“數學通性通法”的研究綜述及其現實意義①

金鐘植

(廣州市白云中學 510108)

1 引言

自《普通高中數學課程標準(2017年版)》(文中簡稱為“新課程標準”)頒布以來，歷經各種培訓和自我學習，對課程標準中的“立德樹人”、“三會”、“四基”、“四能”和“數學核心素養”方面都有一定的認識和理解，但大部分老師僅限于理解新課程標準目標中的頂層設計，并不清楚在日常教學實踐中的抓手是什么.新課程標準中的課程目標可以概括為：數學核心素養四基與四能三會立德樹人.很多專家認同的觀點是：數學核心素養的培養是落實新課程標準的抓手！但這種說法還是過于抽象，在課堂中如何落實方面還需要更加具體的表述.雖然很多專家在新課程、新教材培訓中也給出了一些案例，但在教學中的一些處理上還需更加具體化.因為新課程標準在教學實踐中落實的途徑是以數學核心素養的培養為主線，所以筆者認為落實到位的關鍵還是要把“抓手”更加具體化，具體化的途徑就是注重提高數學思維能力的教學，再具體說就是注重“數學通性通法”的教學.

筆者從大學時期開始到現在歷經三十多年，一直關注數學教育界對“數學通性通法”認知和認同的過程，也一直注重其教學和研究.但從各個角度去觀察和研究中發現，目前高中數學教育界對“數學通性通法”認知水平還遠沒有達到落實新課程理念的標準.筆者的觀點也許是片面的，但如果在歷經三十多年的教學中有意識地直接或間接地觀察全國各地對有關問題的研究成果、專家們講座中的觀點、聽一千多節數學課堂中的感悟及課后對學生的調研，綜合起來思考，還是具有普遍性的.近期筆者在很多場合或撰文中提到過部分數學教師對“數學通性通法”的錯誤的認識，即認為注重“數學通性通法”是一種陳舊的教學觀點.這種錯誤的認識來自他們對課程核心目標的理解上存在缺陷.我們應該清楚，新課程標準是從上世紀八十年代《全日制普通高中數學教學大綱》到九十年代對大綱的重新修訂再到本世紀初的《普通高中數學課程標準(實驗)》的繼承和發展的結果.在歷經四十年的繼承和發展過程中，高中數學課程的核心目標一直沒有改變！因為在這種轉變過程中，始終把“培養學生的數學思維能力”為課程的核心目標.筆者在前三十年的一線教學中，一直堅持研究一項校本教研課題“培養數學思維能力之通性通法研究”.下面筆者從這項研究過程中的經歷和思考，對“數學通性通法”的研究進行綜述，在此基礎上再談談注重“數學通性通法”的現實意義.

2 數學教育界對“數學通性通法”的研究綜述

改革開放以后，從上世紀八十年代到目前為止，歷經四十年的時間，國內數學教育界對“數學通性通法”的研究經歷了四個階段：八十年代初步形成“認識期”，九十年代進入“爭論和認同期”，零零年代進入“微觀、中觀層面的研究期”及一零年代進入“比較全面的研究期”.下面針對這四個時期的研究情況及四十年中發文數量分析，簡略地進行研究綜述.

2.1 八十年代初步形成“認識期”

八十年代數學教育界開始意識到數學教學中注重“數學通性通法”的重要性，追其根源是基于兩點：首先是隨著國內數學教育理論的逐步完善，在培養數學思維能力方面的理論成果不斷豐富，在此領域內的研究中自然會提及“數學通性通法”.典型的實例就是當時北京師范大學的曹才翰先生所指導的任子朝的碩士論文題目為“論數學思維結構”，而且當時數學教育的專家學者們都提倡“注重通性通法，淡化特技”；其次是部分一線教師在教學實踐中思考如何教學才能更加有利于培養學生的數學思維能力.其中典型的實例就是如下的截圖：

從中國知網中輸入“主題”為“通法”后搜索出來的八十年代七篇論文中四篇來自一線教師，兩篇來自教研員，一篇來自大學教師.

當時因為數學教育研究方面的歷史局限性，在有關的研究成果中更多的是以具體的解題例子來說明某類問題的解題通法為主，即微觀層面的局部研究為主.但即便是成果和認識方面還僅僅是起步階段，有這種意識已經對后期的發展起到了奠基性的作用.

2.2 九十年代進入“爭論和認同期”

九十年代，兩種中學數學教育類核心期刊《數學通報》和《中學數學教學參考》刊登了4篇“通法”文章.1992年江西南昌的曾家鵬先生的文章“提倡運用通法，建議淡化特技”(《數學通報》第八期)，當時引起了中學數學教育界廣泛的認同，但也引起了不少的爭論.爭論點主要在于“通法”的界定問題，而且這篇文章主要圍繞著個別例題的解法角度談自身的觀點而已，并沒有對“通法”屬性的研究成果.針對曾先生的觀點中存在的一些問題，1995年北京師范大學的王敬庚教授在《數學通報》第五期上發表了一篇題為“關于數學教學中強調通法的思考”的文章，文中第一次提到了通法的“相對性”.這種提法對當時這個領域的研究起到了非常重要的作用，但問題是僅僅談了通法的局部屬性.1997年湖北武漢的甘大旺先生在《數學通報》第二期上發表一篇題為“通法與特技的相對性及啟示”的文章，文中更加系統地歸納和總結了通法與特技的相對性以及給我們的啟示，但美中不足的是對“通法的相對性”方面還是存在著缺陷.這三篇文章對筆者研究“數學通性通法”給予了很大的幫助，但同時使筆者認識到，對這個領域內的研究來說，研究“通法的屬性”非常重要.經過不斷學習和研究，筆者在1998年《中學數學教學參考》第十一期上發表一篇題為“通法特點的研究及啟示”的文章.文中歸納出通法的六個特點：概括性、隱蔽性、發展性、相對性、多樣性和層次性.其中的“相對性”中，除了“通法與特技的相對性”外，還提到了“通法的相對局限性”，即“由題目結構的相對局限性導致通法的相對局限性、主體數學能力的相對局限性導致通法的相對局限性和知識的相對局限性導致了通法的相對局限性”.

這個時期，中學數學教育研究領域已經初步形成“中學數學教育學”學科，專家教授們基本認同“數學通性通法”的重要性，并在一些文章和專著中發表有關論點.針對《高考考試說明》，任子朝提到：高考堅持考查基本數學方法，題目不追求特殊技巧，而是考查學生必須掌握的通性通法(1)任子朝. 貫徹《考試說明》要求,努力做到“兩個有利”——談1991年高考數學試題[J].數學通報，1992(2)：21—24,29.曹才翰、章建躍合著的《數學教育心理學》中，對數學思想和方法的四個層次中，把“通法”放在第二個層次上(2)曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京:北京師范大學出版社，2006:187-188.

2.3 零零年代進入“微觀、中觀層面的研究期”

因為有了前二十年的研究及實踐基礎，進入新世紀的前十年，廣大的一線教師在微觀和中觀層面上開始進行實踐和研究，其研究成果是值得肯定的，因為在教學實踐中，太多的通性通法問題還是屬于碎片化的狀態，需要不斷完善、歸納和總結.微觀層面的研究指的是在某類具體問題的解法中的通性通法，比如：數列求和法(公式法、分組求合法、錯位相減法、裂項法等).中觀層面涵蓋兩個方面：第一個方面是從思維層次的角度，比如：代入法、消元法、換元法、配方法、三角法、割補法、坐標法、數學歸納法、待定系數法、反證法、數形結合法、構造法等.第二個方面是從知識塊的角度，比如：數列求和的通法從中觀角度看，本質就是“消項”.

零零年代是我們國家開始進行新課改的十年，隨著數學學科的課程改革，學科教育研究方面也進入了新的時代，已經形成了“中學數學教育學”學科.雖然“數學通性通法”的頂層設計進一步完善，但在教學一線有一種現象是值得反思的，即過分強調“數學思想和方法”的教學，導致有些教師誤以為“數學思想和方法”統領數學教學的一切，豈不知沒有“數學通性通法”的基礎，哪來的“數學思想和方法”？在當時的一線教學中，甚至有些學校老師公開課的課題為“數學思想和方法”，而課后答辯中感受到這位老師連起碼的通法都沒有系統掌握，其實通法的宏觀層面就是數學思想和方法.針對這種情況，筆者于2001年(之前一直是自主研究)開始組建了所在學校數學教研組老師為主，社會上的部分老師為輔的一個校本教研課題研究團隊，研究課題為“培養數學思維能力之通性通法研究”.經過幾年的教學實踐中的思考和研究，開始從微觀層面上取得成果之際，《高中數理化》雜志社于2006年聘筆者為特約編委，并在2007年雜志擴版為高一版、高二版和高三版時，征求有關辦刊欄目，筆者建議增加“通法研究”欄目.2007年開始，我們這個研究團隊給這個欄目貢獻十五篇論文，并受到社會各界的充分肯定.下面截圖是當年高二版第五期上刊登的讀者與雜志社的來往書信(3)本刊編輯部.編讀往來[J].高中數理化(高二版)，2007(5)：2.：

一點建議

編輯老師，您好.讀完今年前4期的《高中數理化》，我和我的學生都深受教益.在此向為此付出艱辛努力的編輯老師們道一聲辛苦了．每次拿到雜志，我們首先看的是《題根研究》和《通法研究》2個欄目，這2個欄目的文章尤其精彩，對我們教和學有極大的幫助，省了很多無用功.只是每期只能看到一部分，讓我們等得好辛苦!建議能否把這2個欄目的文章匯集在一起，出一個單行本，讓我們一睹為快、一飽跟福呢？

——四川省南克市二中 劉偉民

有待我們共同努力

劉老師您好，感謝您對我刊的厚愛.《題根研究》和《通法研究》這2個欄目都是我刊2007年新開辟的欄目，帶有實驗色彩.為了保證這些欄目的含金量和指導性，從2006年上半年起，我們組織了近百位特、高級教師進行了相關課題研究.現在陸續刊發的一些文章就是課題研究中相對成熟一些的成果.這些研究的原創性和開拓性，使其成為一項大規模的工程，有待各位一線老師的參與和合作.希望您也能參與到我們的項目研究中，一同來完成這項把學生從題海中拯救出來的偉大使命!

——本刊編輯部

經過一年“通法研究”欄目的運行(稿件除了課題組的成果，也陸續發表了來自全國各地一線教師的優秀成果)，使筆者深感到責任重大，同時也體會到廣大一線教師需要更加注重“數學通性通法”的教學，所以在雜志社的要求下，于2008年第二期的三個版中發表了一篇題為“談談對通法的認識和理解”的論文，此文轉載于人大報刊復印中心的刊物《中學數學教與學》的第八期上.筆者指導的東北師范大學的全日制研究生齊威娜于2008年完成碩士論文“對中學數學解題通法的研究”，課題組成員樸今子老師于2009年在東北師范大學李清老師的指導下完成在職碩士論文“高中數學通法的研究與啟示”.

2.4 一零年代進入“比較全面的研究期”

經歷前三十年，“數學通性通法”的研究開始進入比較成熟的發展時期. 除了數量極大的微觀、中觀的研究成果，期間的成果主要體現在兩個方面：首先從宏觀的角度，對“數學通性通法”的概念進行界定，其次是有一批的數學教育研究方向的碩士論文的主題為“數學通性通法研究”.

自2011年章建躍先生在《中小學數學》上發表題為“注重通性通法的教學是好的數學教學”，數學教育界開始研究“數學通性通法”的概念界定.這就是從“用什么”到“是什么”的轉變，也就是研究其本質是什么.章老師認為：“通性”就是概念所反映的數學基本性質，“通法”就是概念所蘊含的數學思想和方法(4)章建躍.注重通性通法才是好的數學教學[J].中小學數學(高中版)，2011(11)：50..有關概念界定方面比較優秀的文章還有江蘇的王明山、邰日昶兩位老師于2015年7月在《數學教學研究》發表的文章“高中數學通性通法界定探究”.這篇文章列舉了部分專家對這個概念內涵的界定，并指出作者對其內涵的界定為：師生熟知、核心可廣泛應用、明確的知識結論稱通性；在知識結構相對穩定的時期內，由通性自然得到的，能解決一類問題的普通方法稱通法.更通俗地說，通性指的是“究竟是什么”，而通法則是“通常如何做”(5)王明山，邰日昶. 高中數學通性通法界定探究[J].數學教學研究，2015(7)：32-37,41..筆者認為兩篇文章中提到的內涵本質上是相同的，但有時“通性通法”難以分割，所以在日常教學中是不是可以這樣理解：談到性質的時候叫“通性”，談到思想和方法的時候就叫“通法”，但在解決問題的過程中應該叫運用“通性通法”解決問題.

進入一零年代，以“數學通性通法”研究為主題的碩士研究生論文有17篇，其中出自蘇州大學的多達6篇.這些論文中，比較優秀的是蘇州大學2016屆顧曉峰的碩士論文“專家型高中數學教師通性通法的教學研究”.這篇碩士論文最值得肯定的有兩個方面：首先是這位碩士生在選定課題以后,認真閱讀了有關文獻并進行了非常有邏輯性的文獻綜述，并提出自己的理解和看法，最大的亮點是對“數學通性通法”概念也給出自己理解下的界定：在解決一類具有相同性質的數學問題時所采用的具有某種規律性和普遍意義的常用解題模式和常用的數學解題方法.其次給出“通性通法教學”的理論框架(6)顧曉峰.專家型高中數學教師通性通法的教學研究[D].蘇州大學，2016(6).：

在這個階段，筆者依舊組織一個校本教研團隊繼續深入研究“數學通性通法”，并取得如下的成果和重新的認知：

從成果角度看，主要體現在研究和實踐成果.研究方面是從思維根源的角度剖析一些通法的運用方式和從通法的多樣性的角度研究通法的優化問題，共有10篇有關文章發表在《高中數理化》、《中小學數學》(高中版)等雜志上.在實踐方面，把過去對通法的研究成果與高三教學有機地結合起來，使得在習題課教學有效性方面取得了明顯的改進，特別是經過五年的連續實踐，把所在學校的高考中的數學學科由比較弱勢學科轉化為強勢學科.

對“通性通法”的重新認知主要體現在兩個方面：首先認識到注重“數學通性通法”的教學與新課程標準中的“數學核心素養”、“四基”、“四能”、“三會”和“立德樹人”在教學中的落實之間的內在聯系，其次通過大量的調研和思考，認識到注重“數學通性通法”的教學還需要很長的路要走.

2.5 按“發文數量”的研究綜述

以下截圖是1980年到2019年的四十年中，在中國知網中輸入“主題”為“通法”，并把研究層次定為“基礎教育與中等職業教育”(簡稱“中國知網檢索”)后搜索的發文數量分布圖：

其中八十年代發文數量為7篇，九十年代發文數量為25篇，零零年代發文數量為126篇，一零年代發文數量為640篇.其中，《數學通報》發文9篇，《中國數學教育》發文30篇，《數學通訊》發文20多篇，《高中數理化》發文50多篇.從中國知網檢索可查詢到，國內各類數學教育類期刊和綜合性的基礎教育類期刊均有有關方面的研究成果發表.作者主要來自大學和教學研究機構的專家學者、一線教師和數學教育方向的碩士研究生.從發文的數量和質量上也不難看出在數學教學中，注重“數學通性通法”教學的認知過程是：從前三十年的積累，到一零年代有質的飛躍.

3 注重“數學通性通法”的現實意義

在引言中已經提到：落實新課程標準的“抓手”就是注重“數學通性通法”的教學.下面根據筆者三十多年來的觀察、思考及研究體會，僅從四個教學案例分析談其現實意義.

案例1近期在廣州市高中數學教研活動中聽了一節課題為“平面與平面垂直的判定”的公開課，授課教師為廣州市第五中學的李大偉老師.這節課是典型的注重“數學通性通法”的優秀課案例！廣州市教研院的曾辛金老師從新課程標準的落實角度進行了點評，筆者再從注重“數學通性通法”的角度對一些教學片段進行點評.從教學設計看，主要是以三個問題為主線，即“問題1：大家回顧一下直線與平面垂直、直線與直線垂直的定義過程”、“問題2：二面角的大小定量地反映了兩個平面相交的位置關系，如何度量二面角的大小呢？不妨回顧異面直線所成角和直線與平面所成角的定義”、“問題3：有方法判斷平面與平面是否垂直嗎？”，而每個問題都有若干個追問.從這三個提出的問題，不難看出李老師在教學中注重了類比、猜想、分析、綜合、化歸等數學思維的發生和發展過程，從中抽象出新的概念、性質和定理.其中最突出的就是通過新舊知識之間的內在聯系的客觀事實，通過問題導向來引導學生不斷思考和跟進課堂教授的主線，這樣設計的價值有利于培養學生的數學核心素養中的數學抽象、直觀想象和邏輯推理等.從通性通法的角度看，李老師抓住了立體幾何位置關系中“空間問題平面化”和“平面問題空間化”及由“平行”與“垂直”類比的通性通法：

現實意義章建躍先生在近期的培訓中，經常提到要注意教材的兩條基本邏輯：一是教學內容的邏輯，二是學生心理的邏輯，進而在教學中要注意兩者有機結合的教學設計的基本套路，其中幾何教學的基本套路為：背景概念判定、性質結構(聯系)應用.也提到“問題提出”的三個原則：反映教學內容的本質、在學生思維最近發展區和問題的發展性.

這個案例中的教學設計確實落實了章建躍先生針對新課程與新教材培訓中的基本理念，而這些理念中蘊含著注重“數學通性通法”教學的現實意義.

案例2今年五月筆者曾在廣州市大同中學聽一節高三年級的專題課，課題為“數列求和”，授課教師為李彩蓮老師.這堂課的最大亮點是：從通法的多樣性出發，能把“數列求和”的四種方法概括為一種，即都可用“裂項法”.筆者與樸今子合作曾于2018年發表過一篇題為“從通法的多樣性談通法的優化問題”的文章，文中的一個例子與李老師的想法不謀而合.但課后的交流中感覺到，李老師并沒有讀過那篇文章.在筆者聽過的幾十節數列求和問題的課中，能達到這個高度的僅此一節.課堂中首先列舉了前三種方法可求和的數列的裂項形式，例如：2n-1=n2-(n-1)2;2n=2n+1-2n，這兩種裂項屬于等差和等比數列的裂項，再例如：數列{(2n-1)2n}求和問題可以用“錯位相減法”，但也可以用“裂項法”，不同的是裂項的難度大一些，但分析的時候可以先猜想這個數列的裂項形式為：(2n-1)2n=[p(n+1)+q]2n+1-(pn+q)2n，再利用待定系數法可求出p=2,q=-5，代入即可化為裂項形式.也可以把求系數的過程作為分析思路的過程，在解答過程可以用構造來替代，這樣過程顯得更為嚴謹：因為

(2n-1)2n=[(4n-6)-(2n-5)]2n

={2[2(n+1)-5]-(2n-5)}2n，

即(2n-1)2n=[2(n+1)-5]2n+1-(2n-5)2n，進而達到裂項的形式.最后給出一個學生從未見過的數列的裂項問題：求數列{(-1)n(n2+n)}的前n項和Sn.啟發學生通過猜想和待定系數法得到裂項的形式，然后從演繹推理的角度去寫解答過程，關鍵在于構造如下的恒等式：

所以裂項過程如下：因為

這節課是注重“數學通性通法”的一節精彩的復習課，整堂課都是圍繞著“數列求和”中的通性通法展開，更加難得的是能夠分析出四種通法的概括.從課堂中學生的反饋中不難看出，李老師在平常的教學中通過注重“數學通性通法”來落實“四基”，特別需要提出的是，如果學生沒有通過猜想和待定系數法構造為裂項形式的思維活動經驗，那么別說學生能解決最后一道例題，可能老師直接分析思路也未必能聽得懂.

現實意義這個案例充分體現了注重“數學通性通法”的現實意義.首先對通法的優化體現了培養學生的數學核心素養中的“邏輯推理和數學運算”，其次通過典型例題的通法訓練落實了“四基”.在注重“數學通性通法”教學中，經常會經歷“概括、推理、比較、分析、綜合、歸納”等思維活動，所以在通法的得出和運用中始終蘊含著有利于培養數學核心素養的數學思維活動.

案例3“直線與平面平行的判定”的習題課是高中立體幾何中必須要安排的一節專題型的習題課，但在筆者聽過的將近五十節課中，從注重“數學通性通法”角度看，沒有一節課是達標的.聽過的所有課中，在證明“平面α外的直線a與這個平面內的直線b平行”時，對如何作出直線b，沒有給出明確的說法，而是不講根據地問“是不是該作中位線？”之類的問題.根據直線與平面平行的性質定理不難發現，直線b應該是直線a所在平面β與平面α的交線.所以從“數學通性通法”的角度去談“如何作出直線b”的分析過程是：經過直線a的平面β中找出與平面α的兩個公共點，連結這兩個公共點就是作出了直線b.可以概括地說成“作交線b”，本質上來說這種通性通法來自“直線與平面平行的判定定理和性質定理”的融合.例如：正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一點P，Q，AP=DQ．求證：PQ∥平面BCE．

分析：要證明PQ∥平面BCE，只需證明PQ平行于平面BCE內的一條直線，由于PQ與AE所確定的平面APQ與平面BCE有公共點E，只需連結AQ并延長交BC于K，連結EK，則EK為“交線”，余下分析略.不難看出這種通性通法的運用顯得思維過程自然.

現實意義如果不注重“數學通性通法”的教學，就很難讓學生通過理解知識的本質去分析問題和解決問題，也就很難提升學生的數學核心素養，更談不上通過數學教學落實“四基”和“四能”.通過這個案例也充分體現了實施新課程的過程中，對我們一線教師的專業功底是極大的考驗.教師本身對知識本質的理解、知識之間的內在聯系的認識方面有缺陷，再加上不懂得注重“數學通性通法”的重要性，何談在教學中實施新的課程標準？解決這個問題的途徑主要還是靠教師自身的學習和思考以及所在學校加強校本教研.

現實意義在有關三角變換的習題課中經常遇到以上所舉的反例中出現的狀況，根本原因在于老師們沒有從通性通法的角度分析三角公式的本質，即針對公式沒有從“角的結構”和“函數名的結構”角度分析公式的“正用”和“逆用”.更致命的是大部分老師們并不清楚尋找解題思路的邏輯性，只是在講“這么這么做”，并不能講“因為什么”，像這種沒有分析過程，直接演繹推理的解題教學是把學生推入“題海”深淵的根本原因.所以在落實新課程標準的數學解題教學中，注重“數學通性通法”教學是提高課堂有效性的必然選擇.根據這個案例，從通性通法的角度如何進行教學才能使我們的課堂更加有效呢？筆者認為從“信息加工論”的角度進行解題思維教學是最有效的教學.其過程如下框圖：

這個案例的現實意義在于為了落實新的課程標準，通過注重“數學通性通法”的教學，提高素養、培養“四基”，在這個過程中需要的是適度地反復的思維過程，這種反復主要途徑之一就是我們平常的解題教學和課后布置的作業.

以上是對“數學通性通法”研究的簡要綜述以及通過案例談到的注重“數學通性通法”的現實意義.概括地說，要使我們的數學教學有利于培養新時代的接班人，在教學的具體領域內還需要很多的事情去做，其中對“數學通性通法”的研究和實踐也同樣需要不斷完善和發展.