基于速度阻尼的兩相步進電機矢量控制

鄭靈瑜， 張團善， 杜 鑫

(西安工程大學 陜西省智能紡織裝備研究院， 陜西 西安 710048)

兩相混合式步進電機開環運行精度高，控制簡單，其運行速度與控制脈沖頻率成正比，角位移與脈沖個數成嚴格的正比[1]，在工業控制系統、辦公自動化、機器人和紡織等領域得到廣泛應用。步進電機開環存在震蕩，嚴重時會造成失步或過沖[2-3]，對于高精度要求場合難以滿足控制需求。

在工業控制領域中大多采用閉環的控制方法來解決失步，但是單純的PID調節難以取得理想的效果，往往伴隨著速度的超調，響應時間長，穩態誤差等問題。國外學者提出用細分與閉環相結合的方法通過減小步距角來改善步進電機的低速共振，解決失步問題，但存在大量的諧波，無法實現精準控制[4-6]。唐佳偉采用SVPWM與傳統PI相結合的方法減弱了低速諧波，但中高速時仍存在穩態誤差，且存在超調和響應時間長等問題[7]。翟雁等采用模糊PID來改善步進電機超調的問題，這種方法需要以豐富的調試經驗為基礎且在硬件上不易實現[8]。魯有宏和李明艷等介紹了機械阻尼與電磁阻尼的一些基本方法，調頻調壓、開關式電磁阻尼等來改善步進電機阻尼特性，但這些方法依賴于模型的參數，魯棒性不強[9-10]。

針對以上問題，課題組結合SVPWM，對現有的PI調節器進行改進，針對中高速的穩態波動現象提出了一種新的速度阻尼法，建立了一種改善超調、降低穩態誤差的高精度的步進電機閉環控制系統模型，并對模型進行了仿真，取得了良好的控制效果。

1 兩相步進電機數學模型

兩相混合式步進電機是一類高度非線性和強耦合的機電設備[11]，在忽略定子的漏磁、永磁體回路的漏磁，忽略電磁飽和和互感的情況下，兩相步進電機電壓平衡方程有[5]1710：

(1)

式中：L為繞組電感；R為繞組電阻；va，vb為A,B兩相的電壓;ia，ib為A,B相的電流;Kt為反電動勢系數;ωr為電機機械角速度;θ為旋轉角度;Nr為轉子齒數。

電機轉矩由2部分組成:電動勢轉矩TE和齒槽轉矩Tc。電動勢轉矩是由定子電流與永磁轉子磁場相互作用產生的，起主導作用。本文中Tc被用來產生不同頻率的諧波。其中：

TE=Ktibsin (Nrθ)-Ktiacos (Nrθ);

(2)

(3)

電機運動方程[4]318：

(4)

角速度與角度的方程:

(5)

式中：j為正整數;Kdj為第j次諧波的振幅;J為轉動慣量;B為摩擦因數；θj為第j次諧波的初始相位;TL為外部負載轉矩。

2 兩相步進電機閉環控制系統

2.1 5段式兩相的SVPWM的實現

SVPWM算法的理論基礎是平均值等效原理，即在一個開關周期內通過對基本電壓矢量加以組合，使其平均值與給定電壓矢量相等。兩相步進電機的驅動電路如圖1所示。兩相電壓矢量扇區分布如圖2所示。兩相步進電機驅動器臂橋采用對角導通，當a+導通時，a-，b+關斷，b-導通，此時A相電壓為正，反之為負。B相同理可得。這樣就確定了4個基本電壓矢量，再加入一些零矢量，組成基本的電壓矢量，基本矢量的幅值為Ud，電角度互差90°，通過相鄰兩個基本矢量的組合來得到任意的電壓矢量。通過判斷2個基本矢量的大小的就可以判斷出參考矢量Uref所在的扇區。

圖1 雙H橋逆變器拓撲Figure 1 Double H-bridge inverter topology

圖2 兩相靜止坐標電壓扇區分布Figure 2 Two-phase static coordinate voltage sector distribution

假設兩參數X,Y分別代表Uα和Uβ的正負：

Uα>0,X=1;Uβ>0,Y=1;
Uα≤0,X=0;Uβ≤0,Y=0。

(6)

根據X,Y的不同組合得到的不同的運算值分別與4個扇區對應，因此定義1個參量N，用于表示Uref所在的扇區,Uref所處扇區與N對應關系如表1所示。

N=1+X+2Y。

(7)

表1 N與扇區對應關系

由Uref所在的扇區可以得出各個基本矢量的作用時間。以扇區Ⅰ為例，U1，U2,U0作用合成矢量Uref(Uα=|Uref|cosθ，Uβ=|Urefsinθ，U0=0)。各矢量作用時間為：

扇區Ⅱ：

扇區Ⅲ：

扇區Ⅳ：

為了防止死區的出現，需要對空間矢量加以約束，約束條件為：

(8)

當不滿足約束條件時，需給電壓矢量重新賦值：

(9)

若無法滿足約束條件，則有t1+t2>Ts，需要重新定義t1，t2:

(10)

2.2 速度電流雙閉環控制

圖3 步進電機閉環控制結構圖Figure 3 Stepper motor closed-loop control structure

2.3 PI調節器參數調試

PI的參數調節是電機控制的至關重要的一部分，離散PI分為位置式和增量式。增量式PI控制算法與位置式PI算法相比，計算量小得多，同時增量式算法還具有以下優點：①誤差值不需要累加，只需要最近3次的采樣值就可以確定控制增量；②計算機每次只輸出控制增量，即對應執行機構位置的變化量，系統穩定故障少。

離散的PI控制表達式：

(11)

(12)

ΔU(k)=U(k)-U(k-1)=kp[e(k)-

e(k-1)]+kie(k)。

(13)

式中：k=0，1，2，3,…,表示采樣數量;U(k)表示第k次采樣的PI控制器輸出的值;U(k-1)表示第k-1次采樣的PI控制器輸出的值;e(k)表示第k次采樣輸入的誤差值;e(k-1)表示第k-1次采樣輸入的誤差值;ΔU(k)表示第k次采樣的增量;Ts表示采樣周期;kp表示比例系數;ki表示積分系數。

傳統的PI控制不能實時的調整增益，步進電機在低速時不需要高增益來加快響應，過大的增益會引起超調。高速時則需要一個足夠高的增益來滿足速度的響應性能。因此課題組提出了一種速度自適應PI控制器。

改進的PI電流控制器傳遞函數:

f(s)=kv(kp+ki/s)。

(14)

與傳統PI控制器相比改進的PI控制器多了一個速度增益kv。速度增益kv則根據速度的變化而改變。

(15)

式中：λ為速度權值；ωmax為最大運行速度；ω為當前運行速度。

課題組選用增量式PI控制器并在其基礎之上加以改進。

2.4 速度波動阻尼調節

步進電機阻尼控制分為機械阻尼控制與電磁阻尼控制2類，機械阻尼控制會增大電機的成本和體積，往往只能實現一段頻率的補償，還會增加步進電機的負載。電磁阻尼通過改變繞組電流的波形來實現高精度控制的一種方法。由于步進電機的特殊的齒槽結構的影響，使得電機在運行時會產生大量的諧波導致電機產生速度穩態波動。因此課題組采用FFT對轉速諧波進行識別，得到相位和幅值并對其進行補償，從而減小穩態誤差。

FFT是離散傅里葉變換的快速算法，能將速度信號變換成頻域信號，在變換成頻域信號后能準確地辨識出特征信號。將得到的速度信號經過FFT可以得到N個點的FFT結果。采樣頻率為Fs，信號頻率為F，采樣點數為N，經過FFT之后的結果為N點的復數，每一個結果對應著一個頻率點，這個點的模就是該頻率下的幅度。文中諧波轉矩主要是由Tc引起，直接辨識其幅值與相位為一個非線性優化問題，為了方便計算將其用三角函數展開，從而將幅值和相位轉化為sin和cos函數的系數，變成一個線性優化問題，通過最小二乘法就可以得到最優辨識結果。采用快速傅里葉變化得到轉速誤差波動的頻譜特性如圖4所示。

圖4 頻譜分析圖Figure 4 Spectrum analysis chart

由頻譜圖可以清楚地看出主要諧波分量集中在1 167，2 400，3 300 Hz處，幅值分別對應為0.140 0，0.030 0，0.009 5 rad。將諧波頻率用矩陣形式表達，即

F=[f1f2Lfn]T。

(16)

式中：f1，f2，fn表示諧波頻率；L表示數組長度。

將轉速波動誤差用諧波函數表示：

(17)

將每個諧波分量的幅值和相位轉化為as，bs，辨別每個諧波分量的系數，建立一個最優化模型：

(18)

(19)

其中M為1個4行6列的自變量矩陣：

(20)

根據式(17)和式(19)可得

X=[y0a1b1Lasbs]。

式中：L為頻率數據長度；m表示時間計數;fs為諧波頻率;y0為初始轉速波動;y為轉速波動;Δtm表示m時刻的時間間隔。

根據式(18)和式(19)，可采用最小二乘法來求解系數as，bs。

X=(MTM)-1MTy。

(21)

補償部分的轉速：

Δys=[1 sin (2πf1Δtm) cos (2πf1Δtm)Lsin (2πfsΔtm) cos (2πfsΔtm)]。

(22)

(23)

式中：ΔI為諧波對應的補償電流；s為計數值；Δθs為Δys對應的角度。

3 系統模型仿真分析

對所建控制系統模型進行仿真，所選兩相步進電機參數為：相電感為4.2 mH;相電阻為2.1 Ω；步距角為1.8°；極對數為50；最大磁鏈為0.004 24 V·s；最大啟動轉矩為0.006 5 N·m；總慣量為0.000 58 kg·m2；摩擦因數B為0.000 13 kg·m/s；反電動勢系數Kt為0.083 N·m/A。

3.1 PI算法仿真結果分析

為了測試速度自適應PI控制算法在不同速度控制效果下的控制性能，給定電流頻率為500 Hz，直流側電壓24 V情況下進行仿真。各轉速下的仿真結果如圖5所示。

圖5 傳統PI和速度自適應PI速度仿真對比Figure 5 Comparison of traditional PI and speed adaptive PI speed simulation

當轉速為300 r/min時，傳統PI控制下超調為13 r/min，響應時間為0.024 75 s。在速度自適應PI的控制下超調量為1.0 r/min，響應時間為0.018 00 s；

當轉速為500 r/min時，傳統PI控制下超調為12 r/min，響應時間為0.028 00 s。在速度自適應PI的控制下超調量為0.5 r/min，響應時間為0.022 00 s；

當轉速為700 r/min時，傳統PI控制下超調為14 r/min，響應時間為0.041 00 s。在速度自適應PI的控制下超調量為0.3 r/min，響應時間為0.035 00 s。

速度自適應PI控制器通過不同速度產生不同的增益，在中高速時效果尤為明顯，速度響應時間分別提高了27.2%，24.0%，14.6%。超調量分別降低了12.0，11.5，13.7 r/min。

3.2 速度阻尼算法仿真結果分析

為了對速度阻尼方法進行驗證，課題組在速度自適應PI的基礎上加入速度阻尼控制模塊，對不同速度的穩態性能進行分析。速度給定ωref=300,500,700 r/min時，穩態速度波動如圖6所示。

圖6 速度阻尼效果對比圖Figure 6 Comparison of speed damping effects

當電機轉速達到300，500，700 r·min-1時，轉速穩態波動分別為-0.6～0.5 r·min-1，-1.0～0.5 r·min-1，-2.5～3.0 r·min-1。加入速度阻尼控制后，穩態波動基本消除。結果表明速度阻尼控制對于速度穩態誤差有良好的控制效果，改善了步進電機高頻振動。

4 結語

通過對兩相混合式步進電機模型推導及仿真可得，被控對象是高度非線性的，且運動過程中存在著大量的干擾諧波。針對以上問題，文中電流環采用速度自適應PI控制器實現速度自適應調節，在不同速度下對速度的調節能力大大優于傳統PI控制器，特別是在中高速區域。速度阻尼控制器通過諧波識別并加以補償，改善了速度穩態波動。此方法對中高速有良好的控制效果。仿真結果表明該控制系統響應快、超調小，在電機速度達到穩態時，速度基本穩定無振蕩，極大地提高了電機的控制精度，可滿足高精度的工業生產需求。該控制系統對于低速的改善效果不明顯，諧波識別的精度有待進一步提高。