神壇上的達·芬奇*
——以達芬奇的數學手稿為中心

代 欽

(內蒙古師范大學科學技術史研究院 010022)

1 前言

列奧納多·達·芬奇(Leonardo da Vinci，1452-1519)，是意大利文藝復興時期最具創造力的藝術家、建筑師、工程師、科學家和數學家.他是意大利文藝復興時期的象征，在那個年代里沒有人能夠有比達·芬奇更廣闊的世界(1)[瑞士]雅各布·布克哈特.意大利文藝復興時期的文化[M].何新，譯.北京：商務印書館，1997:40..由于達·芬奇為藝術作品蘊含思想和表現方法方面做出的開創性的劃時代的貢獻，人們認為達·芬奇是新觀念的創始人，揭示藝術家是沉思與創造的思想家，并非是僅按每天涂抹的面積計酬的工匠.“16世紀種種關于藝術家的尊嚴的觀念，顯然都可以追溯到他所樹立的榜樣.”(2)黃才郎.西方美術辭典[M].北京：外文出版社，2002：480.達·芬奇沒有某一科學技術領域的正式出版的著作，他關于解剖學、生物學、數學、物理以及力學方面的研究成果留在其浩瀚的手稿和筆記中.

達·芬奇于1452年4月15日出生在意大利皮斯托亞地區芬奇鎮.他母親卡泰麗娜(15歲)與職業公證人、貴族男子瑟·皮耶羅·達·芬奇(25歲)未婚生下達·芬奇.因為卡泰麗娜處于社會底層，被達·芬奇家族打發走之后與他人結婚.達·芬奇在其爺爺家成長，他父親后來先后娶了4位妻子，為達·芬奇帶來了13位同父異母的弟弟和妹妹.迄今為止，尚未發現達·芬奇在芬奇鎮生活16年的詳細歷史記載.僅有的信息是“在學習計算法的幾個月里，他獲得了長足的進步，因此不斷地向老師提出質疑并與老師探討難點，但通常老師也會被他的問題難住.”(3)[意大利]恩里卡·克里斯皮諾.達·芬奇[M].田麗娟，張惠，邢延娟，譯.南京：譯林出版社，2018:12在其他的達·芬奇傳記中也有類似的記載(4)歐仁·明茨.列納奧多·達·芬奇(第一卷)[M].陳立勤，譯.北京：人民美術出版社，2014:22..這也說明達·芬奇在16歲之前沒有受到良好的數學教育.1468年達·芬奇爺爺去世，16歲的他離開了芬奇鎮到意大利文藝復興中心佛羅倫薩，進入韋羅基奧的畫室學習.1473年，達·芬奇完成了自己的第一幅畫作——《阿諾河風光》.達·芬奇在韋羅基奧畫室工作了8年，24歲離開.1481年到米蘭以后，達·芬奇開始接觸解剖學、光學、動力學、靜力學、地質學、數學等多個學科領域.1494-1495年，繪制《最后的晚餐》，1497年完成.1500年，第二次移居佛羅倫薩時期，達·芬奇對幾何學、光學、水學和解剖學進行了深入研究，開展阿爾諾河改道工程，創作《安吉亞里之戰》、《巖間圣母》等作品.1513年又去米蘭，后又定居羅馬，得以潛心于數學、科學和工藝技術的研究，并創作了手稿《幾何游戲》.之后開展排水工程工作.1515年，達·芬奇所進行的科學研究被認為是“妖術”，遭到圣靈醫院驅逐.1516年繪制《摧毀世界的大洪水》系列圖稿.1517年前往法國為國王弗朗索瓦一世服務，進行土地規劃研究，并完成了一座巨型城堡的建筑設計工作.此時達·芬奇右手已經癱瘓.1519年5月2日，達·芬奇去世，8月12日，埋葬，骨灰后來遺失.

至于達·芬奇是否為數學家，研究者們有不同看法.1545年“加迪亞諾無名氏”編輯的《萊奧多納·達·芬奇》中說達·芬奇“精通數學和透視學”(5)[意]萊奧納多·達·芬奇.繪畫論[M].[法]安德烈·夏斯塔爾，編譯.邢曉聲，譯.長沙：湖南美術出版社，2019:34..1550年，喬治·薩瓦里的《萊奧納多·達·芬奇》中說：達·芬奇“花費數月功夫弄數學，進步神速，甚至經常出難題讓老師受窘.”(6)[意]萊奧納多·達·芬奇.繪畫論[M].[法]安德烈·夏斯塔爾，編譯.邢曉聲，譯.長沙：湖南美術出版社，2019:39.美國的麥克·懷特認為達·芬奇是一位不嫻熟的勉強及格的數學家(7)麥克·懷特.達芬奇：科學第一人[M].徐琳英，王晶，譯.北京：中國人民大學出版社，2011:146.，英國丹尼爾·史密斯認為達·芬奇是“當時杰出的數學家”(8)[英]丹尼爾·史密斯.天才的另一面：達·芬奇[M].肖競，譯.北京：電子工業出版社，2016:133.，有人認為“相比其他學科，列奧納多在純粹數學領域的想法較平淡無奇.”(9)歐仁·明茨.列奧納多·達·芬奇(第二卷)[M].陳立勤，譯.北京：人民美術出版社，2014:74.我們根據上述觀點和達·芬奇各種手稿中豐富的數學內容，特別是幾何作圖及其應用以及當時的數學發展水平等因素，認為達·芬奇是一位應用數學家，而且他的數學工作傾向于幾何學.

達·芬奇作為數學家，對數學有深刻的理解和認識，并對數學的研究內容的特點、數學價值等方面提出了很多獨到見解.他強調：“不是數學家，讀不懂我作品中的原理.”(10)[意大利]達·芬奇.達·芬奇藝術與生活隨筆[M].戴專，譯.北京：光明日報出版社，2012：128.可以換句話說，“不懂數學，勿讀吾書.”于是很自然地讓人聯想到古希臘哲人柏拉圖學園匾額上的“不懂幾何，不得入內”的千古名言.“不懂數學，勿讀吾書”，間接地告訴人們達·芬奇的作品皆以數學原理為基礎，因此數學是認識達·芬奇天才智慧的一把鑰匙.

2 達·芬奇手稿、筆記和藏書

探尋達·芬奇藝術、科學技術的學習和研究成長道路時，他豐沛的手稿會提供關鍵信息，豐富的藏書也揭示了他學習研究的廣度.因此有必要簡要介紹其手稿、筆記和藏書情況.

2.1 達·芬奇手稿

達·芬奇手稿是我們去認識他偉大而輝煌成就的窗口.達·芬奇的手稿可以用“浩如煙海”來形容，多達3萬頁，所涉及學科領域非常廣泛.1519年達·芬奇去世后，其手稿全部由達·芬奇學生弗朗西斯科·梅爾茲繼承，一直保存到1570年.遺憾的是梅爾茲的兒子奧拉齊奧對這些手稿毫無興趣，于是這些手稿遭遇了四散流落的厄運.目前只有五分之一的手稿被保存下來，現藏于意大利、美國、法國、英國和西班牙等國家.達·芬奇手稿完成時間順序如表1.

表1 達·芬奇手稿一覽表

從目前我們掌握的情況看，在《大西洋古抄本》《馬德里手稿》《哈默手稿》《福斯特手稿Ⅰ》《手稿L》等手稿中有數學內容，內容不重復，側重點不同.其中，《大西洋古抄本》《馬德里手稿》中的數學內容最多，因此這里主要以這兩本手稿為重點論述達·芬奇的數學工作.

《大西洋古抄本》(11)Leonardo Da Vinci.DISEGNI DI MACHINE ET DELIE ARTI SECRET ET ALTRE COSE DI LEONARDO DA VINCI RACOLTI DA POMPEO LEO NI(1478-1519)[M].Milan,1964.是達·芬奇舉世聞名的手稿，自1637年以來保存在安布羅西亞納圖書館，分12卷，1119頁，羚羊皮裝訂，尺寸為60.5 cm×46.0cm，如圖2.莫皮奧·列奧尼巴·達·芬奇將達·芬奇的1750頁手稿和零散的碎片粘在大規格紙張上并裝訂成冊.由于大規格紙張像地圖冊一樣大小，因此起名為《大西洋古抄本》.手稿包括武器設計、民用裝置、建筑與幾何、飛行與運動四個領域，可以分為24個主題，其中數學手稿至少有220頁.每一個領域均用到幾何學作圖知識，但是只有在“建筑與幾何”中有幾何學研究內容.即編號849v“建筑與幾何學研究”、編號762v“建筑設計與幾何學研究”、編號696r“圓規和幾何設計”、編號471v“幾何游戲”、編號505r“用曲線切割方形”、編號307v“從圓到星型結構”、編號518r“幾何學研究”等.從整體上看，所謂的幾何學研究就是幾何作圖、幾何證明和幾何應用，但是達·芬奇沒有給出作圖步驟，每一幅作品中呈現的幾何圖形特點各自相異.

圖1 達·芬奇肖像

圖2 《大西洋古抄本》

《馬德里手稿》是達·芬奇兩卷手稿的總稱，均藏于西班牙馬德里國立圖書館，其索引號分別是8937和8936，為第I卷和第II卷，如圖3.1966年這兩本手稿在西班牙國家圖書館偶然發現.1830年，由于當時兩卷手稿被皇家圖書館收入并進行分類編目時出現標識錯誤，長期以來人們對兩卷手稿的存在一無所知.

圖3 《馬德里手稿》

《馬德里手稿I，8937》，184頁，尺寸為21cm×15cm.第I卷第一部分內容為各種機械繪圖，其中包括各式鐘表，第二部分內容則主要是對理論力學的研究和幾何學研究.

《馬德里手稿II，8936》，157頁，尺寸為21cm×15cm.該手稿由兩個部分組成，在內容和撰寫時間方面兩部分手稿都迥然相異.該手稿包括河道設計、透視法、光學、比例理論、幾何學等內容.在幾何內容中有歐幾里得《幾何原本》的學習心得、幾何概念的界定以及對數學研究對象的分類.在該手稿中立體幾何內容較多.

2.2 達·芬奇筆記

達·芬奇筆記并不是我們所想象的那樣——整齊井然寫出來的內容，而是后人從其手稿的不同段落中甄選并按內容分類而形成的筆記.目前在世界上流傳的達·芬奇筆記有多種.我們從他的筆記中可以了解其對藝術、科學技術、數學等方面的思想.我們現在掌握的達·芬奇筆記有以下幾種：

(1)Edward MacCurdy.The Notebooks of Leonardo Da Vinci [M]. London ：The Reprint Society London，1954.(該書為兩卷本，自1938年初版問世以來在美國和英國等國家多次出版.)

(2)Edward MacCurdy.The Notebooks of Leonardo Da Vinci [M].New York：George Braziller，1958. (該書初版是1939年由Reynal &Hitchcock Incorporated，Inc出版.)

(3)H.Anna Suh.Leonardo’s Notebooks:Writing and Art of the Great Master[M].New York：Black Dog &Leventhal Publishers，2005.

(4)[意]列奧納多·達·芬奇. 達·芬奇筆記[M].[美]H·安娜·蘇，編.劉勇，譯.長沙：湖南科學技術出版社，2015.

(5)[意大利]達芬奇.達·芬奇藝術與生活筆記[M].戴專，譯.北京：光明日報出版社，2012.

(6)[意]萊奧納多·達·芬奇. 達·芬奇筆記[M].周莉，譯.南京：譯林出版社，2018.

(7)[意] 達·芬奇. 達·芬奇筆記[M].杜莉，編譯.北京：金城出版社，2011.

(8)[英]艾瑪·阿·里斯特. 達·芬奇筆記[M].鄭福潔，譯.北京：生活·讀書·新知三聯書店，2007.

從數學的角度看，Edward MacCurdy整理的筆記中有“數學”章，30多頁，主要是達·芬奇關于數學思想方法及其價值的論述.這是我們宏觀地了解達·芬奇的數學工作和數學觀的重要文獻，但是微觀認識達·芬奇數學工作和數學觀方面還是有些欠缺，因為在整理筆記時把相關的幾何圖形全部忽略了.另外，中譯本筆記中關于數學內容很少，甚至翻譯時譯者把關于數學的內容給精簡了.因此，中譯本筆記給我們提供的信息非常有限.

2.3 達·芬奇藏書

藏書也會反映一個人的閱讀興趣、研究志向、視野廣度和思想深度.我們從達·芬奇的藏書可以窺見這一切.達·芬奇是一位藏書家，在那個年代來說他的藏書量是極其豐富的，有116種圖書(12)Leonardo Da Vinci. Tratados Varios De Fortificacion Estatica Y Geometria Escritos En Italiano Ⅱ：Library Number 8936[M].Tokyo: Iwanamisyoten, 1975： 2-4.オレナルド·ダ·ヴぃンチ.マドリッド手稿第Ⅲ巻[M].小野健一，訳.東京：巖波書店，1975：95-110．，涉及的領域有數學、天文歷法、醫學、生物學、工程、建筑、語言、文學、水力學、圣經、哲學等.在他的藏書中有但丁的《神曲》、克雷森齊的《農事書》、阿爾伯蒂的《論繪畫》、阿維森納的《醫典》、博納蒂的《眾星之書》、阿瑪迪奧的《建筑之書》、歐幾里得的《幾何原本》和馬爾西利奧的《柏拉圖神學》等經典著作.不太了解書籍歷史的人也許會認為僅藏有116種圖書的人還算什么藏書家.讓我們從另一個角度看達·芬奇是否是藏書家.如，在15世紀，劍橋大學圖書館的藏書僅有幾百冊圖書(不是幾百種)，而且只涵蓋了當時人類知識相當有限的方面，且這些藏書主要是宗教方面的，用以培養出識字的牧師(13)[英]杰克·古迪.文藝復興——一個還是多個？[M].鄧沛東，譯.杭州：浙江大學出版社，2017：33..

就達·芬奇所藏數學書而言，包括與他工作有關的重要數學書，具體如下：

1.歐幾里得幾何學(EUCLIDE IN GEOMETRIA)：Euclides, Elementa geometriae(Erhardus Ratdolt,1482年)、Campanus Novariensis(Leonardus Acha-tes & Gulielmus de Papia, 1491年) (Sim. Bivilaqua,1502年).達·芬奇沒有說明版本，它可能是以上三種版本之一.

2.Libro de abbaco che insegna a fare ogni ragione mercantile, Stampato nell’inclita citta di Milano per Jo. Antonio Borgo(沒有出版年代)，這可能是木板裝訂的算術教科書Libro d’abaco da Milano， grande， in asse.

3.La nobel opera de arithmetica. . . compilata per Piero Borgi da Veniesia(威尼西亞版，1484年).

4.Filippo Calandri, Ad nobilem et studiosum Julianum Laurentii Medicem,De aritmethrica opusculum(Lorenzo da Morgiani et Giovanni Thedesco da Magonza，1491-1492年).

5.Abaco, ossia maniera facile per apprender ogni conto(1478年).

6. Paolo Dagomari(1281-1374).Trattato d’abbaco,d’astronomia e di segreti naturalie medicinali.

7.透視法概論(PROSPETTIVA COMUNE)：Joannes Cantuariensis, Prospectiva comunis. . . castigata per Facium Cardanum (Petrus Cornenus，約1480年).

8.歷法(CALENDARIO)，Joh. Regiomontanus, Calendarium (有1476年、1478年、1482年等版本).

9.Joh. MuellerEphemerides (天體位置推算歷).

10. Luca Pacioli de Borgo, Summa de arithmetica. ..(…，Paganino de Paganini, 1494年)

11.圓的求積法(QUADRATURA DEL CIRCULO).

12.算術小冊子(LIBRETTO VECHIO D’ARISSMETRICA).

3 達·芬奇的數學定義觀及其淵源

達·芬奇認為數學是一門具有確定性的學科，其概念界定明確，內容分類清晰.他說：“那些對數學至高無上的確定性提出質疑的人，只能讓自己陷入困惑之中，他永遠無法平息那些由矛盾和詭辯術所導致的無休止的爭論.”(14)[意大利]達·芬奇.達·芬奇藝術與生活隨筆[M].戴專，譯.北京：光明日報出版社，2012：128.數學的確定性是判斷是非的基準，學習數學也是提高判斷能力的過程.判斷力在達·芬奇思想中占有至關重要的位置.他認為“‘首先，學習科學，判斷力落后于技藝的人是無能的，判斷力超越手藝的人才走在追求完美的道路上.’——沒有理論支持的行動，就像沒有指南針和船舵的水手.”(15)歐仁·明茨.列奧納多·達·芬奇(第二卷)[M].陳立勤，譯.北京：人民美術出版社，2014：55.

達·芬奇對數學確定性的觀點是來自于古希臘的畢達哥拉斯、蘇格拉底、柏拉圖和亞里士多德等賢者的經典著作.他的數學知識多來自于古希臘數學家歐幾里得《幾何原本》和意大利數學家盧卡·帕喬利的Summa de Arithmetica，Geometria，Proportioni et Proportionalita(《算術、幾何、比及比例概要》，1494年).他繼承了古希臘數學之“四藝”說，將數學分成算術、幾何、天文學和音樂.達·芬奇認為，算術處理的是不連續的量，幾何處理的是連續的量.算術是一門計算科學，它有真實和精確的數字，但是對于處理連續量卻無濟于事.(16)[美]沃爾特·艾薩克森.列奧納多·達·芬奇傳[M].汪冰，譯.北京：中信出版社，2018:202.在他的《馬德里手稿》中進一步論述時除了連續與不連續之外還有有理量和無理量的概念(17)Leonardo Da Vinci. Tratados Varios De Fortificacion Estatica Y Geometria Escritos En Italiano Ⅱ：Library Number 8936[M].Tokyo: Iwanamisyoten, 1975：46.：算術的研究對象是離散的有理量，幾何的研究對象是連續的量，這種量包括無理量和有理量；天文學的研究對象是連續而變化的量；音樂的研究對象是連續的量.達·芬奇對音樂概念的界定與畢達哥拉斯“四藝”中的界定有所不同，畢達哥拉斯認為音樂是研究連續但偶爾離散的量的科學.達·芬奇進而介紹了算術比例、幾何比例、調和比例以及不連續比例和連續比例的概念.這些數學知識的獲得來自于他的數學啟蒙老師盧卡·帕喬利的著作.

達·芬奇的數學研究主要依靠他的超凡的空間直覺能力，詳細的論證并不多，但是他非常注重數學概念的定義，而且極為詳細.如，他對點、線、面、角、正方形、長方形、菱形、平行線、圓及其直徑和半徑、直線形中的三角形及其種類、四邊形和多邊形(18)レオナルド·ダ·ヴィンチ.マドリッド手稿Ⅴ[M].東京：巖波書店，1975：295-298.、曲線中的弓形、月牙形、鐮刀形和葉子形等概念給出了詳細的定義.

達·芬奇定義如下圖4(19)Leonardo Da Vinci. Tratados Varios De Fortificacion Estatica Y Geometria Escritos En Italiano Ⅱ：Library Number 8936[M].Tokyo: Iwanamisyoten, 1975：140.，闡明了正方形、長方形、平行四邊形、菱形、圓、半圓及直徑、弓形、三角形及其種類.

圖4 達·芬奇定義幾何圖形概念

這里有必要簡要介紹達·芬奇的弓形定義.筆者在查閱大量與達·芬奇數學手稿有關的歷史文獻時發現，國內出版的不少數學工具書、數學史書、中譯本的達芬奇傳記和少量的達·芬奇手稿中將月牙形稱為弓形，造成對弓形、月牙形等概念認識的混亂.事實上，達·芬奇嚴格區分了弓形、月牙形、鐮刀形和葉子形四個概念.因為這四個圖形在達·芬奇的整個創造工作中提供了不可替代的基本的工具性素材.如果達·芬奇離開了這四個幾何圖形，那么他的多數創造性設計就不會存在，換言之多數手稿也就不可能出現了.

弓形：所謂圓的弓形是不等于圓直徑的線段將該圓分割兩部分所形成的兩個幾何圖形.(如果該線段等于直徑，則將圓分成兩個相同的部分，即半圓.)如圖5(20)レオナルド·ダ·ヴィンチ.マドリッド手稿Ⅴ[M].東京：巖波書店，1975：139..

圖5 弓形

月牙形：在直角三角形中，如果以兩直角邊為直徑向形外作半圓，又以斜邊為直徑向形內作半圓，則斜邊上的圓和兩個直角邊上圓相交所形成的非陰影圖形叫做月牙形.直角三角形面積等于兩個月牙形面積之和.如圖6(21)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第1563頁.，圖中的陰影部分就是弓形.

圖6 月牙形

鐮刀形：在一條線段上依次向左(或向右)作半圓，這些半圓直徑的一個端點(右側)是共同的，其他半圓直徑的端點依次相隔等距離而成的圖形，如圖7(22)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第1803頁..關于鐮刀形的研究并不是達·芬奇開創的，早在古希臘羅馬時期已經有了，在那時用鐮刀形所形成的圓的直徑上被分割的線段長度關系表示音程(23)[古羅馬]維特魯威.建筑十書(典藏版)[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注；陳平，中譯.北京：北京大學出版社，2019:241..

圖7 鐮刀形

葉子形：兩個圓相交之后形成的公共部分，如圖8(24)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第1229頁..葉子形是在達·芬奇手稿中出現最多的一種.

圖8 葉子形

達·芬奇對概念下定義，在揭示概念內涵時以追究知識終極起源的哲學思想為基礎的，他說(25)[意大利]達·芬奇.達·芬奇藝術與生活筆記[M]. 戴專，譯.北京：光明日報出版社，2012：129-130.：

科學是大腦對事物終極起源原理的研究，除了終極起源，大自然沒有其他的物質能夠組成事物的各個部分.舉例來說，在連續量中，也即幾何學中，先是從物體的各個面開始，面的起始與終止都是線；我們不能滿足于此，因為我們知道線終結于點，而點是最小的單位.因此點就成了幾何學的第一起源，不論是在自然還是在人的頭腦中，都沒有什么能讓點再次被分割了.如果你說，當一個平面與鐵器的尖頭發生接觸后就創造了點，那是不正確的；我們只能說那個接觸點是圍繞著它的中心形成的面，而中心才是點.這個點并不是構成面的一部分，無論是它還是世界上所有的點，哪怕它們都組合起來——假設它們能組合起來——也無法構成這個面的任何一部分.你可以想象，假設一個完整的平面由一千個點構成，如果我們將這一平面分成一千份，我們仍然能說，分開后的每一部分其包含的點跟未分之前的平面，其點的數量是一樣的；我們可以用無，也就是十進位算術中的零，來證明它.零代表著什么也沒有，但將它放在其他數字后面，就會成為那一數字的十倍， 如果那一數字后面有兩個零， 則是一百倍.每往數字后增加一個零，新的數字就是未加零之前那個數字的十倍，如此反復，可讓數字到無窮大.但零本身就是無，全世界所有的零加起來，跟一個零在內容和價值上都是相同的.

這里對幾何學中點的論述是頗為精彩的，認為點是沒有大小只有位置的一個存在.他擔心別人可能不易理解他的解釋，進而將點、無、零這三個要素結合起來闡釋.這實際上局部地揭示了幾何學和算術之間的內在聯系，體現了數形結合的思想方法.達·芬奇的這番闡釋讓人們聯想到德國哲學家黑格爾，特別是恩格斯對零的解釋.比達·芬奇晚300多年的恩格斯認為(26)恩格斯.自然辯證法[M].中共中央馬克思恩格斯列寧斯大林著作編譯局，譯.北京：人民出版社，2018:191-192.：

零是任何一個確定的量的否定，所以不是沒有內容的.相反，零具有非常確定的內容.作為一切正數和負數之間的界限，作為既不是正又不是負的唯一的真正的中性數，零不只是一個非常確定的數，而且它本身比其他一切以它為界限的數都更重要.事實上，零比其他任何一個數都有更豐富的內容.把它放在其他任何一個數的右邊，按我們的記數法它就使該數變成原來的十倍.在這里，本來也可以用其他任何一個記號來表示零，但是有一條件，即這個記號就其本身來說表示零，即等于0.因此，零本身的性質決定了零有這樣的用處，而且唯有它才能夠這樣應用.

在如何理解零的問題上，達·芬奇和恩格斯的觀點基本相同，不同之處在于達·芬奇將零作為終極起源來看待的，恩格斯基于黑格爾的辯證法觀點闡釋了零.

另外，達·芬奇說：“如果我們將這一平面分成一千份，我們仍然能說，分開后的每一部分其包含的點跟未分之前的平面，其點的數量是一樣的.”這段論述表明在平面任何一個小塊上點數和原來平面的點數相等.達·芬奇的該結論讓人們立即聯想到實變函數中的相關理論，即實數軸上任何一個區間與實數集對等，即任何一個區間的基數與實數集的基數相等，它們都是阿列夫(連續基數或連續統勢c)，同理，平面上任何一個小塊和整個平面也具有相同的基數.

4 達·芬奇求面積及其思想內涵

達·芬奇的數學學習和研究的重點在于幾何作圖，但是作圖并不是單純的幾何圖案和各種設計中的作圖，更不是簡單的作圖案.

這里主要介紹達·芬奇求三角形和圓面積的對稱性“割補法”和等積變換法.在達·芬奇手稿中多處見到求三角形面積、圓面積和正方形加倍問題的圖形.因此，在此主要以“762v建筑設計與幾何學研究”為例論述，同時相應地闡述有關問題的歷史淵源.

4.1 三角形面積

“建筑設計與幾何學研究”中有26幅幾何圖形，可以分為四類：第一類為正方形內切圓，內切圓的內接正方形，依次做下去.并在圓和正方形之間所產生的同類幾何圖形中做陰影，形成有規則的建筑設計圖案——弓形或葉子形.第二類為作圓內接正方形，并以第一類圖形做法進行下去.第三類為現在小學數學教科書中的簡單的等積變換的幾何圖形，即求三角形面積公式的“割補法”，如圖10.圖10是從圖9中截取的.第四類為其他各種復雜的圖形，這里不進行討論.另一個幾何圖形就是“建筑設計與幾何學研究”中間的正方形內接正方形(27)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第786頁..

圖9 建筑設計與幾何學研究

圖10 三角形面積

由圖9可以截取圖10后可見，如果是直角三角形，則將直角三角形中位線上方小三角形旋轉180°，直角三角形變成矩形，即矩形面積就是直角三角形面積.如果不是直角三角形，則作三角形高與中位線，將中位線上方兩個小直角三角形旋轉180°，使三角形變成矩形.矩形的面積就是三角形的面積.另外，從第二個三角形圖也可以看到，以三角形高將原來三角形分成兩個直角三角形，則分別以兩個直角三角形斜邊的中點為中心將兩個直角三角形相反方向旋轉180°，則得到的矩形面積等于原三角形面積的兩倍.綜上所述，達·芬奇實際上給出了求三角形面積的三種方法.

《馬德里手稿》中也討論了三角形面積和錐體體積.達·芬奇說：“任意三角形的面積是其底邊與高的乘積的二分之一.任意錐體的體積是底面與其高的乘積的三分之一.”如圖11(28)Leonardo Da Vinci. Tratados Varios De Fortificacion Estatica Y Geometria Escritos En Italiano Ⅱ：Library Number 8936[M].Tokyo: Iwanamisyoten, 1975：70..從圖形看，三角形面積的表達直觀清晰，但是錐體的體積的圖形表達顯得拙劣一些.

圖11 《馬德里手稿》中的三角形

這一方法與中國南宋數學家和數學教育家楊輝(字謙光，約13世紀中葉至后半葉活動于蘇、杭一帶)求三角形面積方法不謀而合.楊輝在《田畝比類乘除捷法》中用劉徽的“以盈補虛”方法來詳細地闡明了三角形面積公式的推導，補充了各種可能的情況，使得推理方法更嚴謹、靈活.具體如下：

“廣步可以折半者，用半廣以乘正從.從步可以折半者，用半從步以乘廣.廣從皆不可折半者，用廣從相乘折半.”

用幾何圖形表示如圖12(已知△ABC，D、E分別為邊AB、AC的中點).

圖12 楊輝求三角形面積法

4.2 圓面積

求圓面積是現在小學數學中常識性知識，但也是重要內容之一，因為它蘊含著深刻的數學思想方法——將曲線形變成直線形的辯證思想方法.西方數學教育史告訴我們，達·芬奇那個年代還沒有像現在這樣系統的學校數學教科書，雖然《幾何原本》是公認的教科書，但是對一般的學習者來講讀懂它并不是一件容易的事情.達·芬奇對初等幾何的興趣濃厚而廣泛，他熱衷于圓面積的求法，在其手稿中也有不少相關內容.如圖13(29)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第1203頁.所示，在圖的左下角的將圓分割成若干個相等部分，并將它轉化為平行四邊形.這是我們所熟悉的求圓面積的方法.達·芬奇形象地描述圓面積，即圓如車輪，圓的半徑相當于車條，假如車輪有16個車條，那么它們把車輪分成16個全等的扇形(看作小等腰三角形)，用16個等腰三角形可以制作一個平行四邊形，于是圓面積可看作為平行四邊形的面積.

圖13 圓面積與多面體

4.3 正方形面積加倍問題

正方形面積加倍或者用已知正方形制作其兩倍面積的正方形的問題已有兩千多年的歷史，它也是勾股定理的特殊情形.這一問題也自然地成為達·芬奇研究的主題之一，在他的手稿中多處可以看到這一問題的各種直觀表示.如編號為849v“建筑與幾何學研究”局部中，有3個正方形面積加倍的幾何圖形，如圖14.又如，編號為762v“建筑設計與幾何學研究”中部有微小的正方形面積加倍的幾何圖形，放大后如圖15.

圖14 編號849v“建筑與幾何學研究”局部

圖15 762v“建筑設計與幾何學研究”局部

達·芬奇的正方形面積加倍問題的幾何圖形看似很簡單，但是它讓人們浮想聯翩，引領人們在數學的歷史長河中漫游.

首先，這個問題讓達·芬奇本人也感到沮喪，因為邊長為有理數的正方形的對角線是無法用他的直觀理解表達出來的.“在正方形的正下方，達·芬奇用一行小字克制地表達了他當時沮喪的心情：‘如果我做成過什么事，請告訴我吧.’這句話在他的手稿中曾以不同的縮寫形式出現過很多次.數學的神秘感和無窮無盡的謎題，常常令他感到沮喪.”(30)[英]馬丁·肯普.達·芬奇100個里程碑[M].葉芙蓉，譯.北京：金城出版社，2019:85.

其次，讓人們聯想到蘇格拉底回憶知識的故事(柏拉圖《美諾篇》)，蘇格拉底用“產婆術”使一個奴隸小孩回憶起——制作已知正方形的兩倍面積的正方形，即用兩個相同的正方形制作一個正方形.不妨把這個問題簡稱“蘇格拉底問題”.另一方面，該圖形讓人聯想到勾股定理的特殊情形，即等腰直角三角形的斜邊上正方形面積等于兩個直角邊上的正方形的面積之和.“蘇格拉底問題”也引發更具有挑戰意義的擴展問題：用兩個不同的正方形能否制作一個新的正方形？用n個正方形能否制作一個正方形？

在維特魯威的《建筑十書》中也有該故事的改編版，給正方形賦予了具體數字，具體如下(31)[古羅馬]維特魯威.建筑十書(典藏版)[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注；陳平，中譯.北京：北京大學出版社，2019:190.：

首先，我將舉例柏拉圖眾多極其實用的發現之一，正如他所說明的.有一塊正方形的基址或田地，各邊長度相等，如果要它的面積成為原來的兩倍，就需要一種數字，這種數字通過計算是求不出的，只有畫出精準的線條才能求出.以下便是對這個問題的證明：有一塊正方形的土地，十足長十足寬，面積一百平方足.如果需要使它的面積翻倍，成為一塊二百平方足的土地，同時保持各邊同長，那么這正方形的邊長應該是多少.通過計算不可能求出此數的，因為如果邊長定為十四，那么將邊長相乘便得出196平方足；如果邊長為十五，會得出225平方足.因此，答案靠數字是求不出的.

這里的所謂算不出來的數字，就是不可通約量，即為無理數.從維特魯威的這段所謂的證明容易知道，柏拉圖的《美諾篇》中的故事為西方古代建筑理論家提供了一個重要啟示——有些數學問題不用計算而用幾何知識就可以得出不同對象之間的數量關系.

最后，西方哲學家借助“蘇格拉底問題”闡述自己的數學教育觀點.如德國著名哲學家叔本華也曾經討論該問題.叔本華提出(32)[德]叔本華.作為意志和表象的世界[M].石沖白，譯.北京：商務印書館，2018:114—119.：

歐幾里得所證明的一切如此如彼，都是人們為矛盾律所迫不得不承認的，但是何以如此如彼，那就無法得知了.所以人們幾乎是好像看過魔術表演一樣，有一種不太舒服的感受；事實上，歐幾里得大多數的證明都顯著地像魔術.

通常在幾何學中，例如在畢達哥拉斯定理中，需要作出一些直線，卻不明白為什么要這樣做；往后才發現這些原來都是圈套，出其不意地收緊這圈套的口，就俘虜了學習人的信服，學習人只得拜倒而承認一些他完全不懂個中情況的東西.事實竟至于此，學習人可以從頭至尾研讀歐幾里得的著作，然而仍不能對空間關系的規律有任何真正的理解；代之而有的只是背誦一些來自此等規律的結果.這種原屬經驗的，非科學的知識就如一個醫生，他雖知道什么病要用什么藥，卻不認識兩者間的關系一樣.

畢達哥拉斯定理也告訴了我們直角三角形的一種隱秘屬性.(如圖16)歐幾里得那矯揉造作，挖空心思的證明，一到“何以如此”就避而不見面了；而下列簡單的，已經熟知的圖形，一眼看去，就比他那個證明強得多.這圖形讓我們有透入這事的理解，使我們從內心堅定地理解[上述]那種必然性，理解[上述]那種屬性對于直角的依賴性；在勾股兩邊不相等的時候，要解決問題當然也可以從直觀理解入手.

圖16 畢達哥拉斯定理的特例

羅素借助蘇格拉底的回憶說時也討論過該問題(33)[英]伯蘭特·羅素.西方的智慧——從社會政治背景對西方哲學所作的歷史考察[M].溫錫增，譯.北京：商務印書館，1999:69..(未完待續)