌段時間最短,即當接收到救援指令后立刻進行軌道轉移,其余3個階段按本文方法設計;局部優化方案Ⅱ:考慮初軌轉移段時間最短,即在燃料允許的范圍內進行變軌時間最短的軌道轉移,其余3個階段按本文方法設計。

將這2種可能的設計情況在不同待救援點下與本文的全局最優方法對比,得到全局最優控制優化效果優于傳統設計,采用全局優化方法的任務全過程時間更短,在3種工況下分別最多減少了4.07%，2.82%，3.41%。

表2 3種設計方法在不同工況下的比較

6 結 語

在月球表面實施多約束的精確制導快速救援，是未來保證月球探測開發領域廣受關注的研究熱點。本文基于全局優化的最優控制方法給出了月面救援控制的一般設計流程，并進行了數值驗證，實現了時間最優著陸任務，滿足了過程中的多約束。結果表明, 該方法完全滿足月球快速軟著陸任務的精確性和安全性要求,為今后的研究提供參考。