開發解題智慧——探討解題方法的改進

■福建省長汀縣策武中學 陳廷長

一、運用數形結合思維開發初中生的解題智慧

初中生數學解題智慧的開發，可以從其大腦思維能力著手，而在數學解題中，存在豐富有用的數學解題思維，比如常見的數形結合解題思維，這是一種有效的數學解題思維方式，也非?？简灣踔猩拇竽X分析和理解能力。在講解一個初中數學函數題目時，可以引導學生應用數形結合思維，將題目中涉及的圖形、數量關系構建起來，以利用數與形的轉化迅速解答數學題目。

請看下面這道初中數學函數問題：直線y=x+3的圖像與x軸，y軸分別交于A，B兩點，直線l經過原點且與線段AB交于C，把△ABO的面積分成2：1兩部分，請求出直線l的解析式。

解題分析：從題目來看，似乎給出的數據信息并不多，但也存在很多的數學知識信息點，如直線方程、圖像、三角形面積等。那么如何運用這些數據信息來構建數學解題思維則是后續問題解答需要思考的問題。其中，為了有效開發學生的數學解題智慧，可以從數形結合角度，結合圖像中的數據信息條件，利用以形代數的思維方法，求解出相關的坐標進而得出解析式。

解題過程：看圖中信息，可以獲知其中的已知條件，即直線AB的斜率是k=1，由此得到OA=OB，從而推導出S△AOC=1/2 OA×yc；S△BOC=1/2 OA×（-xc)，又∵S△AOC：S△AOC=2或者1/2，∴直線的方程可以是y=-2x或者y=-1/2x.

二、運用轉化解題思路開發學生的數學解題智慧

除了上述提到的數形結合思維之外，很多初中數學題型還能運用轉化思維來解答，而轉化思維也是考驗學生大腦思維能力的一種有效思維方式，且有助于開發學生的解題智慧，使其可以懂得選擇比較適合解題的方法，從而形成良好的綜合解題意識。那么在實際解答數學幾何問題時，教師需要引導學生將復雜的幾何問題盡可能轉化為一個或幾個簡單問題來解決，或者是歸結為一個比較熟悉的問題來解決，這樣通過簡單或者熟悉的問題答案返回去求得復雜問題的答案，從而促使學生激活自身潛在的轉化思維智慧。

請看下面這道初中數學幾何問題：已知右圖中，P是正方形ABCD內的點，∠PAD＝∠PDA＝15°，請求證：△PBC是正三角形。

解題思路：初看這道數學幾何問題，似乎給出的數據信息不多，但是學生想要求證出△PBC是正三角形，也是需要找到解題突破口，才能有效解答數學問題。其中，教師可以引導學生將幾何問題轉化為數量關系分析問題，以提升解題的效率。

解題過程：根據題目條件，將題目中的幾何圖像進行拆分，即在正方形內作△DGC與△ADP全等，根據全等三角形的性質求出△PDG為等邊三角形，那么依據SAS證出△DGC≌△PGC，從而推出DC=PC，進而得到PB=DC=PC，由此得到△PBC是正三角形。

解題反思：在這道初中數學幾何問題中，教師可以從轉化思維角度，引導學生靈活將題目中的幾何問題轉化為數量分析，以將復雜的數學幾何問題簡單化，這樣更能夠節約解題時間。

三、運用分類討論思維開發學生的數學解題智慧

在一道初中數學題目中往往需要多步驟分析和探索，才能全面、有效地解答出數學問題的答案。其中，在初中數學解題中，學生應該遵循如下分類討論步驟：第一，明確數學題目討論的內容；第二，正確選擇和確定數學解題的分類標準，從而對數學問題進行合理的分類；第三，根據分類進行數學問題的逐類討論，由此提出解決數學問題的方案；第四，歸納討論的結果，并得出結論。另外，在應用分類討論思想時，學生也需要注意按照同一標準進行，否則將無法進行有效的數學問題分類討論?？墒牵瑹o論學生遇到的是怎樣的數學問題，都應該結合具體的數學題目，先思考是否能夠運用分類討論思想，再對數學問題進行作答。

請看下面這道初中數學問題：解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1

解題分析：對于初中數學不等式的解答，往往涉及分類討論思想，而教師可以運用分類討論逐步培育學生良好的討論習慣，由此逐步激發學生的數學解題智慧。首先，學生需要明確討論的對象，也就是不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1。其次，選擇相關的分類標準，這就需要學生將不等式中的絕對值去掉，從而有效確定分類討論的區間，即，x≤-3/2，-3/2＜x≤5，x＞5。最后，根據這些分類的目標及標準，對這些討論的區間進行分析，從而求解出答案。

解題過程：

（1）當x≤-3/2時，原不等式化為－（x-5）-［-（2x+3）］＜1，解得x＜-7，結合x≤-3/2，故x＜-7是原不等式中的一個解。

（2）當－3/2＜x≤5時，原不等式化為－（x-5）-（2x+3）＜1，解得x＞1/3，又∵-3/2＜x≤5，∴1/3＜x≤5。

（3）當x＞5時，原不等式化為：x-5-（2x+3）＜1，解得x＞-9，結合x＞5，故x＞5是原不等式的解。

那么綜合上述分析結果，最終得到不等式的解為：x＜-7或者x＞1/3

解題反思：當遇到需要分類討論的數學問題時，學生應該運用分類討論的思想，對其中的數學題目進行分析和討論，這樣有助于一步步激活自身的解題智慧與能力。

綜上所述，對于初中生數學解題智慧的開發，教師可以從各種數學解題思維角度來培育學生的數學解題能力，由此逐步開發學生的數學解題智慧，進而提升學生的數學解題效率。