基于改進McEvily裂紋擴展模型的新型鈦合金疲勞可靠性分析

王 珂，趙春陽，白 旭，屠本陽

(江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212003)

0 引 言

鈦合金材料廣泛地應用于耐壓殼結構中，殼體結構在服役期間會承受海水周期性的往復載荷，由此造成的疲勞損傷可能會產生裂紋，成為影響結構安全的重要因素。因此對金屬疲勞斷裂的分析一直是工程的研究熱點。大多情況下，結構疲勞分析采用確定性的方法進行，然而不論是材料特性、載荷本身等都具有不確定性的特征，而這些特征正是影響疲勞壽命的不確定性因素。針對這些疲勞裂紋擴展過程中存在的不確定性，有必要采用可靠性理論[1]對裂紋擴展進行分析。

傳統疲勞可靠性方法的缺陷主要是沒有考慮到已經存在的裂紋對結構產生的影響，而斷裂力學恰好彌補了這一缺點。一些學者提出了可靠性理論與裂紋擴展理論相結合的辦法并開展了疲勞裂紋擴展理論工程上的可靠性研究[2-5]，但以往的 Paris疲勞裂紋擴展模型具有很多局限性，它不能包括裂紋擴展的小裂紋階段。對此，為了解決傳統的裂紋擴展模型可靠性分析中存在的局限性，李向陽等[6-8]對新近提出的裂紋擴展模型進行對比，發現McEvily模型能夠解釋比較多的異常疲勞現象，并提出了針對不同材料的變斜率改進形式，改進后的McEvily模型對疲勞短裂紋和長裂紋均具有良好的疲勞預測能力。隨后，王一飛等[9]也將裂紋擴展率分子項的冪指數由固定值改為變量，驗證了該模型具備對不同材料的裂紋擴展進行預報的能力。S.Ishihara[10]在鈦合金疲勞壽命周期內，進行了一系列高低周循環試驗得到了裂紋長度與加載循環次數的函數關系，確定了McEvily模型的本構關系且試驗結果與預測結果高度吻合。R.Kumble等基于裂紋張開位移考慮的裂紋擴展模型在應力比R=0載荷情況下，提出了一種修正裂紋擴展表達式以反映裂紋閉合影響下的McEvily關系。李旭東[11]通過對不同溫度下6 151-T6合金的研究，獲得了一種基于可靠性理論的裂紋擴展速率表達式。羅廣恩等[12]基于改進McEvily模型預測深海結構表面裂紋的疲勞壽命，得到了結構的疲勞壽命和表面裂紋擴展的形貌變化。許斐然[13]采用改進McEvily裂紋擴展模型，預測壓縮循環載荷下深海結構物的疲勞壽命，并將預測結果與試驗結果進行對比，結果表明此模型可為相關循環的壓縮載荷下的結構疲勞壽命評估提供參考。康健[14]通過對McEvily公式的深入研究，綜合考慮彈塑性行為的影響、裂紋閉合效應，得出McEvily改進公式對疲勞裂紋擴展壽命具有更強的評估能力。這些針對McEvily模型的疲勞裂紋擴展研究也為本文中模型的選取提供了思路。

本文在疲勞分析中引入可靠性理論，將裂紋擴展模型中的不確定參數作為統計變量，結合改進McEvily裂紋擴展模型和疲勞壽命可靠性模型，建立疲勞裂紋擴展可靠性的極限狀態方程，利用一次二階矩法對可靠度指標及參數敏感性進行計算分析，并與傳統的Paris裂紋擴展模型可靠度進行對比。

1 基于疲勞裂紋擴展模型的可靠性

1.1 改進McEvily裂紋擴展模型的疲勞可靠性

1.1.1 極限狀態方程的建立

疲勞累積損傷模型由于描述的參量不同，因此結構的功能函數有很多種，這就導致在極限狀態建立的過程中有了較多的選擇。但根據本文的實際情況考慮，應當選擇以應力循環數為變量的疲勞壽命模型為結構功能函數，即可表示為：

其中：N為結構在疲勞破壞的臨界狀態時的循環總數；Nd為設計的應力循環總數。

根據李向陽的改進McEvily模型基礎上可以定義裂紋尺寸從a1到擴展到a2時的疲勞損傷累積方程為φ(a1,a2)，它表示的是裂紋擴展疲勞損傷過程。對da/dN=A(M)m進行積分可得：

即可知：

因此可得：

其中，A和m為裂紋擴展過程中的不確定性參數。

φ(a1,a2)是隨著裂紋長度遞增的函數，因此極限破壞狀態可表示為：

即由此可得結構功能函數：

當疲勞破壞發生時g(x)＜0，g(x)=0為極限狀態，即

式中：

其中：R為應力比；a為裂紋長度；k為裂紋閉合水平；re為材料固有缺陷尺寸； σY為材料的屈服強度；Y為應力強度因子修正系數；Kop為裂紋張開水平下的應力強度因子；Keffth為有效應力強度因子范圍；Kopmax為裂紋開口狀態的最大應力強度因子。

1.1.2 疲勞可靠性分析

由上述內容中提出的基于改進McEvily裂紋擴展模型得到的極限狀態方程式（8），當疲勞循環數達到Nd時，表示為：

此時的疲勞可靠度可表示為：

根據上面的模型分析可知，所涉及到的主要參量為：不確定材料參數A，m；初始裂紋尺寸a0和臨界裂紋尺寸ac；裂紋閉合水平k；材料固有缺陷尺寸re；材料的屈服強度 σY和最大應力 σmax；裂紋的形狀參數Y；裂紋開口狀態的最大應力強度因子Kopmax；有效應力強度因子范圍。其中等參數大多是通過試驗擬合或數據分析得到的，并不存在真實的物理意義。因此，這些參數在進行可靠性分析時暫不考慮其統計特性對可靠度指標的影響，通過參考相關文獻取值作為常數處理，將值分別設置為0.65，3，3。模型參數的統計特征如表1所示。

表1 模型參數統計特征Tab.1 Statistical characteristics of random variables

在極限狀態模型計算中，默認不確定參數為正態分布。根據一次二階矩中的中心點法，通過Matlab進行編程計算，可得到裂紋擴展過程中的可靠度指標以及失效概率。本文中基于改進McEvily裂紋擴展模型得到了載人潛水器鈦合金材料的可靠度指標 β =4.17，失效概率Pf=1.49×10-5。

1.2 Paris裂紋擴展模型的疲勞可靠性

基于Paris疲勞裂紋擴展模型的極限狀態方程及其參數不確定變量的表達式，則當材料循環壽命次數達到Nd時，疲勞可靠度表達式為：

根據上面的極限狀態方程所涉及的不確定參數變量主要包括：不確定材料參數C，n；初始裂紋尺寸a0，臨界裂紋尺寸ac；疲勞循環次數Nd。通過擬合新型鈦合金裂紋擴展速率試驗和參考相關文獻確定了各不確定參數的均值和變異系數，統計特征值如表2所示。

表2 Paris模型參數統計特征Tab.2 Statistical characteristics of Paris model parameters

基于Paris極限狀態計算模型下，不確定參數變量默認為正態分布。采用一次二階矩的驗算點法來進行計算，得到其可靠度為4.08及失效概率為 2.24×10-5。

2 改進 McEvily 裂紋擴展模型的參數靈敏度分析

將模型中各隨機變量變異系數取不同數值時對應的可靠度指標和失效概率分別列于圖1～圖9中。

由以上結果可知，材料參數A、最大應力 σmax、屈服強度 σy、失效壽命Nd、材料固有缺陷re等變量隨著變異系數增加其失效概率逐漸增加，呈現出較強的線性關系。其中材料參數m在變異系數達到0.12時，其失效概率曲線速率變化較大。初始裂紋尺寸a0、臨界裂紋尺寸ac隨著變異系數增加到0.16時，其失效概率呈現大幅增長趨勢。

小裂紋擴展過程中的主要影響參數即裂紋閉合水平k，其變異系數從0.16過渡到0.2時，失效速率有進一步增長趨勢。其原因可能是，變異系數的改變導致了裂紋擴展速率的增加，進而影響了可靠度的變化。又考慮到，在低周疲勞中的結構70%以上壽命用于小裂紋擴展階段，因此提出一個包含小裂紋擴展的疲勞可靠性分析模型十分必要。

圖1 隨機變量A的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.1 The influence curve of variation coefficient of random variable A on reliability

圖2 隨機變量m的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.2 The influence curve of variation coefficient of random variable m on reliability

圖3 隨機變量k的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.3 The influence curve of variation coefficient of random variable k on reliability

圖4 隨機變量a0的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.4 The influence curve of variation coefficient of random variable a0 on reliability

3 結 語

本文基于斷裂力學疲勞裂紋擴展理論以及可靠性理論，分別建立了改進McEvily疲勞裂紋擴展公式和Paris疲勞裂紋擴展公式的可靠性計算模型。對提出的計算模型采用了一次二階矩的驗算點法作為可靠性的計算方法。對載人潛水器鈦合金材料疲勞裂紋擴展的可靠度指標及參數敏感性進行了計算及分析，得到以下結論：

圖5 隨機變量 a c的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.5 The influence curve of variation coefficient of random variable ac on reliability

圖6 隨機變量 σ max的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.6 The influence curve of variation coefficient of random variable σ m ax on reliability

1）基于改進McEvily裂紋擴展可靠性計算模型，經計算得到可靠度指標 β =4.17，失效概率Pf=1.49×10-5。基于Paris裂紋擴展可靠性計算模型，可靠度指標 β =4.08，失效概率Pf=2.24×10-5。Paris模型只考慮了裂紋穩定擴展過程中的可靠性，雖簡化模型降低了工作量，但其可靠性計算結果較為保守。

圖7 隨機變量 σ y的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.7 The influence curve of variation coefficient of random variable σ y on reliability

圖8 隨機變量 r e的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.8 The influence curve of variation coefficient of random variable re on reliability

2）基于改進McEvily裂紋擴展模型下的極限狀態方程，對模型中隨機變量的參數進行了靈敏度分析。不確定材料參數m、初始裂紋尺寸a0和臨界裂紋尺寸ac的變異系數分別達到0.12和0.16時，材料的可靠度指標出現了較大程度的下降，失效概率呈現出指數級的上升趨勢，存在較大概率的失效風險。其小裂紋擴展階段中的主要影響參數，裂紋閉合水平k的變異系數對失效概率的總體影響較小但有進一步增長趨勢，又考慮到小裂紋擴展階段占據裂紋擴展過程的主要疲勞壽命，應在設計階段或可靠性模型建立時給予重視。

圖9 隨機變量 N d的變異系數對可靠性的影響曲線Fig.9 The influence curve of variation coefficient of random variable N d on reliability