拓撲荷在圓盤狀向列相液晶薄膜中的尺寸效應*

梁德山 黃厚兵 趙亞楠 柳祝紅 王浩宇 馬星橋?

1) (北京科技大學數理學院, 北京 100083)

2) (北京理工大學前沿交叉科學研究院, 北京 100081)

拓撲現象對于病毒顆粒的空間分布、高分子聚合物納米囊泡的成型以及玻色-愛因斯坦凝聚物等方面都發揮著重要作用.本文利用Landau-de Gennes 理論, 構建模型來模擬液晶中拓撲荷分布及其他現象.通過對數值模型序參量場的演化, 以及模擬液晶薄膜中所生成的拓撲荷之間的相互作用來分析液晶(Lqc)薄膜的尺寸對拓撲荷的影響.研究結果表明,隨著液晶盤半徑增大, 拓撲荷間最優距離與半徑之比漸增并趨于穩定.此研究結論對利用拓撲荷凝聚顆粒物效應設計分離容器有指導意義, 有助于進一步理解拓撲膠體和液晶以及液晶共聚物等軟物質中的拓撲現象.

1 引 言

拓撲荷是有序介質中形成的拓撲缺陷, 在超流體、玻色-愛因斯坦凝聚物[1,2](Bose-Einstein condensate)以及卡拉比-丘流形[3](Calabi-Yau manifold)中都有出現.它們影響病毒顆粒的分布[4?6]、影響液晶的光電性質[7?10]、影響液晶共聚物納米囊泡的自組織成型[11?13].利用拓撲荷的特殊性質, 裝配[14]和分離微小顆粒[15]、預先設定人真皮纖維細胞的生長紋理及方向[16].在向列相液晶(NLqc)中拓撲荷間有著類電荷的相互作用[17].在科學研究中制造并控制拓撲荷, 以制作拓撲復合材料[18,19].拓撲荷是物理學中應用最廣泛的概念之一.液晶中的缺陷也可以用拓撲荷來描述.液晶及其聚合物等軟物質體系中, 液晶分子在空間中占據位置, 而且其分子取向也有豐富多變的排布方式.其他體系中能夠出現的拓撲現象, 在液晶體系中都有存在, 而且由于液晶的光學特性, 拓撲現象在液晶體系中十分便于觀測.因此液晶等軟材料是研究此類拓撲現象的優良研究對象.

本工作模擬拓撲荷在不同尺寸的圓盤型向列相液晶薄膜中的空間分布[20,21], 模擬格點大小128 ×128 × 4, 格點尺寸與模擬圓盤的半徑相關.并且模擬了液晶圓盤的偏光光學顯微鏡(polarizing optical microscope, POM)視圖.基于自由能最小化的數值模擬結果表明, 向列相液晶薄膜中的二維拓撲荷, 有近似固定的平衡位置, 平衡位置隨圓盤大小浮動, 并由自由能平面分布圖來解釋這一現象.

2 理論計算模型及方法

液晶中的缺陷可以用缺陷的拓撲荷來描述,Landau-de Gennes 模型[22]可以解釋在物理上觀察到的整數拓撲荷和半整數拓撲荷.在本研究采用Landau-de Gennes 模型, 通過相場方法模擬向列相液晶中的拓撲荷.

Landau-de Gennes 模型通過對稱的無跡張量Qij,作為序參量[22]:

其中, S 是標量序參量, 其范圍是 ? 1/2

圖1 (a) 液晶指向矢與空間坐標軸之間夾角的示意圖;(b) 液晶圓盤直徑D0 和兩個大小為 + 1/2 拓撲荷之間距離d 的示意圖, 紅色標記表示 + 1/2 拓撲荷Fig.1.(a) Schematic of the angle between director of liquid crystal and the spatial axis; (b) schematic of the NLqc disc diameter D0 and d the distance between two topological charges, + 1/2 topological charges represented by red markers.

體積自由能密度表達式[22]為

其 中, a=(a*(T-T*)), T 是溫度, T*為相變點, b,c1和c2與具體材料有關[23].彈性能表達式為

其中Landau-de Gennes 模型的彈性能系數[23]L1=4.20×10?12(N) , L2=5.51×10?12(N) ,L3=1.02×10?12(N) 它們的值和展曲彈性系數k11=6.7010?12(N) , 扭曲彈性系數 k22=3.60×10?12(N) ,彎曲彈性系數 k33=9.00×10?12(N)[24]以及 S 相關[25,26], (5CB(LC 1264)[27]的展曲、扭曲和彎曲彈性能系數 ?ijk是列維-奇維塔符號:

表面錨定能密度[28]為

其中 W1>0 (W1= 9.00 × 10–8(N))對應錨定強度,有利于指向矢沿著邊界的切線方向, W2>0 保證了表面標量參數的最小值.PijQklPlj, 其中是邊界切線方向的單位矢量.

系統總自由能為

在相場模擬中, 相場參數的演化是由含時Ginzburg-Landau 方程控制:

其中Γ 是向列相液晶的黏度系數.數值方法求解方程(10), 得到向列相液晶的指向矢隨時間的空間分布, 從而得到向列相液晶中的缺陷的演化.模型所用參數如表1 所列.

表1 5CB(LC 1264)的彈性常數[27]Table 1.Elastic constants of 5CB (LC 1264).

3 結果與討論

對于不同半徑的液晶圓盤, 使用128 × 128 ×4 的網格系統, 計算不同指向矢分布的體系總自由能大小.如圖1 (b)所示, 液晶盤直徑為D0(取0.4—12 mm), 其中格點尺寸對應為(0.0031, 0.0055,0.0078, 0.0102, 0.0141, 0.0234 0.0391, 0.0547,0.0703, 0.0938) mm, 在每個圓盤中對稱分布有兩個值為 1/2 的拓撲荷, 兩個拓撲荷的距離為d, 計算總自由能, 得到不同尺寸圓盤狀液晶薄膜總自由能隨拓撲荷之間的距離變化的彩色曲線如圖2 (a)所示, 其中曲線上標注的自由能最小值點即為兩個拓撲荷的最優距離.其中, 在兩個拓撲荷間距 d/D0在0.542—0.559 時, 為二者最優距離, 此時自由能最小.

圖2 (a) 直徑分別為0.4?12 mm 圓盤中液晶薄膜自由能隨中心兩個拓撲荷的間距變化曲線; (b) 兩個拓撲荷的最優位置隨液晶圓盤直徑變化的趨勢圖Fig.2.(a) The free energy of liquid crystal film in a disk with diameters ranging from 0.4 mm to 12 mm as a function of the distance between the two topological charges;(b) the trend of the optimal position of the two topological charges as a function of the diameter of the liquid crystal disk.

圖2 (b) 中曲線上的點是由圖2 (a)每條曲線上的自由能最小值點得到的.自由能最小值點, 隨圓盤直徑變化, 其變化規律如圖2 (b)所示, 隨直徑 由0.4 mm 到12 mm 逐漸 增 大, 在0—5 mm段內, 兩個+1/2 缺陷平衡位置的距離與圓盤直徑的比值逐漸增大, 由0.542 增大到趨近于0.558,5—12 mm 段, 這一比值保持在0.559 附近.這種現象是因為, 邊界錨定能作用區域較小, 隨著圓盤直徑增大, 兩個拓撲荷距離邊界越來越遠, 邊界對其排斥作用越來越小.

圖3 (a), 和圖3(b)分別為液晶圓盤直徑為0.4和12 mm 模擬超長時間的POM 偏光顯微鏡下的顯影.可以看出, 直徑為0.4 mm 時兩個+1/2 的拓撲荷比直徑為12 mm 時更靠近圓心.圖3 (c), 和圖3(d) 是模擬過程中的POM 圖像, 模擬過程中兩個拓撲荷的夾角在非常長的時間內都在140°—180°之間不斷變化.

基于以上的結果, 固定一個+1/2 的拓撲荷在距離圓心0.55 R0處, 另一個+1/2 的拓撲荷遍歷整個圓面, 通過數值方法計算出體系的總自由能隨其位置變化的熱值圖, 如圖3 (e) 所示.在圖中左側藍色月牙狀區域體系自由能最小, 因此平衡時拓撲荷優先占據此區域.這一結果與 Duclos 等[29]拍攝的486 個圓盤結果一致.圖3 (e) 中自由能較低的區域, 正是第二個拓撲荷出現概率最大的區域.兩個拓撲荷的夾角在140°—180°之間.

圖3 (a)?(d)偏光鏡圖片 (a), (b) 圓盤直徑為0.4 和12 mm 時得到的平衡位置POM 圖; (c), (d)計算模擬的接近最終平衡位置的偏光顯微鏡圖片.(e) 自由能隨角度和位置變化的分布圖Fig.3.(a)?(d) are polarizing optical microscope images:(a), (b) are POM images of the optimal positions for disk diameters of 0.4 and 12 mm, respectively; (c), (d) POM images of a near-final optimal position obtained from computational simulation.(e) Free energy as a function of position.

演化過程中兩個拓撲荷的位置不斷變化, 在統計路徑時, 通過旋轉液晶圓盤, 把其中一個拓撲荷固定在圓心指向右側的半徑上, 它可以在此半徑上左右平移.模擬十種不同的相對位置, 得到十條曲線, 如圖4 所示.圖中黑色圓點表示軌跡的起點,藍色圓點表示軌跡的終點;每個彩色線代表一組拓撲荷的相對運動軌跡, 紅色到藍色的變化表示時間.圖中拓撲荷的運動軌跡最后都走向圖3 (e) 所示的藍色區域, 此區域是自由能較低的狀態.

圖4 十個不同相對位置的拓撲荷演化過程的運動跡圖Fig.4.Motion traces of the topological charges evolution process for 10 different relative positions.

4 結 論

圓盤的尺寸對拓撲荷的平衡位置有影響.拓撲荷的相對平衡位置在0.542—0.558 之間, 其中0—5 mm 液晶圓盤中兩個+1/2 拓撲荷的間距與圓盤直徑的比值由0.542 增大到0.558, 之后在5—12 mm 段這一比值基本穩定在0.558.隨著圓盤尺寸的增大邊界錨定能的影響越小, 平衡位置即兩拓撲荷的間距與圓盤直徑的比值趨近于恒定值.這一平衡位置是圓盤邊界對+1/2 拓撲荷的斥力和這兩個拓撲荷之間排斥力平衡的結果.液晶圓盤中兩個拓撲荷的夾角在140°—180°之間.拓撲荷的運動軌跡, 是其尋找自由能最低點的過程, 軌跡的終點在自由能最小值區域.