基于距離較差法控制點穩(wěn)定性分析

李秉乾，邸國輝，褚成鳳，郭際明，萬年鋒

（1.湖北省水利水電規(guī)劃勘測設計院，湖北 武漢 430064；2.武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079）

鄂北地區(qū)水資源配置工程是為解決鄂北地區(qū)干旱缺水問題的一項大型水資源配置工程，由于工程建設周期較長，施工區(qū)域條件復雜，GNSS 控制網(wǎng)容易發(fā)生點位移動，需要定期復測控制點，以判斷其是否穩(wěn)定。

常用的控制點單點穩(wěn)定性分析方法有坐標較差法、距離較差法、統(tǒng)計檢驗法、變形誤差橢圓法[1]。在已有的方法中，沒有考慮同一個控制點坐標分量的協(xié)方差以及不同控制點之間的協(xié)方差[2-7]。本文在三維無約束平差的基礎上，顧及控制點坐標分量間方差和協(xié)方差進行分析計算，進而對控制點進行穩(wěn)定性分析。

1 固定一點一方向平差

GNSS 網(wǎng)的約束平差中所采用的觀測量為GNSS基線向量，同時引入了會使GNSS 網(wǎng)的尺度和方位發(fā)生變化的外部起算數(shù)據(jù)。引入邊長、方向或兩個及兩個以上的起算點坐標，可能會使GNSS 控制網(wǎng)的尺度或方位發(fā)生變化。GNSS 網(wǎng)的約束平差常被用于實現(xiàn)GNSS 控制網(wǎng)由基線解算時所用的特定參考系的轉換。

固定一點一方向平差，即在二維投影面上，引入一個起算點的坐標和一條基線的方位角，進行約束平差。采用兩期觀測的同名基線求差，根據(jù)相對中誤差最小準則，確定平差基準。GNSS 三維基線向量在WGS-84 坐標系下經(jīng)三維無約束平差后，將GNSS 點的三維坐標投影到工程橢球所對應高斯平面上。設地面固定點在獨立坐標系下的平面坐標為(x0′ ,y0′)，此點對應高斯投影后的平面坐標為(x0,y0)，特定方向方位角為α0′1，其對應由高斯投影后平面坐標反算的方位角為α01，那么各GNSS 點在獨立坐標系下的平面坐標為：

式中，xi′、yi′為GNSS 點在獨立坐標系中的平面坐標；xi、yi為三維無約束平差后轉換得到的工程橢球所對應高斯平面直角坐標。上式即為工程GNSS 網(wǎng)固定一點一方向平差的函數(shù)模型。

由協(xié)方差傳播定律可知，將WGS84 空間直角坐標系下的GNSS 三維基線向量協(xié)方差陣的隨機信息傳遞到工程獨立平面坐標系的過程如下：

1）經(jīng)三維無約束平差后，將GNSS 三維基線向量的協(xié)方差矩陣DΔXΔYΔZ轉化為大地坐標的協(xié)方差矩陣DBLH；

2）經(jīng)高斯正算得到各GNSS 點在工程橢球所對應的高斯平面坐標，大地坐標的協(xié)方差矩陣DBLH也轉化為高斯平面坐標的協(xié)方差矩陣Dxy；

3）高斯平面坐標向工程獨立坐標轉換，得到工程獨立坐標系下坐標的協(xié)方差矩陣Dxy′ ；

4）工程獨立坐標系下，坐標的協(xié)方差矩陣Dxy′ 轉換為獨立坐標系下二維基線向量的協(xié)方差矩陣DΔ′xΔy。

綜上，獨立平面坐標系下二維基線向量的協(xié)方差的獲得過程即為：DΔXΔYΔZ→ DBLH→ Dxy→ Dx′y→ DΔ′xΔy，則有：

式中，Ra、RG、R 分別為大地坐標轉換、高斯投影、平面坐標轉換對應的參數(shù)矩陣。在獨立坐標系下，GNSS 二維基線向量參與最小二乘平差，其隨機模型DΔxΔ′y′也同時按照協(xié)方差傳播定律來進行變換，并由此可對GNSS網(wǎng)一點一方向平差結果的精度進行評定。

2 距離較差法

2.1 經(jīng)典的距離較差法

對于某一平差網(wǎng)中的2 個控制點A、B，假設A點是穩(wěn)定點，B 點為待定點，兩期邊長觀測值之差：，ΔSAB的中誤差為：實際測量中常以儀器標稱精度mD為中誤差，即：mD=a+b×S，其中a 為固定誤差，b 為比例誤差，S為基線長度。

該方法適用于控制點單點穩(wěn)定性分析。

2.2 平面方向穩(wěn)定性分析新方法

對于某一平差網(wǎng)中的2 個控制點A、B，其坐標分別為（XA,YA）和（XB,YB），這2 個控制點之間的方差協(xié)方差矩陣為：

此處控制點的協(xié)方差矩陣由COSAGPS 定制版軟件輸出，具體實現(xiàn)如下：

用戶自定義輸入點對信息文件：

文件名稱：項目名.GNSS2dPointPairInFile1

文件結構：每行輸入一對點，以空格分隔。

進行固定一點一方向平差，得到輸入點對應的兩個點的坐標的方差-協(xié)方差輸出結果文件：

文件名稱：項目名.GNSS2dPointPairCovOutFile1

文件結構：一對點的名稱占一行，后續(xù)4 行是這2 點對應的4×4 的方差協(xié)方差矩陣（單位：mm）。

控制點A、B 之間的距離如下：

對函數(shù)式求全微分得：

將微分關系式寫成矩陣形式：dSAB=KdL

其中，

應用協(xié)方差傳播律，即可求得：

當A 為固定一點一方向平差中的固定點時，與A 相關的方差協(xié)方差均為零，此時上式可化簡為：

式中，σXYBB為控制點B 的X、Y 坐標分量之間的協(xié)方差。

對于GNSS 控制網(wǎng)中的兩個同名控制點A、B，其第一期觀測平差后坐標為和，這2 個控制點之間的方差協(xié)方差矩陣為：

因此有第一期觀測得到的AB 邊的方差：

式中，

第二期觀測得到AB 邊的方差：

式中，

兩期觀測的邊長觀測值之差：

3 具體算例

鄂北地區(qū)水資源配置工程的某段帶狀控制網(wǎng)，長度約16 km，建網(wǎng)于2015 年12 月間觀測了67 個控制點；2016 年復測了65 個控制點，其中58 個控制點是建網(wǎng)時觀測的控制點，7 個控制點為新增觀測點。

對于控制點在平面方向上的穩(wěn)定性，此處利用整個廣水段的58 個同名控制點進行研究。采用兩期觀測的同名基線求差，根據(jù)相對中誤差最小準則，以3 550 點作為固定點，基線3 550-129 的方向作為固定方向，對GNSS 衛(wèi)星觀測的基線數(shù)據(jù)進行固定一點一方向平差，得到2016 年觀測控制點的坐標和2015 年建網(wǎng)觀測坐標。

計算兩期基線之差，分別采用同時顧及方差和協(xié)方差的全協(xié)方差陣法、只考慮方差的距離較差法和經(jīng)典的距離較差法對控制點的點位位移作穩(wěn)定性分析，經(jīng)典的距離較差法的基線中誤差為5 mm+1 ppm，不同距離較差法的△S 中誤差見圖1，距離較差法的穩(wěn)定性分析結果見表1。

圖1 不同距離較差法的△S 中誤差分布圖

表1 距離較差法的穩(wěn)定性分析結果

基于全協(xié)方差新方法和不考慮協(xié)方差的方法計算得到的△S 中誤差相差不多，不穩(wěn)定點均為2 383、131、134 和3 556。用經(jīng)典的距離較差法與基于全協(xié)方差新方法得到的△S 中誤差相差90%，不穩(wěn)定點僅有3 556。

4 結 語

本文對鄂北地區(qū)水資源配置工程的某段帶狀控制網(wǎng)兩期觀測的GNSS 數(shù)據(jù)進行解算，并利用COSAGPS軟件進行固定一點一方向平差，根據(jù)兩期平差結果對同名控制點的穩(wěn)定性進行分析，結果表明控制網(wǎng)中控制點2383、131、134 和3556 不穩(wěn)定，其他點穩(wěn)定。

針對基于協(xié)方差陣、不考慮協(xié)方差的距離較差法與經(jīng)典方法對比，發(fā)現(xiàn)前2 種方法得到的中誤差、限差相差不大，但均明顯小于經(jīng)典方法，基于全協(xié)方差陣的距離較差法可以減小將不穩(wěn)定點誤判為穩(wěn)定點的可能性。