巧解運動引起面積變化的函數圖象問題

鮑丙生

摘要：運動引起面積變化的函數圖象問題，一直是學生難以分析的問題。教學中，教師應引導學生探究知識的內在聯系，歸納數學規律，讓學生掌握解題技巧，不斷激發學生的學習興趣。

關鍵詞：運動;面積變化;函數圖象;解題技巧

一般對于運動引起面積變化的函數圖象問題，我們在資料上看到的解法是求取面積函數的表達式，進而判斷面積變化圖像的趨勢。但這種方法費時費力，且準確率不高。那么，有沒有一種簡便的方法來解決該類問題呢？今天就讓我們一起來探討一下。

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學。一般對于運動引起面積變化的函數圖象問題，我們在資料上看到的解法是求取面積函數表達式，進而判斷面積變化圖像的趨勢。我們可以探究函數知識的內在聯系，歸納數學規律，讓學生掌握解題技巧，不斷激發學生的學習興趣，這也是數學教學的探討主題之一。

思考1：我們所學過的面積求解公式有哪些？

三角形：（底×高）

平行四邊形 ?： 底×高

矩形： 底×高

菱形： 底×高

正方形： 底×高

梯 ?形： （上底+下底）×高

可以發現：以上幾種我們在動點圖象面積問題中常見的幾何圖形的面積計算，都可以看作是有關底和高的解析式。梯形的面積公式 ： ? （上底+下底）×高，這里的（上底+下底），我們可以看作一個底。

思考2：我們在動點圖象面積問題中常見的面積變化圖形組成部分有哪些？（見圖1）

總結：以上是面積函數的七種常見組合圖形。這里的函數變量只能存在兩個：一個自變量，一個因變量。如果存在三個變量，我們要將高轉化成底或者將底轉化成高。這樣非常麻煩。

思考3：面積計算的底和高與函數圖象有什么固定聯系嗎？（如表1）

由以上表格可以看出，此法的關鍵是確定底和高，下面我們從例題上分析該方法的運用。

例：如圖2，正方形ABCD中，AB=8cm，對角線AC、BD相交于點O，點E，F分別從B、C兩點同時出發，以1cm/s的速度沿BC、CD運動，到點C、D時停止運動，設運動時間為t（s），△OEF的面積為s（cm2），則s（cm2）與t（s）的函數關系可用圖象表示為（）

解析：由題意可以看出△OEF為直角三角形，以OE為底，OF為高，在E、F分別到達BC、CD中點之前，OE、OF的長度均在減小;在E、F分別到達BC、CD中點之后，OE、OF的長度均在增加。最后依照表格中規律，可得出答案是B。

對應練習：

1.如圖3所示：邊長分別為1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設穿過的時間為t，大正方形內去掉小正方形后的面積為s，那么s與t的大致圖象應為（）

2.如圖4，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點，沿A→D→C→B→A的路徑勻速移動，設P點經過的路徑長為x，△APD的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數關系的是（ ） ? ? ? ? ? ?

3.如圖5，點G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如圖所示的位置出發，沿直線AB向右勻速運動，當點G與點B重合時停止運動，設△EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運動時間為t，則S與t的圖象大致是：

4.如圖6，點P是菱形ABCD的對角線AC上的一個動點，過點P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點。設AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面積為y，則y關于x的函數圖象大致形狀是怎樣的？

數學的學習更多地需要學生不斷地探究與思考，不斷地總結與歸納數學規律。我們應讓學生掌握解題技巧，這也是數學教學的探討主題之一。

參考文獻：

[1]張金文.鼎尖教案：滬科版九年級數學[M].吉林：延邊出版社，2021.

（責任編輯：奚春皓）