基于排隊論的教學樓最優電梯數量探究

方文雅 吳格致 陳霖

基金項目：本文由西南民族大學大學生創新創業計劃項目（項目編號：S201110656066）資助。

作者簡介：方文雅（2001—），女，本科，研究方向為數學與應用數學。

吳格致（2001—），女，本科，研究方向為數學與應用數學。

陳霖（2000—），女，本科，研究方向為數學與應用數學。

摘 要：該文基于西南民族大學教學樓電梯使用高峰期上下客的數據，運用數學軟件，對排隊時間過長等問題進行了分析。并且在此基礎上，還運用排隊論，建立了數學模型。接著使用相關算法，計算出乘客的平均到達率、平均服務率及模型的特征指標，并分析西南民族大學教學樓電梯分布的合理性，得到在教學樓中間加裝一部電梯更為合理的結論。

關鍵詞：電梯數量 ?排隊論 ?平均到達率 ?平均服務率

中圖分類號：O 226 ???文獻標識號：A ????文章編號：1672-3791（2021）12（c）-0000-00

高層建筑的發展，電梯已經成為生活中必不可少的工具，但是乘坐電梯的遇到的人流擁堵問題仍然時常發生。不僅如此，排隊也是人們生活中的普遍現象。客梯數量過多會造成資源浪費，而客梯數量不足則會導致乘客滯留，造成乘客排隊時間長，客梯服務強度大。為此，該文通過收集西南民族大學教學樓電梯運行的相關數據，構建和求解電梯排隊和等待的數學模型[1]，探討學生排隊等候時間是否過長、教學樓電梯運力是否足夠、分析目前教學樓的電梯配置是否合理和確定教學樓最優電梯數量等問題，達到提高服務水平、減少運營成本等目的。

1 教學樓電梯配置的調研分析

該文考慮對西南民族大學航空港校區博才樓和博學樓兩種類型的教學樓進行分析。

博才樓位于西南民族大學航空港校區博學樓的東側，78個教室，共6層。每次約容納1 335位師生在此上課。僅有一部電梯供乘客使用。博學樓坐落于西南民族大學航空港校區的東北區域，102個教室，共6層。上課師生達1 900人次。配備兩部電梯供乘客使用。

1.1 電梯配置評定指標

電梯控制學中有一套電梯服務質量品定指標，根據5 min載客率（CE）、平均候梯時間（INT）、平均行程時間（PNT）這3個數據，從理性及量化的角度來驗證建筑的垂直交通組織數量配置是否合理[2]。學校屬公共事業類，查閱文獻得到我國對于這三項指標具體要求見表1[3]。

表1中平均候梯時間（INT），即電梯到達的平均間隔，由于電梯的到達間隔時間也是一個隨機數，所以取其平均表示，單位：人/min。5 min載客率（CE）為5 min期間電梯最大的運送能力與全樓全部人員的比值。

平均行程時間（PNT）是指乘客自電梯關門啟程起到運行到目的地的路程時間的統計平均值 [4]。

1.2 數據計算與分析

此次探究收集西南民族大學教學樓電梯運行的數據，記錄了電梯運行周期數n，電梯第i次運行周期內乘客到達數，候梯隊長，最長候梯時間，進入電梯人數，電梯行程時間，以及整棟教學樓上課人數Q。根據所記錄的數據，下面對表1中的3項指標進行分析。

在電梯實際運行過程中，只有3～6樓的師生乘坐電梯，近似可認為電梯平均行程時間，即為電梯運行至4.5樓的時間，則有：

由計算公式

其中L為電梯臺數，為單梯往返一周的時間。在實際電梯使用過程中，乘客是不間斷到來的，則可近似認為=Wi，于是

對5 min載客率CE，則取每一組數據內，5 min內進入電梯最多人數之和與全樓全部人員的比值，即

其中t=0時，即為5 min進入電梯最多人數的起始時刻。

將記錄所得的數據代入上述計算過程，得到的結果見表2、表3和表4。

根據表2、表3、表4的數據對比，發現西南民族大學教學樓電梯均存在交通運力不足的問題，在實際使用中不足以應付高峰期的人流量。平均行程時間（PNT）主要取決于轎廂速度、樓層高度及建筑物的服務層數，增加電梯臺數并不能降低平均行程時間。而5 min載客率（CE）和平均候梯時間（INT），則可以通過增加電梯數量從而提高電梯交通服務質量。

2 電梯載客排隊分析

在電梯運送乘客過程中，待乘梯旅客和電梯組成一個多服務臺等待制排隊模型M/M/L[5]，其主要包括乘客到達過程、排隊規則、客梯這3個基本組成部分。

2.1乘客到達過程

驗證乘客到達時間只與時間區間長度有關，不相交的時間區間內到達乘梯處的乘客是獨立的，并且乘客到達是一個隨機動態過程。

2.2排隊規則

驗證乘客以先到先服務規則接受服務，且為等待制[6]，乘客可根據客梯的排隊情況選擇較短的隊列接受服務。若乘客到達乘梯處時，有空閑客梯則可直接接受乘梯，服務結束后離開客梯;若乘客到達乘梯處時沒有空閑電梯，即所有客梯都在服務中，則乘客需要排隊等候服務，直至有空閑客梯時接受服務。

2.3客梯服務機構

客梯的服務時間為確定型，其概率分布服從負指數分布。

3教學樓客梯數量優化模型

電梯排隊系統到達分布若符合泊松分布規律，旅客到達的時間間隔t，服從負指數分布，其概率密度函數為

其中b為乘客到達率，表示單位時間內來到服務系統的平均乘客數。

其中 L為服務站的電梯轎廂數，m為平均服務率。r為服務站中單部電梯服務強度，是服務站排隊系統的電梯服務強度，表示系統輸入與系統服務能力之間的關系。當時，所有狀態為正常返狀態，此時存在平穩分布;當時，所有狀態均為瞬態。因此根據文獻可知[7]，當時，M/M/L系統存在平穩解。因此，當時， 模型的特征指標如下[8]。

4 模型求解與結果

4.1 驗證乘客到達的統計分布

一般情況下，乘客到達屬離散型分布，根據以往經驗常采用泊松分布來擬合[9]。但對于電梯乘客到達是否遵循泊松分布，現有文獻缺少實際到達觀測數據的實證研究。對此，首先對各教學樓電梯排隊乘客到達進行實地記錄數據，并對排隊乘客到達的規律進行研究，運用非參數檢驗方法檢驗旅客到達的統計分布特性。以2021年5月各教學樓電梯排隊情況為例，在上課時間前20 min時間段內單位時間的評論到達人數及其頻數，具體數據如表5所示。

基于表5數據，運用柯爾莫哥洛夫-斯米洛夫檢驗方法（Kolmogorov-Smirnov，K-S檢驗），利用SPSS軟件分析，對驗證教學樓電梯排隊人數是否服從泊松分布進行檢驗，計算得出泊松檢驗參數雙尾漸近概率值，大于0.05，沒有呈現顯著性，即可以認為電梯排隊乘客到達服從泊松分布[10]。

4.2 教學樓電梯數量優化的計算

根據以上的分析，以單位時間內能夠被服務完成的平均乘客數μ、客梯數量L和單位時間內乘客到達數量為輸入值，模型的計算值為客梯系統服務強度、乘客等待概率P、乘客乘梯排隊等待時間和隊列長度。

需要測試的模型參數包括驗證檢票區單位時間內平均到達旅客數量、電梯載客數量m、平均服務率。各項參數的具體確定方法如下。

對單位時間內平均到達旅客數量。在教學樓上課前20分鐘時段進行實地考察記錄數據，則

對電梯載客數n，對電梯參數配置的調查，查閱到客梯的載客數m=13。

對平均服務率，即單位時間內能夠被服務完成的平均顧客數，有：

其中為電梯往返循環一周平均時間，由于在上課前20 min始終有人排隊，可近似認為，電梯往返一周時間等于乘客最長排隊時間，則

其中n為電梯運行周期數。由（10）式可得

將實地考察記錄所得數據代入（9）和（11），得到平均到達旅客數量、平均服務率，再利用（5）～（8）式，求出模型特征指標。表6為博才樓=5.41030，m=5.0931的M/M/L系統課前20 min時段的計算結果及評價指標。

當前博才樓只有一部電梯，正如表中服務強度超過1，客梯無法滿足需要，導致排隊人數越來越多，等待時間過長，加之課間時間有限，排隊現象嚴重。若增加一臺客梯，則服務強度明顯降低，乘客等待概率減小，等待時間也在合理范圍內（參考公共事業類30～60 s，符合標準），這說明增加一個客梯是合理的，但如果設置3臺客梯，對師生來說沒有必要且會造成浪費[11]。

博學樓雖然有兩臺客梯，但由于教學樓特殊的結構和電梯位置，可以看成是兩個獨立的M/M/L排隊系統，表7為博學樓=5.369 04，m=5.003 27的計算結果和評價指標。

若在博學樓正中間安裝一個客梯，則3個電梯可組成一個M/M/3電梯系統。表8為博學樓=9.851 45，m=5.003 27的M/M/L系統課前20 min時段的計算結果及評價指標。

根據表7和表8，對于博學樓，現有的兩個電梯服務強度超過1，無法滿足師生的需求。增加電梯有兩個方案，一個是在博學樓左右兩棟教學樓各加裝1部客梯，一個是在教學樓中間加裝1部客梯，即對兩個M/M/2和一個M/M/3系統進行比較，從表中各個指標可以看出兩個模型排隊概率均減小，等待時間也都符合國家規定的標準（參考公共事業類30～60 s）。但考慮服務成本的問題，在教學樓中間加裝1部客梯明顯更加合理。

5 結語

基于以上電梯數量優化方法與計算結果，對提高教學樓電梯服務效率提出以下建議。

增加教學樓電梯數量?？紤]在博才樓、博學樓各增設一部電梯，以此減少電梯系統服務強度，減少師生乘梯等待時間。

實行電梯數量彈性控制。根據師生上課人數，將全天分為高峰時段與非高峰時段，在保證電梯服務水平的前提下，實行客梯數量的彈性控制，在保證運輸能力的同時也做到了節約能耗。

優化學校排課方案。盡量將師生上課的教室樓層從低至高安排，且上課人數較多的班級安排在較低層，保證低層數教室得到更多利用，減輕電梯運載壓力。

提高樓梯使用率。合理優化立體交通方式，對于在3層以下上課的師生以及下課后需下行的同學，在無特殊情況下，建議其使用樓梯。

基于實測的數據擬合，驗證了教學樓電梯排隊中的單個服務站乘客到達分布符合泊松分布;運用排隊論理論建立了M/M/L模型，其優化結果可判斷教學樓電梯數量是否合理。通過實例計算，結果表明了該模型具有有效性，基于排隊論方法進行驗證教學樓電梯數量優化配置，可以明顯提高師生在乘梯高峰期使用電梯的效率;對于增設電梯的提議，于學校而言，可以提高對師生的服務質量，體現以學生為本的人文關懷。于師生而言，可以縮短在課間乘梯高峰期的排隊時間，提高出行效率?？尚行暂^高。

參考文獻

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M]. 5版.北京：高等教育出版社， 2018.

[2] 陳芝穎，張南寧.城市醫院的住院樓客梯配置及運營研究——以廣州為例[J].南方建筑，2012（2）： 71-75.

[3] 但嘯天，劉陽.基于運行效率的醫院建筑電梯使用狀況研究——以安徽省立醫院總院為例[J].城市建筑，2020，17（8）：85-88.

[4] 吳化平.基于垂直交通配置性能理論的醫院直梯優化調度[J].中國新技術新產品，2017（18）：127-129.

[5] 鄭波濤，毛曉汶，楊萍茹，等.基于排隊論的災害時人員電梯疏散時間計算[J].安全與環境工程，2019，26（1）：83-86，98.

[6] 付元濤，劉飛陽.基于排隊論的北京某超市收銀系統優化研究[J].中國儲運，2020（12）：90-92.

[7] 徐光輝.隨機服務系統[M] .2版.北京：科學出版社，1988.9

[8] 宋軍遠.基于馬爾可夫網絡排隊論的電梯優化配置方法的研究[D].天津：天津大學，2003.

[9] 肖強.城市出租車合乘匹配理論模型與關鍵技術研究[D].蘭州：蘭州交通大學， 2017.

[10] 顏虹，徐勇勇. 醫學統計學[M].3版. 北京：人民衛生出版社，2017.

[11] 張明聚，張奇朋，高云昊，李鵬飛.基于排隊論的建筑式立體車庫控制策略及汽車電梯配備數量研究[J].長沙理工大學學報：自然科學版，2020，17（3）：79-89.

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