基于線性二次型調(diào)節(jié)器的乒乓舵最優(yōu)控制方法

李 旭，霍鵬飛，陳 超，雷瀧杰

(西安機(jī)電信息技術(shù)研究所，陜西 西安 710065)

0 引言

隨著科技的發(fā)展，現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的模式發(fā)生了巨大的變化。“外科手術(shù)式精確打擊”與“斬首行動(dòng)”等作戰(zhàn)思想的運(yùn)用，對(duì)精確制導(dǎo)武器提出了越來(lái)越高的要求。低成本彈道修正技術(shù)在提高武器作戰(zhàn)性能，節(jié)約成本方面有明顯優(yōu)勢(shì)，彈道修正引信可以使傳統(tǒng)庫(kù)存無(wú)控彈藥?kù)`巧化，有著成本低、響應(yīng)時(shí)間快、后勤負(fù)擔(dān)小、附帶毀傷低、效費(fèi)比高等一系列優(yōu)點(diǎn)，采用彈道修正引信進(jìn)行無(wú)控彈丸精確化改造思想已深入人心。據(jù)統(tǒng)計(jì)，具備彈道修正技術(shù)的彈藥，其殺傷成本相對(duì)于精確制導(dǎo)彈藥而言降低了26～28倍，而同樣毀傷概率下可以減少普通彈藥消耗量的90%[1]。二維彈道修正引信分為固定翼和整體減旋可動(dòng)翼兩種方案。各國(guó)在可動(dòng)翼二維彈道修正引信的研究中，通常采用鴨式氣動(dòng)布局，引信利用彈丸原有的飛行穩(wěn)定性簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。這種方案中，彈丸發(fā)射后引信通過(guò)減旋機(jī)構(gòu)，確保彈體保持原有旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，而引信相對(duì)于彈體整體減旋。引信上通常安裝有一對(duì)同向升力翼來(lái)提供修正力及力矩，一對(duì)差動(dòng)可動(dòng)翼來(lái)控制引信滾轉(zhuǎn)角，以此來(lái)調(diào)節(jié)修正力的方向[2-3]。

舵機(jī)作為二維彈道修正引信的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，帶動(dòng)一對(duì)差動(dòng)可動(dòng)翼進(jìn)行引信滾轉(zhuǎn)角控制。由于舵機(jī)需要在匹配滾轉(zhuǎn)控制指令周期下，達(dá)到運(yùn)動(dòng)誤差的要求。舵機(jī)中存在電感這類(lèi)儲(chǔ)能元件會(huì)因?yàn)殡娏鞯膭∽儺a(chǎn)生延時(shí)，且測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，這對(duì)舵機(jī)自身控制周期的穩(wěn)定性提出了較高要求，指標(biāo)要求為換向頻率不小于50 Hz，頻率變化率不超過(guò)±2.5%。對(duì)于二維修正引信使用乒乓舵機(jī)的控制問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外資料提及較少，并且不涉及具體控制器設(shè)計(jì)方法。本文針對(duì)上述問(wèn)題，提出了基于LQR控制算法的舵機(jī)控制系統(tǒng)。

1 乒乓舵機(jī)數(shù)學(xué)模型及線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)控制算法

1.1 乒乓舵機(jī)的數(shù)學(xué)模型

乒乓舵機(jī)由脈寬調(diào)制信號(hào)驅(qū)動(dòng)音圈電機(jī)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)鉸鏈?zhǔn)絺鲃?dòng)裝置帶動(dòng)差動(dòng)翼面運(yùn)動(dòng)，翼面運(yùn)動(dòng)極限位置有機(jī)械限位，形成乒乓舵[4]。乒乓舵結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 乒乓舵機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of electrical actuator

在磁場(chǎng)作用下，通電導(dǎo)體切割磁力線產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)，其大小可以表示為：

E=δBlcv=kEv

(1)

式(1)中，E為反電動(dòng)勢(shì)，δ為電磁感性系數(shù)，B為磁場(chǎng)強(qiáng)度，lc為線圈導(dǎo)線長(zhǎng)度，v為動(dòng)子的運(yùn)動(dòng)速度，反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)kE=δBlc。

當(dāng)音圈電機(jī)線圈繞組兩端存在電壓，使音圈電機(jī)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)音圈電機(jī)線圈回路的動(dòng)態(tài)電壓平衡方程式為：

(2)

式(2)中，u為線圈繞組兩端電壓，L為線圈繞組電感，i為流過(guò)線圈電流，R為線圈阻值。

根據(jù)音圈電機(jī)工作原理及實(shí)際工作條件可知，電機(jī)動(dòng)子上有電磁力F、慣性力Fm、摩擦力Fc和負(fù)載力Fl。其關(guān)系表達(dá)式為：

F=Fm+Fc+Fl

(3)

當(dāng)線圈中電流為i，磁場(chǎng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體會(huì)受到電磁力的作用，其大小為：

F=δBlci=kfi

(4)

式(4)中，電機(jī)力常數(shù)kf=δBlc。

慣性力Fm表達(dá)式為：

(5)

式(5)中，m為動(dòng)子部分總質(zhì)量，a為動(dòng)子運(yùn)動(dòng)加速度，x為動(dòng)子運(yùn)動(dòng)行程。

動(dòng)子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其運(yùn)動(dòng)速度表達(dá)式為：

(6)

由于音圈電機(jī)的粘性摩擦力遠(yuǎn)大于干摩擦力，所以只考慮粘性摩擦力，其表達(dá)式為：

(7)

式(7)中，c為粘性阻尼系數(shù)。

負(fù)載力由舵機(jī)翼面的鉸鏈力矩Mh產(chǎn)生，其表達(dá)式為：

(8)

式(8)中，l為力臂。

聯(lián)立式(3)—(5)、(7)和(8)，則乒乓舵機(jī)的力平衡方程為：

(9)

考慮到電機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的行程誤差，其表達(dá)式為：

e=x-xc

(10)

式(10)中，xc為電機(jī)運(yùn)動(dòng)總行程。

聯(lián)立音圈電機(jī)的動(dòng)態(tài)電壓方程式(2)、力平衡方程式(9)、速度方程式(6)及誤差方程式(10)，乒乓舵機(jī)動(dòng)力學(xué)方程組如式(11)所示[5-6]。

(11)

1.2 線性二次型調(diào)節(jié)器控制算法

線性二次型調(diào)節(jié)器控制問(wèn)題屬于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題，其實(shí)際上是要用最小的控制量來(lái)獲得最小誤差的最優(yōu)控制。由LQR控制原理可知，對(duì)于形如式(12)中描述的線性系統(tǒng)，選擇最優(yōu)控制輸入，使得式(14)中所描述的性能指標(biāo)J最小。

(12)

u*(t)=-K*x(t)

(13)

(14)

式(14)中，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。該指標(biāo)的物理意義在于設(shè)計(jì)控制變量u，使用最少的能量，使得狀態(tài)x在整個(gè)控制過(guò)程中最小。反饋矩陣K*可通過(guò)式(15)計(jì)算。

K*(t)=-R-1BTP

(15)

式(15)中，P為Riccati代數(shù)方程(16)的解[7]。

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(16)

2 基于線性二次型調(diào)節(jié)器控制算法的乒乓舵機(jī)控制方法

將乒乓舵機(jī)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型寫(xiě)成狀態(tài)空間描述的形式。

(17)

選取的三種狀態(tài)變量中，i和e均可測(cè)，e通過(guò)微分及低通濾波得到v，則對(duì)于狀態(tài)空間方程(17)中描述的線性系統(tǒng)，可以得到式(18)所示的輸出方程。則式(17)和(18)一起構(gòu)成形如式(12)的乒乓舵機(jī)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)空間描述。

(18)

對(duì)于乒乓舵機(jī)的線性系統(tǒng)而言，選取R=[a](a>0)，Q為半正定對(duì)角陣,則A、B、Q、R均為常數(shù)矩陣，P(t)存在且唯一，并且為非負(fù)定。同時(shí)系統(tǒng)輸入u不受約束。滿(mǎn)足LQR控制算法的應(yīng)用條件[8-9]。

應(yīng)用LQR控制算法得到式(19)中的最優(yōu)控制律。

(19)

3 仿真驗(yàn)證

根據(jù)上一章得到的乒乓舵機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及最優(yōu)控制律，運(yùn)用Matlab中Simulink工具箱建立乒乓舵機(jī)控制系統(tǒng)模型，如圖2所示。

圖2 乒乓舵機(jī)控制系統(tǒng)仿真圖Fig.2 Simulink diagram of electrical actuator control system

為了驗(yàn)證基于LQR控制算法的乒乓舵控制方法的控制效果，在不引入測(cè)量誤差的情況下，控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 乒乓舵機(jī)控制系統(tǒng)電流、速度及行程誤差變化曲線Fig.3 Current, speed and distance error diagram of electrical actuator control system

速度估計(jì)值與理論值差別如圖4所示。由圖4可以看出，速度的估計(jì)值迅速收斂至理論值。

圖4 乒乓舵機(jī)運(yùn)動(dòng)速度理論值與實(shí)際值變化曲線Fig.4 Actual value and ideal value of movement speed diagram of electrical actuator

由圖3的仿真結(jié)果中可以看出，調(diào)節(jié)時(shí)間ts≈10 ms，超調(diào)量為0。同時(shí)線圈電流，動(dòng)子運(yùn)動(dòng)速度以及行程誤差變化平緩，其中線圈電流、動(dòng)子速度及行程誤差均趨向于0。所需控制量很小，仿真結(jié)果如圖5所示。使用乒乓舵三環(huán)PID算法的調(diào)節(jié)時(shí)間ts≈42 ms，且存在25%的超調(diào)量。同時(shí)可以看出，LQR較PID算法可節(jié)省約39%的功耗，仿真結(jié)果如圖6所示。LQR控制算法與PID控制算法控制仿真結(jié)果對(duì)比如圖7所示。

圖5 乒乓舵機(jī)控制系統(tǒng)控制量變化曲線Fig.5 Voltage diagram of electrical actuator control system

圖6 LQR與PID控制算法瞬時(shí)功耗仿真結(jié)果Fig.6 Power consumption diagram of LQR and PID algorithm

圖7 LQR控制算法與PID控制算法仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results diagram of LQR and PID algorithm

當(dāng)行程誤差引入均值為0 mm，方差為0.001 mm的正態(tài)誤差，電流引入均值為0 mA,方差為20 mA的正態(tài)誤差時(shí)，單次換向時(shí)間ts≈9.86 ms，變化率1.4%，滿(mǎn)足換向頻率不小于50 Hz，頻率變化率不超過(guò)±2.5%的指標(biāo)要求。測(cè)量誤關(guān)如圖8所示。

圖8 引入電流和行程誤差的測(cè)量誤差曲線Fig.8 Measure error diagram of current and distant error

對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)的控制結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析可知，乒乓舵機(jī)控制中，電流存在均值為83.4 mA，均方差為325.1 mA的誤差；速度存在均值為-0.002 m/s，均方差為0.078 m/s的誤差；行程誤差存在均值為-0.14 mm，均方差為0.13 mm的誤差。三環(huán)PID控制中，電流存在均值為63.6 mA，均方差為460 mA的誤差；速度存在均值為-0.01 m/s，均方差為0.092 m/s的誤差；行程誤差存在均值為-0.21 mm，均方差為0.33 mm的誤差。仿真結(jié)果對(duì)比如圖9所示。

圖9 引入測(cè)量誤差時(shí)LQR與PID控制算法仿真曲線Fig.9 Simulation results diagram of LQR and PID algorithm with measuring error

基于最優(yōu)控制理論中LQR控制算法的乒乓舵機(jī)控制方法與傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制算法相比，其調(diào)節(jié)時(shí)間短，不存在超調(diào)，控制精度高，同時(shí)所需控制量少。其設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單，僅需要判斷系統(tǒng)是否存在一個(gè)最優(yōu)控制律使其達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，使式(14)中的性能指標(biāo)最小。在滿(mǎn)足LQR控制算法應(yīng)用條件的基礎(chǔ)上求解Riccati代數(shù)方程，求得P陣，利用式(16)便可得到使得式(15)中性能指標(biāo)最小的最優(yōu)控制律。

4 結(jié)論

本文提出基于LQR控制算法的乒乓舵機(jī)控制方法。該方法先建立乒乓舵機(jī)數(shù)學(xué)模型，然后將乒乓舵機(jī)動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型寫(xiě)成狀態(tài)空間描述的形式，再判斷乒乓舵機(jī)的狀態(tài)空間描述是否滿(mǎn)足LQR控制算法的應(yīng)用條件，最后應(yīng)用LQR控制算法得到最優(yōu)控制律。其設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單，不需要將乒乓舵機(jī)控制器分為多級(jí)回路進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計(jì)。由仿真結(jié)果可知，基于LQR控制算法的乒乓舵機(jī)控制方法與傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制算法相比，其調(diào)節(jié)時(shí)間短，不存在超調(diào)，控制精度高，同時(shí)所需控制量少。由于LQR控制算法對(duì)系統(tǒng)建模準(zhǔn)確度要求較高，在實(shí)際使用過(guò)程中，易產(chǎn)生控制誤差散布較大的情況，故在工程應(yīng)用中應(yīng)考慮增加濾波。