順應學生思維 尋找突破路徑①

張文海

(江蘇省蘇州實驗中學 215011)

1 問題背景

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：“數(shù)學教學既要關心學生學習的結果，更要重視學生學習的過程.在學習的過程中掌握數(shù)學方法，解決實際問題，促進數(shù)學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成不懼困難、嚴謹求實的科學精神.”因此，在數(shù)學教學中，教師應掌握學生的最近發(fā)展區(qū)，順應學生思維的發(fā)展，找準思維的障礙節(jié)點，帶領學生一起攻克困難，親歷難點突破的過程，才能讓學生提高學習數(shù)學的信心，真正掌握解決數(shù)學問題的方法.

近期我校高三年級進行了一次數(shù)學測驗，其中一道解析幾何題的答題情況讓人大吃一驚.本題第(1)問4分，第(2)①問6分；②問6分，最終筆者所任教理化班的班級均分只有10.59，全班44人只有6人將(2)②問完全解答正確，8人得到△PQG面積的表達式后無疾而終.究其原因，其與解析幾何教學中的一些弊端有關.

目前，解析幾何的教學存在重思路分析、輕運算示范的現(xiàn)象，導致學生想想都會，一算就錯的情況.針對解析幾何中運算繁瑣的直接思路，筆者認為不宜簡單越過，選擇其他的解決方法，而有必要沿著學生的思路，站在學生的角度實施教學計劃，幫助學生將解題的“最后一公里”打通，這對學生關鍵能力及必備品格的培養(yǎng)是重要的.

2 題目再現(xiàn)

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連QE并延長交C于點G.

①求證：△PQG是直角三角形；②求△PQG面積的最大值.

3 展學生之惑，尋突破之道

從學生的答題情況來看，主要存在兩個問題：一是對圖形結構特征認識不清，沒有能夠表示出面積的表達式；二是建立了面積的數(shù)學模型，但對式子的本質認識不到位，沒能找到恰當?shù)慕饽７椒?今天這節(jié)課，我們一起來探討如何突破這兩個難點．

3.1 教學片段1：觀察圖形，合理選擇面積表征路徑

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出：數(shù)學運算是在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．由此可見，運算的基礎基于運算對象，表示運算對象的路徑選擇不同，運算方法的選擇也不同，導致運算的長度和繁簡程度也不盡相同．因此，在直觀感知圖形建立運算模型時，結合自己已掌握的基本知識、基本方法以及基本活動經(jīng)驗，從大腦中選擇相應的元認知對圖形信息進行最近的表征，在觀察比較分析中，合理選擇面積的表征路徑．

師：要解決第②問的問題，我們首先要把△PQG的面積表示出來，大家有哪些想法？

生5：我發(fā)現(xiàn)點O是線段PQ的中點，PE⊥x軸，由此我們可以換一種方式來建立面積模型，

S△PQG=S△PQE+S△PGE=2S△POE+S△PGE

大部分同學發(fā)現(xiàn)點P是一個“主”動點，只要它的位置確定，其余點的位置隨之而定，故采用了路徑(1)、(2)設點坐標的方法來建立面積函數(shù).路徑(1)是直線和橢圓聯(lián)立解二元二次方程組，路徑(2)是兩條直線聯(lián)立解二元一次方程組.從運算的繁瑣程度來看，可以發(fā)現(xiàn)解二元一次方程組比解二元二次方程組要簡單，所以路徑(2)要更優(yōu)化.路徑(3)、(4)是先設直線PQ的斜率寫出方程，求出點P、G的坐標，再表示面積.問題在于點G的坐標不易表示，導致解題失敗.路徑(5)利用圖形的幾何特征，將三角形進行分割表示，解題過程相對簡潔.

對于多個動點變化的問題，以“主”動點為研究對象是常規(guī)思路之一，它的優(yōu)勢在于表示其他點的坐標較為方便，劣勢在于目標中至少會含有兩個變量以上，消參對學生來講是一個棘手的問題.設斜率作為變量表示目標，也是處理解析幾何問題的常規(guī)思路之一.它的優(yōu)勢在于變量少，學生心理感受好，易于接受，敢于下筆，劣勢在于表示點的坐標略顯繁瑣，導致運算量增大，也是導致運算無法進行到底的主要障礙.故在選擇解題路徑之前，應結合題目的具體條件，確定大致的解題方向，預估解題的運算量，合理選擇設“點”法或設“斜”法.此外，解析幾何研究的對象是幾何圖形，既強調用代數(shù)的方法刻畫幾何圖形，也強調用幾何特征來引導代數(shù)的運算和證明.這就是“先用幾何眼光觀察，再用坐標法解決”，也是解決解析幾何問題的一種基本思想．

3.2 教學片段2：分析算式，恰當預判運算過程方法

解決數(shù)學問題的過程實質上是從未知到已知的轉化過程．要實現(xiàn)這種轉化，必須堅持科學的觀察方法和理性的思維方式．對同一數(shù)學材料進行觀察，如所選擇的觀察角度不同，往往會產(chǎn)生不同的處理方式．我們要用數(shù)學的思維方式去分析題目條件和目標數(shù)式的結構特征，激活原有的知識和經(jīng)驗,恰當預判運算過程方法，不僅能培養(yǎng)學生良好的觀察能力、分析能力和知識的綜合運用能力,同時每一個問題的解決過程都是一次知識的重組和整合,對建構良好的認知結構有促進作用.

路徑1直面問題，消元求導，夯實運算硬功夫

生眾：第1個，變量只有一個，可以求導處理.

導數(shù)法是研究單變量函數(shù)最值問題的常用方法之一，它對求導公式的掌握及因式分解的能力要求較高，需要我們具備扎實的基本功和運算能力.

師：如果當初建模時，選擇的是設點法，得到目標函數(shù)中就含有兩個變量，那么又該如何處理呢？處理雙變量或多變量函數(shù)的基本方法是什么？

生6：利用消元法將雙變量減為單變量，再用導數(shù)法求解.

師：你說說，怎么消元？

師：生6的問題，誰能幫忙解決的？

師：大家思考一下生7的想法可行嗎？

生眾：行.可是次數(shù)有點高，恐怕有點繁.

師：我們來試試，既然理論上行得通，我們來實際操作一下，看到底行不行得通.

師：接下來，是作為分式函數(shù)求導，還是將分子展開，轉化為一個多項式函數(shù)求導方便？

生8：因為分子是三個因式之積，而分母很簡單，所以我認為后者方便一些.

師：分析得有道理！

令f′(m)=0，因為m∈(2,8)，所以解得m=4，當20，故y=f(m)單調遞增，從而當m=4時，f(m)min=-32，

路徑2觀察結構，構造齊次，激活直覺新思維

對于二元齊次分式，我們常見的處理方法是什么？

路徑3引參變換，三角換元，妙用轉化巧突破

生眾：三角換元.

師：運用三角換元的好處在于可以讓變量之間的內(nèi)隱關系外顯，有利于根據(jù)式子的結構，尋求到合適的處理方法.

師：大家觀察一下這個式子的結構，結合三角函數(shù)的知識，你會如何處理？

生11：因為這是一個分式，所以我想到“弦化切”，但它又不是齊次式，需要在分母上添加“sin2α+cos2α=1”構造齊次分式，將面積轉化為關于“tanα”的單變量函數(shù).

對于上式，我們還可以有如下兩種處理方案：

一般而言，研究二元或多元函數(shù)的問題，消元法是其中的主要方法之一，它包含直接消元和間接消元兩種.直接消元就是將其中一個變量用另一個變量來表示，特別要注意的是被消去變量的范圍要轉移給留下來的變量；間接消元就是引進第三個變量來表示原有的變量，便于溝通之間的關系，常見的有三角換元、均值換元等.對于單變量函數(shù)的最值問題，導數(shù)法是有效手段之一，除此之外還可根據(jù)式子結構的特征，采用不等式的方法求解.

反觀上述解題過程，可以發(fā)現(xiàn)思路易得，運算不易，主要原因在于直接運算繁瑣，字母參數(shù)多，內(nèi)在聯(lián)系隱晦.對于這類問題，在平時的教學中，我們要以學生的思維方式、認知心理為教學起點，讓教師的思維順應或契合學生的思維，才能使教的過程和學的過程融入一體.不僅要注重思路分析，更要手把手地親身示范，帶領學生一起經(jīng)歷障礙突破的過程，才能培養(yǎng)學生不畏艱難困阻的自信心，提高學生的理解能力、運算能力和思維能力.

新一輪課程改革已經(jīng)拉開帷幕，核心素養(yǎng)理論指導下的數(shù)學課堂教學應如何進行？學生的思維能力怎樣才能得到更好培養(yǎng)？我認為，核心素養(yǎng)下的數(shù)學課堂應循著學生的思維軌跡，讓學生不斷地產(chǎn)生“沖突”，思考“沖突”，化解“沖突”.從學生的視角解決問題，不僅能讓學生“知其然”，還能“知其所以然”.如果不考慮學生已有的認知，一味地將自己的想法強加給學生，那么課堂探究只能流于形式，不僅不能促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，反而會對他們的思維發(fā)展起到負面影響.數(shù)學知識是學生自己建構的，數(shù)學教學應為學生有效自主建構而教.因此，數(shù)學教師要營造學生自主建構知識的氛圍與條件，遵循學生的思維特性，只有以學生的思維為起點設計教學活動，指導建構數(shù)學知識的策略與方法，才能引起學生思維的共鳴，讓學生建構起自己的數(shù)學理解，真正達到發(fā)展數(shù)學思維的目的.