初中數學畢業考試命題變革的思考與實踐

吳增生

(浙江省仙居縣教育局教研室 317300)

初中數學畢業考試是對學生初中階段學習結果的終結性評價，同時兼顧升學選拔功能,對數學教育教學具有重要的導向作用.當前，初中學業水平考試還存在著價值趨向不一致，試題質量不夠高等問題.基于此，教育部于2019年發布了《關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》(下文簡稱《意見》)，提出了堅持正確導向，提高命題質量等一系列要求，明確了今后命題改革的基本方向.以這一《意見》為導向，分析當前初中畢業考試命題的不足，提出研究改進命題的可操作的方案，并進行實踐研究，這具有重要的理論和現實意義.

1 初中畢業考試的現狀和存在的問題

自從本世紀初第一輪課程改革以來，學業考試評價也經歷了近20 年的改革，全國各地的畢業考試的價值取向發生了根本性的變革，命題技術得到了長足的發展，為促進教學方式的變革，保障新課程的實施做出了積極的貢獻.主要體現為：(1)考試的根本屬性從選拔性常模參照評價轉變為標準參照評價兼顧升學選拔要求；(2)從原來只重視結果性知識轉變結果與過程并重，重視知識形成過程中數學思想方法的考核，重視知識形成過程中“觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證”[1]等數學活動的考核.重視知識的應用，減少了繁、難、偏、舊的傳統考核內容；(3)命題技術有長足的發展.通過近20年的考試評價改革，對知識的形成過程及應用的考核技術逐步成熟.比如，創建適當的問題情境(包括數學情境、現實情境、學習情境、科學情境、社會人文情境等)考核學生對知識的理解和應用水平，用開放性、探索性試題評價學生的數學研究和問題解決能力，等等.

盡管初中數學畢業考試改革總體上是成功的，為課程改革做出了重要貢獻，但是，當前命題中仍然存在一些不容忽視的問題，需要進一步地補短板和變革.

1.1 缺乏統一可操作的學業水平劃分標準

教育部《關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》指出初中學業考試必須依據課程標準科學命題.但2011版的義務教育數學課程標準，沒有構建學業水平的整體分級標準，也沒有提出針對具體內容學業水平的分級標準，評價建議也比較抽象，缺乏可操作性[2].這就導致了不同地區對學業水平標準的不同理解，各地考試的價值取向、難度水平的巨大差異.如果能制定全國統一的學業水平劃分標準，給出命題要求和命題技術指導，制定命題的負面清單，那么，就可以進一步提高全國各地畢業考試價值取向的一致性，提高命題的質量，形成一致的教學導向，這對改進數學教學，推進課程改革，具有很好的促進作用.怎樣依據課程標準，以數學學科綜合素質為導向，整體構建初中數學學業水平分級標準？《普通高中數學課程標準(2017版)》給出了數學核心素養的水平劃分，提出了核心素養為導向的學科質量標準[3]，教育部考試中心研發了“一體四層四翼”的高考評價體系，明確以數學“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”為考查目標[4]，這為建立學科綜合素質導向下的初中數學學業質量標準提供了啟發；王立東，楊濤,王燁暉，史寧中,宋乃慶，劉曉玫，馬復等從國家義務教育質量監測視角，分析了國際國內學生學業表現能力的理論與實踐，構建了國家質量監測中的五維基本學習表現能力指標體系：數學運算能力、空間想象能力、數據分析能力、推理能力、解決問題能力[5].這為構建核心素養關鍵能力引領下的初中數學學業水平分級標準提供了方向性引領和可參照的方案.

1.2 命題技術發展滯后于課程改革進程

隨著課程改革的不斷深入，數學核心素養逐步進入課程目標體系中，《義務教育數學課程標準(2011版)》用“數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、推理能力、運算能力、數據分析觀念、模型思想、應用意識、創新意識”[6]等核心關鍵詞描述數學核心素養，教育部的《意見》中也明確提出重視基礎知識、基本技能、思維能力、分析問題和解決問題能力、創新意識等學科綜合素質考核的命題要求.意見中的這些要求，是《義務教育數學課程標準(2011版)》在考試評價上要求的具體體現，是今后學業考試命題的基本準則和改革方向.但是，當前初中畢業考試命題的雙向細目表是以知識的認知維度(了解、理解、掌握)為基準，進行逐題設計，缺乏關聯知識、技能、思想方法和思維活動的紐帶與橋梁——學科大觀念、關鍵能力等內容.缺乏學科大觀念和關鍵能力的引領，試卷就可能成為缺乏思想靈魂的題目拼湊，試題的教學導向也可能出現偏頗.

1.3 當前初中數學畢業考試試題中存在的主要問題

1.3.1 函數試題出現了普遍的解析化傾向

全國各地的畢業考試試題中，以函數圖象為背景，運用代數運算方法研究幾何問題的壓軸題出現頻率很高(2019年達到80%以上)，這與函數的數學本質相違背，超越了課程標準的要求，降低了試題的效度和信度，加重了學生不必要的課業負擔[7].

圖1-1

(1)求OC的長和點D的坐標；

圖1-2

①將△DBF沿DE所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時BF的長和點E的坐標；

②以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊△DFG，當動點P從點O運動到點M時，點G也隨之運動，請直接寫出點G運動路徑的長.

圖1-3

本題與二次函數關聯很少，考核函數的效度很低，事實上，去除坐標系和拋物線改編成純幾何題，試題測評幾何知識及直觀想象能力、邏輯推理能力的效度更高.

1.3.2 幾何試題繁、難、偏現象抬頭

近幾年來，幾何壓軸題技巧性越來越強，試題拼湊，缺乏邏輯性現象比較普遍，這偏離了幾何的核心育人價值，降低了幾何試題評價空間觀念、幾何直觀和推理能力的效度.初中幾何內容的核心育人價值是發展學生的空間觀念、幾何直觀以及推理能力.史寧中認為，一個簡單推理是有邏輯的充要條件是這個簡單推理具有傳遞性[8].有邏輯的幾何推理應該是有序地研究幾何圖形，獲得其屬性和關系.幾何試題邏輯性的具體要求是：①問題明確；聚焦研究對象；②研究具有層次性；③研究具有系統性，題干與各小題之間應該前后連貫，邏輯一致.

例2已知：MN為⊙O的直徑，AB,CH是⊙O的兩條弦，AB⊥OE于D，CH⊥MN于點K，連接HN,HE.HE與MN交于點P.

(1)如圖2-1，若AB與CH交于點F,求證：∠HFB=2∠EHN;

圖2-1

(2)如圖2-2，連接ME,OA.OA與ME交于點Q,若OA⊥ME,∠EON=4∠CHN,求證：MP=AB；

圖2-2

圖2-3

本題中，研究對象不聚焦，第(1)小題研究的是∠HFB與∠EHN關系，第(2)小題研究線段MP，AB的關系，第(3)小題又求線段RG的長，小題之間沒有必要的邏輯關聯，圖形繁雜，令人厭煩，沒有體現幾何問題本來應有的“圖形簡約，內涵深刻，具有美感，引人入勝”的特點，偏離了幾何的核心育人價值，降低了試題測評空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力的效度和信度.

1.3.3 統計與概率試題出現了許多只計算統計量的“偽”統計題

統計與概率內容的核心育人價值是發展學生的數據分析觀念，所謂數據分析觀念指的是：

“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律.數據分析是統計的核心”[9].

但是，各地的統計概率試題中，簡單計算、填空、填圖而沒有數據分析的“偽統計”試題依然存在，例如“數據2，7，5，7，9的眾數是▲．”，等等.

2 怎樣的試卷和試題是好的試卷和試題

2.1 怎樣的試卷是好試卷

畢業考試的目的是評價學生經過初中階段學習后對課程標準中學習要求的達成度，因此評價試卷質量的根本標準在是：它是否有效、可靠地評價了學生的數學學業水平.這可以用教學評價中的效度、信度、區分度等指標來分析.保證試卷的效度和信度各有一些命題要求，如為了保證效度，需要提高試卷的適標性、自洽性、思想性等；為了保證信度則要做到試題的科學性、表述通俗易懂簡潔無歧義，等等.以課程標準為依據，能力立意，重視數學思想和方法，這是一份試卷的靈魂，也是保證試卷整體效度的需要.

2.2 怎樣的試題是好試題

試題是試卷的最小獨立組成部分，怎樣的試題是好的試題呢？首先要消除以下兩種誤解：一是認為好試題一定是難題，二是認為好試題一定是考核內容多，知識綜合的題.

(1)試題的有效性與可靠性.能從學生的解題過程中比較可靠地推斷出學生的真實知識技能及關鍵能力水平的試題就是好試題，這可以用教育評價學的效度、信度、區分度等指標來分析.

(2)試題的教育性.試題的教育性指的是試題可以作為重要的資源進行教學，并能獲得好的育人價值.這就要求試題“關注本質、表述簡約、內涵深刻、具有美感、引人入勝”，那種表述繁雜、牽強拼湊、結構凌亂、令人厭煩的試題就不是好試題.具有發展性，能從試題出發生成一系列具有創新研究價值的問題，這是試題教育性的重要標志.

(3)試題的教學導向性.所謂教學導向性指的是試題考核內容及要求對師生教和學行為的導向作用.數學學業考試應該導向教師積極探索基于情境、問題導向、深度思考、高度參與的教育教學方式,引導學生自主、合作、探究學習，理解數學本質,導向提高學生綜合素質.這也是教育部《意見》的要求.

3 學科綜合素養導向下的初中畢業考試命題實踐

3.1 借鑒學科素養的“三會”概括解釋，融合“四基”“四能”，整體劃分初中數學學業水平

史寧中給出數學學科核心素養的概括解釋“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的方式表達世界”[10]，喻平在此基礎上把核心素養分成知識理解、知識遷移、知識創新三級水平[11].借鑒《普通高中數學課程標準(2017年版)》中學業質量標準及及國家義務教育質量監測的學業表現力五維結構(見文獻[5])，以關鍵能力為紐帶，融合“四基”“四能”，以“情境與問題”、“思維與表達”、“交流與反思”三個維度為頂層架構劃分出三級學業水平.水平一、二、三分別對應著合格、良好和優秀等級.這三個維度既對應著數學學科素養中的“三會”，也對應著“四能”,還融合進了國家義務教育質量監測的學業表現力五維要素.“情境與問題”對應著通過數學直觀想象與抽象觀察客觀世界，也對應著引入研究對象，理解、發現和提出數學問題；“思維與表達”對應著數學推理、運算和建模等數學思維活動過程，也對應著分析問題和解決問題的過程；“交流與反思”則對應著用數學的方法進行反思交流，也對應著解決問題后的反思總結.

水平一：

①情境與問題.能夠在熟悉的情境中理解數學概念、規則、符號、模型，理解數學問題的背景及其數學表達.能在熟悉的問題情境中通過觀察、想象和抽象發現數量和數量關系，幾何圖形及其關系，通過歸納發現和提出熟悉的數學命題.理解字母表示數的意義，能在熟悉的情境中了解數、代數式、方程、不等式、函數的實際背景及其數量關系的符號表示，明確其研究的核心問題;會閱讀一次函數、二次函數、反比例函數圖象，了解變量的依賴關系和變化規律；能從熟悉的實物中發現和理解幾何圖形及其關系，理解幾何概念、性質及判定，會區分幾何中熟悉命題的條件和結論，能通過類比和歸納的方法從熟悉的情境發現幾何中熟悉的命題；會想象圖形的變化過程，理解用坐標刻畫圖形的位置及其變化的方法；知道數據分析的過程，能收集和整理數據，會閱讀簡單的統計圖表，會辨別不同的統計量，知道概率的意義.

②思維與表達.會借助數學符號、圖表、概念、規則和模型理解數量和數量關系、幾何圖形及其關系，會進行簡單的運算和推理，能模仿已學的解題過程分析和解決熟悉情境中簡單的數學問題.會用已學的運算法則、運算律和公式按照要求進行簡單的數與代數式的運算(運算不超過3步)、解方程(數字系數一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程)和解不等式(數字系數一元一次不等式(組)，會通過字母表示數把數量關系推廣到一般，通過符號運算獲得數量關系的一般規律；能證明課程標準中要求證明的重要幾何定理，會應用基本事實、定理、推論在熟悉的情境中進行簡單的推理和計算(不超過5步，兩個“大前提、小前提、結論”循環)；會計算簡單的統計量(平均數、中位數、眾數、方差)，會用簡單枚舉方法求隨機事件的概率.

③交流與反思.能模仿例題的解題過程有條理地書寫解題過程，并通過反思和總結判斷思考過程的合理性，通過交流體會解題的通性通法.

水平二：

①情境與問題.能在關聯的情境中抽象出數學概念、規則、符號和模型，并進一步發現和提出簡單的數學問題.能通過函數解析式及其圖象理解一次函數、二次函數、反比例函數的性質，能通過具體例子理解一次函數、一次方程及一元一次不等式之間的關系；能從關聯的情境中抽象幾何概念、幾何圖形及其關系的性質和判定，能根據文字命題畫出圖形、寫出已知求證，能在想象圖形結構及其變化過程的基礎上，借助圖形結構及其變化理解幾何概念和命題、發現和提出熟悉的幾何命題；能根據現實背景提出簡單熟悉的數據分析問題，能在具體實例中理解不同的統計圖表和統計量的特點，會借助概率的意義理解用列表法和畫樹狀圖法求古典概型概率的原理，能通過具體實例體會數據的隨機性.

②思維與表達.會借助數學符號、圖表、概念、規則和模型表示數量和數量關系、幾何圖形及其關系，能用符號運算、邏輯推理和數學建模的方法分析和解決關聯情境中的數學問題.能根據運算對象選擇合理的算法進行數、代數式的準確運算，能說明運算的依據；能熟練地解數字系數一元一次方程、一元二次方程、可化為一元一次方程的分式方程、二元一次方程組及一元一次不等式(組)，能用代數式、方程、不等式、函數模型分析和解決關聯情境中的問題，研究一般規律；理解互逆命題，能通過歸納、類比和逆向思考的方法提出新命題，并能用演繹推理方法加以證明.能用自然語言、圖形語言、符號語言和坐標表示圖形及其變換的性質(坐標法只要求表示多邊形頂點位置及其課標中特定的軸對稱、平移、中心對稱、位似變換的頂點坐標關系).能根據數據的背景選擇適當的統計量分析數據，能用列舉法求簡單隨機事件的概率.

③交流與反思.能讀懂他人的解題過程，能獨立、有條理地書寫解題過程，能解釋解題過程的依據，反思和總結解題過程的思想方法.

水平三：

①情境與問題.能在陌生和綜合的情境中抽象出數學概念、規則、符號和模型，引入研究對象，發現和提出新的數學問題.能從解析式和圖象兩個角度闡釋函數的性質，從變化過程、數和形三方面闡述一次函數、一次方程、一元一次不等式之間的聯系，并能通過類比推廣到一般，能從大小、運算和對應關系出發提出數量關系方面的研究問題；理解從背景到幾何概念到命題體系的局部邏輯結構，能通過類比和歸納的方法系統提出一類幾何圖形研究的問題系列，能用統一的思想和方法抽象出幾何圖形的研究思路、研究內容、研究方法，整理研究結果，理解幾何圖形的概念指的是什么、幾何圖形的性質指的是什么、幾何圖形特例和關系的判定指的是什么，抽象出三角形、四邊形、圓等內容的知識體系，能用統一的思想和方法抽象出三角形的全等與相似的知識體系以及圖形的軸對稱、平移和旋轉(包括中心對稱)的知識體系；能闡釋不同統計圖和統計量的含義、特點和差異，能舉例說明數據的隨機性.

②思維與表達.能綜合運用數學符號、圖表、概念、規則和模型適當地表示數量和數量關系、幾何圖形及其關系，能綜合運用符號運算、邏輯推理和建立模型的方法分析和解決新的綜合情境中的問題.會綜合運用運算法則和運算律，選擇和綜合應用算法對符號進行準確運算，并能闡述算理，理解算法背后的數學思想，能建立代數式、方程、不等式、函數的綜合模型(如簡單的分段函數模型，函數方程不等式整合模型等)解決新情境中的問題；能獨立研究一類幾何圖形及其關系，基于圖形變換的觀點，運用聯想、類比、歸納和演繹的方法提出新的命題，能運用演繹推理的方法建立命題之間的局部邏輯體系，能借助圖形結構及其變化表示數學問題，用“前推法”“后推法”和“兩頭湊”法分析解決問題的思路；掌握用樣本估計總體的方法，能根據數據背景綜合和創新數據分析方法分析數據，做出判斷和決策.

③反思與交流.能總結數與代數式、方程、不等式研究的核心思想和方法——符號(包括模型)抽象、符號運算和推理；函數研究的思想和方法——建模模型表述變化過程，用數形結合的方法及符號運算和推理的方法研究變化過程;圖形與幾何研究的思想和方法——幾何圖形及其關系的抽象，直觀想象和邏輯推理；數據分析的核心思想方法——根據問題背景選擇適當的數據分析方法，通過隨機抽樣和樣本估計總體方法，基于用頻率估計概率分析和把握隨機現象的規律.能通過總結和交流，體會抽象、推理、模型三種基本數學思想的作用和思考步驟，總結分類討論、數形結合、特殊化與一般化、數學轉化、數學建模、類比、歸納、幾何變換等思想方法有什么用、怎樣用和注意要點，并能遷移到新的情境.

3.2 制作融合知識、思想方法和關鍵能力的雙向細目表

在上述學業水平劃分的基礎上，結合擬考核內容,規劃不同關鍵能力在試題中的分布，制作包含知識內容、思想方法、關鍵能力及水平要求的雙向細目表[12].依據義務教育數學課程標準，參照高中質量標準體系和國家義務教育質量監測的做法，把初中數學的關鍵能力分為：符號抽象(包括建立數、代數式、方程、不等式、函數等模型抽象)能力、邏輯推理能力、數學運算能力、直觀想象能力(空間觀念、幾何直觀、數形結合能力)、數據分析能力以及這些能力融合后形成問題解決的能力.關鍵能力的中、低水平考核可以在簡單題、中等難度試題中安排落實,高水平的關鍵能力體現在綜合性試題中，往往用問題解決類型的試題來體現.基于雙向細目表，整體規劃、分類實施，綜合考查學生的基礎知識、基本技能、數學思想方法和數學關鍵能力，評價學生的整體學業水平.

例如：本次命題中的部分細目表(數與代數領域)如表1(試卷實測總體難度0.746，數與代數領域實測難度0.75)：

3.3 基于學科大觀念構建不同知識領域的命題主線

大觀念(big ideas )指的是組織某一領域核心概念、原理、思想方法和解決問題方法的頂層觀念和思想[13],也是對知識形成、發展和應用過程所反映的思想方法的再概括[14]，認知科學研究表明，大觀念對于組織知識體系，形成解決問題策略具重要導向作用，David Niemi, Julia Vallone, Terry Vendlinski(2006)研究了用數和方程的大觀念(運算與運算律，等式性質)引領下的美國七年級學生的代數學業水平評價研究，形成了系列的研究成果[15].分析初中數與代數、圖形與幾何、統計與概率不同領域的大觀念，形成相應的命題主線，不僅可以明確相關領域的核心知識，而且可以基于知識的發生發展和應用過程命制出能有效評價學生“四基”“四能”的好試題，真正把學科綜合素質的評價落實到畢業考試中.

3.3.1 數與代數領域的命題——以符號抽象、運算、推理和數形結合為主線

數學是研究數量關系、空間形式的一門科學.數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型建構等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律[16].《義務教育數學課程標準(2011版)》對數與代數領域提出的課程總目標是：體驗從具體情境中抽象出數學符號的過程，理解有理數、實數、代數式、方程、不等式、函數；掌握必要的運算(包括估算)技能；探索具體問題中的數量關系和變化規律，掌握用代數式、方程、不等式、函數表述的方法[17].這些課程總目標，本質上是符號抽象(包括建立模型)、運算和推理的過程以及用數形結合思想研究函數的變換規律和變化趨勢過程.因此，以“符號抽象、運算與推理”為主線命制考核數與代數領域的關鍵能力，具有知識領域針對性，可以提高試題評價特定領域關鍵能力的效度.另外，借助平面直角坐標系，利用函數圖像，直觀地研究函數性質，這體現了課程標準中對幾何直觀的要求，也是直觀想象這一關鍵能力在函數研究過程中的體現.具體做法是：在符號抽象、符號運算、符號推理、數形結合四個維度設置考核不同水平的試題，達成對關鍵能力考核.

A．2和3之間 B．3和4之間

B

A

C．4和5之間 D．5和6之間

D

C

本題考核對用有理數估計無理數的大小，考核數學運算(估算)能力，屬水平2.

本題考核分式內容中的符號運算能力，屬水平1.

本題考核數學運算能力，屬水平2.

本題考核解二元一次方程組中的消元思想，考核符號運算能力，屬水平2.

例7如圖3-1，小球從左側的斜坡滾下，到達底端后又沿著右側斜坡向上滾，在這個過程中，小球的運動速度v(單位：m/s)與運動時間t(單位：s)的函數圖象如圖3-2，則該小球的運動路程y(單位：m)與運動時間t(單位：s)之間的函數圖象大致是( ▲ ).

圖3-1

圖3-2

本題考核借助圖象理解函數的變化趨勢和變化規律，考核直觀想象能力，屬水平3.

例8小明同學訓練某種運算技能，每次訓練完成相同數量的題目，各次訓練題目難度相當．當訓練次數不超過15次時，完成一次訓練所需要的時間y(單位：秒)與訓練次數x(單位：次)之間滿足如圖4所示的反比例函數關系．完成第3次訓練所需時間為400秒．

圖4

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)當x的值為6，8，10時，對應的函數值分別為y1，y2，y3，比較(y1-y2)與(y2-y3)的大小：y1-y2▲y2-y3.

本題考核建立反比例函數模型解決問題中的符號抽象、運算和推理能力，屬水平2.其中第(2)問學生可以直接計算結果比較也可以依據變化趨勢來比較，考核根據圖象直觀理解變化趨勢的直觀想象能力，屬水平2.

例9用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀(如圖5-1)．

圖5-1

科學原理：如圖5-2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為H(單位：cm)，如果在離水面豎直距離為h(單位：cm)的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程(水流落地點離小孔的水平距離)s(單位：cm)與h的關系為s2=4h(H-h)．

圖5-2

應用思考：現用高度為20 cm的圓柱體塑料水瓶做相關研究.水瓶直立地面，通過連續注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距離hcm處開一個小孔.

(1)寫出s2與h的關系式；并求出當h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少？

(2)在側面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關系式；

(3)如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求墊高的高度及小孔離水面的豎直距離．

本題以跨學科問題解決的形式考核學生符號抽象、建立模型、符號運算與推理、直觀想象等綜合能力. 本題(1)考核理解和建立函數模型的能力，通過符號運算利用函數圖象解決問題的能力，屬水平3；本題(2)考核符號運算和推理能力，直觀想象能力，屬水平3；本題(3)考核抽象符號(設未知數)，建立函數模型的能力和基于抽象符號進行運算推理的能力，其中隱藏著分類討論，屬水平3.

3.3.2 圖形與幾何領域的命題——以直觀想象和邏輯推理為主線

《義務教育數學課程標準(2011版)》對空間與幾何的課程總目標是：探索并掌握相交線、平行線、三角形、四邊形和圓的基本性質與判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能；探索并理解平面圖形的平移、旋轉、軸對稱；認識投影與視圖；探索并理解平面直角坐標系及其應用[18].

自從菲利克茨·克萊因提出用變換群來分類經典幾何學以來，變換觀點在幾何研究中被普遍接受.2011版的課程標準明確地提出了圖形變化的課程目標，而且，圖形變換是直觀想象能力中感知空間圖形的位置及其變化的直接體現，也是用變換觀點理解歐幾里得幾何的重要思想方法.因此，在圖形與幾何領域的考試命題中，聚焦圖形結構、圖形變換設計情境命制試題，聚焦研究對象，重在研究圖形的構成要素與相關要素的關系，進行前后連貫、邏輯一致的設問，這是命制圖形與幾何領域試題的重要策略.

例10如圖6，把△ABC先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得到△DEF，則頂點C(0，-1)對應點的坐標為( ▲ ).

圖6

A．(0，0) B．(1，2)

C．(1，3) D．(3，1)

本題考核用坐標表示平移，考核直觀想象能力，屬水平1.

例11下面是關于某個四邊形的三個結論：①它的對角線相等；②它是一個正方形；③它是一個矩形．下列推理過程正確的是( ▲ ).

A．由②推出③，由③推出①

B．由①推出②，由②推出③

C．由③推出①，由①推出②

D．由①推出③，由③推出②

本題在矩形、正方形知識背景下創設演繹推理情境，考核演繹推理的邏輯性，屬邏輯推理水平3.

例12把一張寬為1 cm的長方形紙片ABCD折疊成如圖7所示的陰影圖案，頂點A，D互相重合，中間空白部分是以E為直角頂點，腰長為2 cm的等腰直角三角形，則紙片的長AD(單位：cm)為( ▲ ).

圖7

本題考核平行線、直角三角形、矩形、軸對稱知識的應用及直觀想象和推理運算能力，屬水平3.

例13用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖8所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為a，小正方形地磚面積為b．依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD，則正方形ABCD的面積為▲(用含a，b的代數式表示)．

圖8

本題以畢達哥拉斯地磚為背景，考核圖形的旋轉，全等三角形、正方形相關知識，直觀想象和推理運算能力，屬水平3.

例14如圖9，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于點O.

圖9

(1)求證：△ABD≌△ACE；

(2)判斷△BOC的形狀，并說明理由．

本題考核等腰三角形的對稱性，全等三角形的判定、性質，等腰三角形的判定；直觀想象和邏輯推理，(1)屬水平1；(2)屬水平2.

例15如圖10，在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點M．E是線段CM上的點，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點，連接EF，BF．

圖10

(1)求證：△BEF是直角三角形；

(2)求證：△BEF∽△BCA；

(3)當AB=6，BC=m時，在線段CM上存在點E，使得EF和AB互相平分，求m的值.

本題以圖形的軸對稱和相似為背景，聚焦△BEF的形狀以及其與△ABC的位置關系的逐步深入研究，考核軸對稱、全等三角形、相似三角形、平行四邊形、矩形、勾股定理等知識的綜合運用，以幾何問題研究為載體，綜合考核直觀想象和邏輯推理能力，屬水平3.

3.3.3 統計與概率領域的命題——以數據分析為主線

統計與概率教學的課程目標總要求是：體驗數據收集、處理、分析和推斷的過程，理解抽樣方法，體會樣本估計總體過程；進一步認識隨機現象，能計算一些簡單事件的概率[19].與之相關的關鍵能力是數據分析.因此，以數據分析為主線，設計現實情境，考核樣本估計總體思想、根據問題背景選擇適當的數據分析方法分析數據的能力、用列舉法求概率的方法、用頻率估計概率方法，這是考核學生數據分析水平的基本策略.

例16在一次數學測試中，小明成績72分，超過班級半數同學的成績，分析得出這個結論所用的統計量是( ▲ ).

A．中位數 B．眾數

C．平均數 D．方差

本題通過現實情境，考核學生在數據背景中理解統計量含義與特點，選擇適當的統計量表述數據特征的能力，屬水平2.

圖11

本題考核對方差的波動意義的理解，屬數據分析水平1.

例18新冠疫情期間，某校開展線上教學，有“錄播”和“直播”兩種教學方式供學生選擇其中一種．為分析該校學生線上學習情況，在接受這兩種教學方式的學生中各隨機抽取40人調查學習參與度，數據整理結果如下表(數據分組包含左端值不包含右端值).

人數 參與度方式 0.2～0.40.4～0.60.6～0.80.8～1錄播416128直播2101612

(1)你認為哪種教學方式學生的參與度更高？簡要說明理由；

(2)從教學方式為“直播”的學生中任意抽取一位學生，估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是多少？

(3)該校共有800名學生，選擇“錄播”和“直播”的人數之比為1∶3，估計參與度在0.4以下的共有多少人？

本題創設學生2020年經歷過的在線學習情境，考核學生根據數據背景選擇適當的數據分析方法分析數據的能力，考核對樣本估計總體思想的理解，其(1)(3)屬水平3，(2)屬水平1.

3.4 基于實測數據的試卷質量分析

(1)難度.本卷的實測難度為0.746，其中數與代數領域實測難度為0.75，圖形與幾何領域實測難度為0.73，統計與概率領域實測難度為0.78，統計與概率試題稍簡單，總體難度符合畢業考試的要求.

(2)區分度.用前30%學生的難度與后30%學生的難度差計算區分度，結果如下：整卷區分度0.47左右;選擇題的整體區分度為0.3355，其中第5題的區分度在0.3～0.4之間，第8、9、10題的區分度在0.6～0.7之間；填空題的整體區分度為0.452，其中第14,16題的區分度均在0.4以上；解答題中，17、18題的區分度在0.3～0.4之間，21題、22題的區分度在0.4～0.6之間，19題、20題、23題、24題的區分度在0.6～0.8之間.試題的區分度比較合適.

(3)信度.用SPSS19.0分別對選擇題(10個)，填空題(6個)，解答題(8個題目16個小題)共32個項目進行信度檢驗，結果如表2.

表2 試題信度檢驗

檢驗表明，試卷整卷和題目具有高信度.

(4)效度.用SPSS軟件分析表明，本卷中所有題目與總分的相關系數均大于0.62，2～24題相關系數都在0.8以上(p<0.001),KMO 和 Bartlett檢驗結果如表3.

表3 KMO和Bartlett 的檢驗

說明整卷具有良好的效度，非常適合做因素分析.進一步，用SPSS因子分析方法分析關鍵能力不同水平，從中得到全卷的兩個主成分：這兩個主成分解析了總方差的86%多，如表4.

提取方法：主成分分析.

其中主成分1載荷大的對應著知識技能和較低水平關鍵能力(如表5)，主成分2載荷大的對應著高水平的關鍵能力(如表6).

表5 成分1高相關變量及其載荷(相關系數>0.73)

表6 成分2高相關變量及其載荷(相關系數>0.59)

以上分析表明，總體上試卷具有較好的測評學生知識技能和關鍵能力的效度,但試卷中統計綜合題落在主成分1上，說明統計綜合題的數據分析能力要求不夠高，另外，雙向細目表上分出了關鍵能力的三個水平，但數據分析表明只有兩個層次.出現這種現象有兩種可能的解釋，一是試卷本身的關鍵能力的層次性不夠明顯，二是初中學生數學的關鍵能力還處于初級水平，主要區別在于有沒有形成關鍵能力，而不是關鍵能力水平高低的差異,如果真是這樣，那么，雙向細目表上應該只在部分題目上列出關鍵能力，而且不需要劃分關鍵能力的水平,當然，這需要更多的實證研究.

綜上所述，前面命題實踐中的試卷總體上難度適中、區分度合理、信度和效度較高，是一份有較高質量的試卷.

結束語隨著數學課程改革進一步深化，考試命題面臨重大變革.以教育部的《意見》為導引，研制數學學科綜合素質導向下的學業水平標準，確定反映數學綜合素質的關鍵能力，并在此基礎上進行深入和廣泛的實踐研究,這對提高命題質量，正確導向立德樹人的數學教學，進一步推進數學課程改革，具有重要的理論和實踐意義.