基于時間回歸模型的魚類遷移研究

張湑行 劉錦源

摘 要：研究表明海洋溫度正在逐年上升，許多海洋生物會受到溫度影響而進行大規模的遷移，對于依靠捕撈為生的漁民和捕撈公司這將是嚴重的打擊。本文主要針對魚類種群的遷移進行研究。首先利用時間回歸（AR）模型進行海水溫度的預測。為了研究魚群位置的長期變化趨勢并消除周期性洄游的影響，將計算的時間間隔取為一年，結合魚類選擇適宜環境的生物學特點，建立了規劃模型來模擬每年魚群受溫度影響遷移的過程。最終收集了鯡魚、鯖魚的所需參數，按照以上模型對兩種魚群的遷移進行了預測。

引言

海洋溫度不僅影響海洋生物物種的穩定性，而且與人類社會和經濟密切相關。 隨著溫度的升高，海洋魚類和無脊椎動物可能遷移到高緯度和更深的水域。 在過去的40年里，海洋溫度的升高影響了全球漁業的發展，魚類棲息地的不斷遷移給漁業公司帶來了更多的不確定性。為了穩定這些公司的生計，盡量減少全球變暖對漁業的影響，研究魚類遷移的規律有著巨大的價值。

模型的建立與求解

1.基于AR模型海水溫度預測

本文從國際海洋物理科學協會（ICES）數據庫獲取了1997年-2018年北大西洋海面溫度數據。根據“蘇格蘭海洋地圖集：國家海洋計劃”提供的海域參考圖，蘇格蘭海域的范圍為-15 ～ 2 ° 和 55 ～ 62 °。 為了避免魚類繁殖的特殊階段，提取1997年至2018年蘇格蘭（9月，10月，11月）的平均海面溫度進行研究。 采用三次樣條法對每年數據進行插值，補充選定經緯度范圍的溫度數據。可以觀察到到海水溫度隨經度、緯度、時間變化的大致規律：當經度處于-15°到-5°時，隨經度的改變溫度有明顯上升趨勢，而經度處于-5°到0°時溫度隨經度改變有一定的下降趨勢。各年份高溫區域（這里指10°C以上）主要分布在緯度55°到58°范圍，且高溫區域逐漸向高經度、低緯度方向移動。

結合以上分析我們將所研究海域按緯度分為三個部分：D1（55°到58°）、D2（58°到60°）、D3（60°到62°）。將三個部分海水溫度取平均值，得到三個部分平均溫度的時間序列。分別建立自回歸AR模型，并利用數據計算出模型參數的估計值，最終模型為（Ti表示對應區域第i年溫度）：

將三個部分分別按照模型對未來的海水溫度進行預測，僅展示2031，2041，2051，2061這四年的溫度預測結果：

2.基于規劃模型魚群遷移預測：

魚類通過洄游的方式更換生活水域，以滿足各時期對外界環境的需求，進而完成繁殖、索餌等生命活動并尋找更加適宜的棲息地 。洄游是魚類對自然環境變化的長期適應行為 ，能夠使種群獲得更好的繁殖與生存條件。魚類洄游可以分為主動洄游和被動洄游，其中主動洄游是指魚類在進行繁殖前種群遷移過程，而被動洄游是指繁殖結束后回到原來棲息地的遷移過程。鯡魚、鯖魚在一年之內由于繁殖或季節變化離開棲息地而最終又回到原棲息地，將類似的過程稱為周期性洄游;而某年之中外界環境相比于上一年整體發生改變而導致魚群棲息地的遷移稱為非周期性遷移，如全球海洋溫度升高而導致的魚群棲息地的遷移就屬于非周期性遷移。

假設遷移過程中魚群規模保持不變且分布均勻，可以認為魚群區域總面積保持不變，進一步假設魚群的分布為半徑固定的圓形區域（記為D），由于水溫隨時間變化導致區域中心坐標不斷變化，將初始時刻區域中點坐標記為（x0， y0），取相等的時間間隔Δt，第i個時間點所對應的區域中心坐標記為（xi， yi）。i時刻魚群所在區域D可以表示為（其中：r為圓形區域的半徑）：

為了預測魚群位置長期變化趨勢，將時間間隔Δt取為一年。魚群的位置受到遷移的影響，由于所取時間間隔Δt為一年且周期性洄游的周期也為一年，可以認為在時間間隔為一年的前提下魚群的位置變化主要由非周期性遷移決定，將周期性洄游的影響忽略不計。根據分析，當水溫發生變化時，在一定區域內，魚群能夠本能的進行遷移并不斷地將棲息地調整到環境最適宜的位置。按照這一規律建立規劃模型模擬魚群自主尋找棲息地的過程。

目標函數：

由于溫度受到位置的影響且隨時間不斷變化，將溫度定義為三元函數T（x，y，ti），魚群會不斷調整棲息地使溫度盡可能接近其最適值T0，將魚群所處區域溫度與最適值的差距定義為目標函數：

按照對區域D的定義對目標函數進行積分變換，得到：

約束條件：

需將魚群活動范圍限制在所研究的海洋區域（記為Dsea）內。且在一年的時間內，魚群需要花費大量時間完成繁殖、索餌、周期性洄游等基本行為，所以考慮非周期性遷移距離有一定限制（最大距離記為tranmax）：

參考了鯖魚、鯡魚在蘇格蘭周圍海域的捕撈位置及捕撈量，提取了其中近年來秋季的捕撈數據，根據這些信息大致確定了兩類魚群中心的初始位置（xi， yi）及魚群區域的近似半徑r。通過查閱魚類遷移的相關研究，得知了過去三十年間全球范圍內兩種魚的魚群最大移動距離為400km，所以近似的將兩種魚群每年最大移動距離r選定為13km。確定了模型中的未知參量如下表：

根據以上參數并結合模型二中對海水溫度的預測結果我們可以預測兩種魚的遷移情況如下：

結論

結合實際情況不能簡單的把魚群區域當作固定的圓，實際分布很可能隨溫度的改變發生變化。從這個角度出發將對規劃模型做出調整。經過調整后的模型可以提高預測魚群中心位置變化的準確性，同時考慮到魚群外形的變化，這樣更加接近實際情況。同時考慮到，即使魚群中心處于適宜溫度范圍內，中心位置以外的魚也可能進行小規模遷移導致區域外形改變。在遇到這種情況時可以用調整后的模型解決，保持魚群中心坐標進行規劃，即確定了區域外形的變化。

參考文獻：

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