反常渦旋光束在各向異性大氣湍流中的漂移

楊盛凱，王曉艷，趙 亮，徐勇根

(西華大學 理學院，成都 610039)

引 言

近年來，激光技術的不斷發展，使得其在眾多領域，如信息通訊、生物、材料、化學、國防等方面有著廣泛的應用。研究中，一種具有軌道角動量(orbital angular momentum，OAM)的渦旋光束引起了學者們的注意[1-3]。不同于普通的高斯光束，部分相干反常渦旋光束(partially coherent anomalous vortex beam，PCAVB)的OAM可以提供相當數量的復用信道用于信息傳輸[4]。攜帶OAM的光子有著更高的安全性、保密性和隱蔽性[5]，故而渦旋光束在光通訊領域中具有較高的研究意義。而光束在大氣傳輸中，由于受到大氣湍流的影響，光束會出現一系列的湍流效應，例如光束擴展、漂移以及光強閃爍等現象[6-8]。因此，為提高渦旋光束的傳輸性能，研究其在大氣湍流中的傳輸特性具有重要的現實意義，尤其在大氣激光雷達探測與成像等方面有重大研究價值。

YANG等人[9]研究發現的一種新型的反常渦旋光束(anomalous vortex beams,AVB)引起研究人員的廣泛關注。該光束(光強)在源平面(z=0)處的分布呈圓環形狀，在自由空間遠場又會演變成復宗量拉蓋爾-高斯光束。YUAN等人[10]研究了反常渦旋光束在大氣湍流中的斜程傳輸特性。XU等人[11]研究了反常渦旋光束在特定光學系統中的傳輸特性。而以上工作局限于部分相干光束在各向同性大氣湍流中的傳輸。大氣湍流存在各向異性得到了實驗驗證[12]，非Kolmogorov湍流功率譜模型不再適用描述各向異性大氣湍流,因此，激光在各向異性湍流的傳輸特性具有較高的研究價值。PCAVB在各向異性大氣湍流中的漂移特性還鮮有研究。本文中采用交叉譜密度矩和擴展的惠更斯-菲涅耳原理相結合的方法得出光束漂移的解析式，并對其進行數值模擬，主要研究光束的相干長度、拓撲荷與湍流各向異性因子對光束漂移的影響。

1 理論模型

基于渦旋光束的模型，PCAVB在源平面上的電場分布可以表示為[13]：

(1)

式中,ε0為常數，σ0為高斯光束的束寬，l表示光束階數，x0和y0表示入射面上任意位置坐標,p表示光場拓撲荷數。當p在一個周期內，光束相位從0變化到2πp，拓撲荷數在傳輸過程中不會發生改變，且一般取整數值，理論上該值的取值沒有上限[14-15]。渦旋光束在源平面(z=0)上的2階統計特性可以用一個2×2交叉譜密度函數矩(cross spectral density matrix，CSDM)表示[16-17]：

W(r01,r02;0)=

(2)

式中,r01和r02是源平面(z=0)上的任意兩個位置矢量，Wab(r01,r02;0)=〈εa*(r01;0)εb(r02;0)〉m，(a,b=x,y),εx和εy表示在x和y方向上的電場分量，*為復共軛，〈·〉m表示系綜平均。為了簡化運算，可以假設PCAVB的場強εx和εy不相關，即Wxy(r01,r02;0)=Wyx(r01,r02;0)=0。

這里對角元素Wxx(r01,r02;0),Wyy(r01,r02;0)可以表示為[13]：

(a=x,y)

(3)

式中，φ01和φ02表示方位坐標;δxx和δyy分別表示x和y方向上的相干長度，相干長度越大，光束相干性越好;波數k=2π/λ，λ為波長。研究表明，部分相干光在湍流中的傳輸性能優于完全相干光[18]，部分相干光的相干長度在一定范圍內減小時，能夠有效減小光束相位波前發生變化，進而使光束漂移下降。相干長度太大，激光的相干性越優異，使得激光在大氣湍流中的傳輸不易發散，但容易出現光斑，使得傳輸質量降低；相干長度太小，光束相干性差，會使激光在大氣湍流傳輸中極易發散，有效傳輸距離大大降低。

利用擴展的惠更斯-菲涅耳原理的近軸形式，PCAVB經過大氣湍流后在接收平面上的CSDM可以表示為[19-22]：

(4)

式中，J0(·)是零階貝塞爾函數，r1和r2是接收面上的兩個位置矢量，Φn(κ)為湍流的空間功率譜函數，z為傳輸總長度，κ是空間波數的大小，χ=h′/zcosγ，h′為傳輸高度變量，γ為天頂角。令r1=r2=r，將(3)式代入(4)式可得PCAVB在湍流中傳輸時接收面交叉譜密度函數的解析式[13]：

(5)

式中,Γ(·)是伽馬函數，1F1(·)是庫默爾函數。h=0時，δh,0=1；h≠0時，δh,0=0。

s=l+p+q+2h+1

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，a=x,y。球面波在接收面上的空間相干長度表示為[23]：

(10)

PCAVB的平均光強可以表示為[13]:

I(r,z)=Wxx(r;z)+Wyy(r;z)

(11)

將(5)式代入(11)式，可以得到[16-17,24]：

(12)

初始平面上PCAVB的偏振度可表示為[13]：

(13)

在各向異性湍流中，PCAVB的均方根空間寬度可定義為[25]：

(14)

將(12)式代入(14)式可得[13]：

(15)

式中，Ta為各向異性大氣湍流量[20]：

(16)

引入各向異性功率譜模擬大氣湍流，在各向異性湍流中，功率譜的形式由下式給出[12,26]：

(0≤κ<∞，3<α<4)

(17)

(18)

(19)

將(16)式～(19)式整理合并，得到：

(20)

將(15)式、(20)式整合：

(21)

用幾何光學近似與Rytov近似解，可以得到湍流條件下光束漂移的二階矩模型[27]：

(22)

式中，z′代表在傳輸總長度z的范圍內，源平面到截取點之間的距離，WFS為光束在自由空間中的束寬擴展，利用光束在湍流中傳輸的漂移模型公式可得[27]：

[2κ02(κm2Wz2)+1+(α-2)κm2]×

(23)

式中，Γ(·,·)是不完全伽馬函數，光束的均方根漂移與相對漂移的表達式為[28]：

(24)

光束的均方根漂移表達出光束偏離中心的真實距離，相對漂移能夠直觀反映出光束漂移與光束擴展之間的關系。最新的實驗研究表明[29]，用本文中的方法推導出的光束漂移理論模型適用于任意部分相干光束在大氣湍流中傳輸的漂移，且理論結果與實驗數據吻合。本文中采用的部分相干光束為反常渦旋光束也適用此模型。

2 數值模擬與分析

圖1描述折射率結構常數Cn2、各向異性因子ξ、光場拓撲電荷數p,以及相干長度δxx和δyy對均方根漂移Bw,RMS和相對漂移Bw,r的影響。通過圖1a、圖1b可以看出，隨折射率結構常數Cn2的增加，湍流強度變大，對反常渦旋光束在湍流中的漂移影響越大，導致光束均方根漂移Bw,RMS和相對漂移Bw,r增大。這是因為湍流強度的增加，直接導致光束傳輸時的相位波前發生較大變化，進而使得折射率發生較大改變，使光束漂移更加劇烈。傳輸距離15km時，Cn2=10-13m3-α的大氣湍流對光束漂移影響最大，Bw,RMS接近0.25m，Bw,r接近0.05。圖1c、圖1d中描述各向異性因子ξ的影響情況。可以看出，當ξ=1時，對光束漂移的影響最大，說明光束受到各向異性湍流的影響比各向同性湍流要小，這是因為ξ影響著湍流強度的分布，各向異性因子ξ越大，強度分布越不均勻，導致湍流對光束漂移的影響降低，光束均方根漂移Bw,RMS和相對漂移Bw,r減小。圖1e、圖1f表明，光場拓撲電荷數p增大，會使光束抵抗湍流對其漂移特性的影響的能力越強，Bw,RMS和Bw,r下降。傳輸距離為15km、光場拓撲電荷數p從0增加到10時，Bw,RMS在0.09m～0.1m范圍內逐漸減小，Bw,r在0.008～0.01范圍內逐漸減小。由圖1g、圖1h可以看出,傳輸距離15km時，相比其它兩組相干長度，δxx=20mm，δyy=30mm的光束受到各向異性湍流影響最大，Bw,RMS略超過0.08m，Bw,r略超過0.06。而圖1b、圖1d、圖1f、圖1h還說明，PCAVB在各向異性湍流傳輸時，前5km相對漂移Bw,r上升速率最快，傳輸至5km后，相對漂移Bw,r逐漸趨于穩定狀態，相較5km內的漂移程度，沒有太大的幅度變化。說明光束經過長程傳輸后，PCAVB在各向異性湍流傳輸時的相對漂移逐漸趨于穩定。

Fig.1 In the anisotropic turbulence, the root mean square wander Bw,RMS and relative wander Bw,r of PCAVB vary with each parameter

圖2反映出廣義指數參量α與光束漂移之間的關系。通過圖2a、圖2b看出，當α在3～3.1與3.6～4之間變化時，拓撲電荷數p的增加，對光束均方根漂移Bw,RMS和相對漂移Bw,r的影響不大，而當α在3.1～3.6之間取值時，隨拓撲電荷數p的增加，光束均方根漂移Bw,RMS和相對漂移Bw,r減弱。圖2c、圖2d中，各向異性因子ξ=5時，相比ξ=1與ξ=3，隨著α的增加,Bw,RMS與Bw,r更快達到飽和狀態，且光束漂移最小，Bw,RMS不超過0.1m，Bw,r稍稍高于0.02。由圖2e、圖2f可以看出，相干長度越大，α也要取越大的值，才能使光束漂移達到飽和，其中相干長度δxx=5mm，δyy=10mm時，光束漂移最小，Bw,RMS接近0.17m，Bw,r稍高于0.02。由圖2a～圖2f可以看出,廣義指數參量α在3.0～3.3之間變化時，Bw,RMS和Bw,r迅速增大，變化最為明顯。當α在3.3～4.0之間變化時，Bw,RMS與Bw,r隨α的增大逐漸上升，但變化速率沒有α在3.0～3.3變化時迅速，并很快趨于飽和。說明隨著α的增大，對光束漂移的影響趨近飽和，不顯著影響PCAVB在各向異性反常渦旋大氣湍流中的漂移現象。

Fig.2 In the anisotropic turbulence, the root mean square wander Bw,RMS and relative wander Bw,r of PCAVB vary with the generalized exponential parameters α

Fig.3 In the anisotropic turbulence, the root mean square wander Bw,RMS and relative wander Bw,r of PCAVB vary with the transmission distance z, anisotropic factor ξ, coherence length δxx,δyy

圖3a、圖3b直觀反映出隨傳輸距離的增加，Bw,RMS持續增加，而Bw,r的增加量逐漸減少并趨于飽和。這是因為隨傳輸距離的增加，光束束寬擴展也隨之增加，并與Bw,RMS的比值逐漸趨于某一值的緣故。同時可以看出，各向異性因子ξ越大，對光束漂移的抑制作用越明顯，光束在ξ=6的大氣湍流中傳輸至15km時，光束Bw,RMS與Bw,r同ξ=1的大氣湍流中相比，光束漂移量減少了數倍，大大減少了光束漂移。圖3c、圖3d中描繪出了相干長度與光束漂移之間的關系，相干長度δxx與δyy越大，光束的相干性越好，Bw,RMS和Bw,r越大。在光束的選取上，應選部分相干光束以降低湍流對光束漂移的影響。

3 結 論

通過采用交叉譜密度函數與擴展惠更斯-菲涅耳原理相結合的方法，幾何光學近似與Rytov近似解得到了PCAVB在各向異性非Kolmogorov湍流中傳輸的光束漂移解析式，數值模擬分析了湍流與光束參量對Bw,RMS和Bw,r的影響。模擬結果表明：各向異性因子ξ的增長，會使Bw,RMS和Bw,r明顯降低，與ξ=1時的Bw,RMS和Bw,r作對比，ξ=2時減弱了2/5左右，傳輸15km時,Bw,RMS僅不到0.3m，Bw,r≈0.08。可以看出,各向異性因子在光束于大氣湍流傳輸中，對Bw,RMS與Bw,r有著不可忽視的影響。當傳輸至15km時，廣義指數參量α在3～3.3增長，對Bw,RMS和Bw,r的影響最為明顯，兩者迅速增加；α在3.3～4之間變化時，隨著α的增加，Bw,RMS和Bw,r變化不大，且均呈現出增長飽和的趨勢，可以看出，α對部分相干反常渦旋光束的漂移影響，集中于α取值3～3.3之間。拓撲荷數p對部分相干反常渦旋光束在各向異性大氣湍流中的漂移有一定抑制作用，拓撲荷數越大，Bw,RMS和Bw,r越小。部分相干反常渦旋光束的相干長度δxx和δyy極為明顯地影響著光束漂移，隨著δxx和δyy增加數值越大，Bw,RMS與Bw,r的變化越大。部分相干反常渦旋光束的相干性越好，反而會增大其在各向異性湍流中的漂移，當δxx，δyy均取值5mm時，光束漂移最小。

綜上所述，在各向異性因子ξ越大、廣義指數參量α越小的各向異性非Kolmogorov的大氣湍流中，拓撲荷數p越大、相干長度δxx與δyy越小的PCAVB漂移現象被抑制得越好。為了減小大氣湍流引起的光束漂移，應選取拓撲荷較大、相干長度越小的PCAVB作為傳輸光束。該結論可以應用在實際雷達探測中，為其選取光束提供一定的理論指導與參考價值。