數學問題解答

(安徽省六安第二中學 陶興紅 237005 )

解由y3(5-2x3)=3,可得

所以由均值不等式得

即52P3≥55,所以P≥5,

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

證明設四邊形AEFB的周長為p1，△CEF的周長為p2，由題設知p1=p2，過點B作直線BG∥AD，延長CA交直線BG于點G，如圖.

因∠AGB=∠CAD=∠BAD=∠ABG，

故AG=AB，EG=EA+AB.

在△CGB中，EF∥AD∥GB，

由p1=p2得CF=FB.

根據題設，△ABC的外接圓記作圓O1，△CEF的外接圓記作圓O2. 延長AD交圓O1于點N，連接并延長NF交圓O1于點M，連接BN，CN和MC.

在圓O1中，由∠BAN=∠CAN知BN=CN，又由BF=CF知直線FN垂直且平分BC，因此MN是圓O1的直徑，MN的中點是O1.

由∠CEF=∠CAN=∠CMF知M，E，F，C四點共圓即M在圓O2上，因此圓O1與圓O2除交點C外另有交點M.

在圓O2中，∠MFC=90°，因此MC是圓O2的直徑，MC的中點是O2.

在△ABC和△CEF中，由正弦定理得

由∠ACB=∠ECF=30°得

O1M=AB，O2M=EF.

在△O1O2M中，可得∠O1O2M=90°，

2578已知正實數x,y,z滿足x+y+z=1，求證：

(浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗 314300;北京航空航天大學圖書館 宋慶 100191)

證明首先證明如下不等式.

當x,y,z>0時，

9(x+y)(y+z)(z+x)

≥8(x+y+z)(xy+yz+zx)．

由于

9(x+y)(y+z)(z+x)-8(x+y+z)(xy+yz+zx)

=(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz

=x(y-z)2+y(z-x)2+z(x-y)2≥0

上式即證．

由柯西不等式，

2579以AB為直徑的圓⊙O的方程為x2+y2=1，A(1，0).C為射線AB上一個動點，D位于直線AB上方，DC⊥AB于C點，△ACD的CD邊的旁切圓⊙P與⊙O相切.試證：P點的軌跡方程為2y=|x2-1|，(x<1且x≠-1).

(浙江臺州市洪家高級中學 鄔天泉 318000)

證明以BA為x軸，BA的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，A(1，0)，設C(a，0).以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1，

(1)

設△ACD的CD邊的旁切圓的方程為

(x-a+b)2+(y-b)2=b2，

(2)

這里P(a-b，b)，(b>0).

聯立(1)(2)得兩圓的根軸方程為

2(a-b)x+2by=(a-b)2+1，

(3)

由于上述兩圓相切，

則原點O到直線(3)的距離為1，

即 |(a-b)2-1|=2b，

(4)

即動點P的軌跡方程為

2y=|x2-1|.(x<1且x≠-1)

2580如圖所示，在△ABC中，三內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，P為△ABC內一點，且∠PAB=∠PBC=∠PCA(即P為△ABC的勃羅卡點)，△ABC的外接圓半徑為R，△PBC,△PCA,△PAB的外接圓半徑分別為R1,R2,R3，則

(1)R1R2R3=R3；

第三，后期維護由所有權人負責。較大規模的工程，一般是建立工程管理機構，由其負責供水管理以及包括管道工程在內的工程維護；小規模的供水工程，一般由受益村自用自管。

(河南質量工程職業學院 李永利 467001)

證明設∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，

則在△PBC中有

∠BPC=π-α-(C-α)=π-C，

由正弦定理可知

以上三式相乘即得(1)式.

由(1)式和恒等式abc=4Rrp可知，

故(2)式成立.

2021年1月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2581如圖1，半徑為r、R的⊙B、⊙C外切于點A(R>r)，兩圓的一條外公切線與⊙B相切于點D，與⊙C相切于點E，點H1、H2在BC上，且BH1=CH2.過點A作DE的垂線，與過點H1垂直于BC的直線相交于點F1，與過點H2垂直于BC的直線相交于點F2.

圖1

(北京市朝陽區教育研究中心 蔣曉東 100028；北京市朝陽區芳草地國際學校富力分校 郭文征 100121)

2582設a,b,c,d>0,a+b+c+d=4.求證:

abcd(a2+b2+c2+d2)≤4.

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

(江蘇省徐州市第一中學 張培強 221140)

2584在△ABC中，三內角A、B、C所對邊長分別為a,b,c，外接圓、內切圓半徑和半周長分別為R、r和s.試證：

(浙江湖州市雙林中學 李建潮 313012)

2585如圖，點I為△ABC的內心，直線AI,BI,CI分別交線段BC,CA,AB于點D,E,F，記S△BID=s1，S△CID=s2，S△CIE=s3，S△AIE=s4，S△AIF=s5，S△BIF=s6，求證：

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)