第十屆中學數學水平能力測試(高三M-A)試卷

編者按：《中學數學水平能力測試》以“自己與自己比”為理念，激發學生的數學興趣，為廣大學子提供一個鍛煉和檢驗自己的平臺.M-A試卷考察的知識范圍為整個中學數學，這個測試源于2014年北京數學會開始主辦的中學數學水平能力測試.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

(A)直線BC上任一點P都有λ+μ=1成立．

(C)直線BC上存在點P，使得λ<0且μ<0．

(D)滿足λμ<0的點P，都不在線段BC上．

答案：C

(供題人：北京海淀進修學校附屬實驗學校 郝俊奎)

2．在三角形ABC中，CA=3,CB=5，角平分線CE交AB邊于點E，則線段CE的取值范圍是

答案：D

(供題人：北京工業大學附中 肖志軍)

(A)m+n≥0． (B)m+n≤0．

(C)m-n≥0． (D)m-n≤0．

答案：A

(供題人：北京牛欄山一中 李金彪)

4．一只蟲子白天移動晚上休息．在第一天白天，它從點O出發，向東移動了5個單位長度．每天晚上蟲子會逆時針旋轉60°．每天白天蟲子會沿新的方向移動，且移動的距離是前一天的一半．最終蟲子無限接近點P．那么OP2=

答案：B

(供題人：北京海淀進修學校附屬實驗學校 任澤乾)

5．設A是非空實數集，若對于?x,y∈A，都有x+y,x-y,xy∈A，則稱集合A具有性質P. 給出以下命題：

(1)若集合A具有性質P，則A在整數集Z中的補集具有性質P．

(2)若集合A1,A2具有性質P，則A1∪A2具有性質P．

(3)若集合A1,A2具有性質P，則A1∩A2具有性質P．

其中真命題的個數是

(A)0． (B)1．

(C)2． (D)3．

答案：B

(供題人：北京匯文中學 田會永)

6．在平面上給定圓O與定點A，設點B是圓O上的一個動點，線段AB的垂直平分線CD與直線OB相交于點E，則點E的軌跡不可能為

(A)圓． (B)橢圓．

(C)雙曲線． (D)拋物線．

答案：D

(供題人：北京昌平一中 劉克光)

7．對于集合S，用|S|表示集合S中的元素個數，用n(S)表示集合S的子集個數. 已知A,B,C是三個有限集，且|A|=|B|=2020，n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C)，則|A∩B∩C|的最大值是

(A)2017． (B)2018．

(C)2019． (D)2020．

答案：C

(供題人：北京十一學校 潘國雙)

8．在直角坐標平面內，定義A(x1,y1),B(x2,y2)兩點間的“直角距離”為

d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.

在這個定義下，給出以下三個結論：

(1)在三角形ABC中，若∠C=90°，則[d(A,C)]2+[d(C,B)]2=[d(A,B)]2．

(2)到坐標原點的“直角距離”等于1的點的軌跡是正方形．

(3)到M(-1,0),N(1,0)兩點的“直角距離”之和為4的點的軌跡是六邊形．

其中正確結論的個數是

(A)0． (B)1．

(C)2． (D)3．

答案：C

(供題人：北京昌平一中 劉克光)

二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.集合{(x,y)|x2+y2≤|xy|+9,x∈Z,y∈Z}中元素的個數為________．

答案：49

(供題人：清華大學附屬中學 郎春雨)

2．設15100是n位數，則n=________． (參考數據：lg2=0.3010,lg3=0.4771)

答案：118

(供題人：北京陳經綸中學 孫丕訓)

3．已知集合I={1,2,3,4,5,6},A={(s,t)|s∈I,t∈I}．若B?A，且對任意的(a,b)∈B，(x,y)∈B，均有(a-x)(b-y)<0，則集合B中元素個數的最大值為________．

答案：6

(供題人：北京昌平二中 劉晶)

4．設(x2-x+1)1010=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，則a0+2a1+3a2+…+2021a2020=________．

答案：1011

(供題人：北京工業大學附中 肖志軍)

5．已知函數f(x)=x2-6x+a(ex-3+e-x+3)有唯一零點，則a=________．

(供題人：中國人民大學附屬中學 王鼎)

答案：315

(供題人：北京工業大學附中 肖志軍)

7．已知數列{an},{bn}滿足：a1=2，b1=1，an+1=3an+bn，bn+1=an+3bn．使得an>2020的最小正整數n為________．

答案：7

(供題人：清華大學附屬中學 郎春雨)

8．單位圓的內接正五邊形的一個頂點到另外四個頂點距離的乘積為________．

答案：5

(供題人：審題組)

三、雙填空題：本題共4小題，每小題兩空，每空5分，每小題10分，共40分.

1．已知a,b,c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=5，abc=0，則ab+bc+ca=________，a3+b3+c3=________．

答案：-2，7

(供題人：北京十一學校 潘國雙)

2．已知實數x,y滿足x2-xy+4y2=4．記x2+xy+4y2的最大值為M，最小值為m，則M=________，m=________．

(供題人：北京四中 賈祥雪)

3．函數f(x)=sin3x+cos2x+2|sinx|的最小值為________，最大值為________．

答案：0, 2

(供題人：清華大學附屬中學 郎春雨)

4．將30寫成若干個相同的整數相加，則這些整數相乘最大為________；將30寫成若干個相同的數相加，則這些數相乘最大為________．

(供題人：中國人民大學附屬中學 王鼎)