內嚙合弧面凸輪機構壓力角的計算方法

（陜西科技大學 機電工程學院，西安 710021）

0 引言

弧面凸輪機構由于其良好的工作特性，在高速重載的分度機構中廣泛應用，近年來，尤其是在各類食品包裝機械中受到越來越多的重視［1-4］。國內外學者對其運動［5-7］、動力學特性和設計制造等方面進行了廣泛的研究［8-10］。這些研究成果推動了弧面凸輪機構的發展，但均針對外嚙合這一傳動方式，本文提出內嚙合弧面凸輪機構這一新的傳動形式。

雖然內嚙合和外嚙合空間曲面嚙合理論相同，針對外嚙合情況下機構的建模［11］、壓力角［12］、凸輪曲線設計等多個方面已取得了一些研究成果［13］，但內嚙合時上述這些方面均會發生變化。由于壓力角是影響機構運動特性和受力情況的重要參數，本文以多年來課題組對弧面凸輪機構的研究為基礎，以內嚙合弧面凸輪機構為研究對象，利用空間坐標系回轉張量變換的方法，建立了內嚙合時壓力角的計算公式，并分析了壓力角的影響因素，完善了弧面凸輪機構的設計理論。

1 凸輪輪廓曲面方程

內嚙合弧面凸輪機構由弧面凸輪、從動盤和向內輻射的滾子組成。相比于外嚙合形式，其結構更加緊湊，分度數更多。

1.1 建立坐標系

建立空間坐標系，如圖1所示。4個坐標系分別為：固定坐標系o-xyz：z軸與從動盤回轉軸線重合，x軸是凸輪回轉軸與從動盤回轉軸的公垂線，x軸與z軸的交點為原點o，y軸與凸輪回轉軸y1平行。凸輪坐標系o1-x1y1z1與凸輪固結，y1軸為凸輪的回轉軸，原點o1為凸輪曲面的基準點。從動件坐標系o2-x2y2z2與從動盤固結，原點o2與o重合，z2為從動盤回轉軸，x2軸與從動盤回轉臂中心線o2o3重合。滾子坐標系o3-x3y3z3與從動件固結，原點為滾子的基準點o3，x3y3z3分別與x2y2z2平行。

圖1 內嚙合弧面凸輪機構矢量關系圖Fig.1 Vector diagram of the internal meshing globoidal cam mechanism

某一瞬時，凸輪曲面上的K1點與從動盤滾子曲面上的K2點嚙合于固定坐標系上的K點，各矢量關系如圖2所示。凸輪輪廓曲面的幾何形狀矢量函數為，滾子的幾何形狀矢量函數為，滾子中心o3在從動件坐標系中的位置矢量為，其中 i=［1，0，0］T，lf為從動盤回轉半徑。在固定坐標系中，R1、R2分別是嚙合點K相對于o1、o2點的位置矢量，C為中心距矢量，分別表示為：， 三者之間的關系為：

1.2 凸輪輪廓曲面方程

利用回轉變換張量［14］，將 Rc、Rf轉換為固定坐標系中的矢量R1、R2，即可得到凸輪曲面矢量方程：

式中 θ1——凸輪在凸輪坐標系中的角位移；

θ2——從動盤在從動件坐標系中的角位移。

根據空間曲面嚙合條件［14］：

式中 n ——兩曲面在K點處的公共法矢量，

V21——K點在公切面上的相對滑動速度；

由此可求得內嚙合弧面凸輪輪廓曲面方程組：

圓柱滾子坐標參數如圖2所示。δf表示母線方向參數，這里指滾子寬度的一半。βf表示圓周方向參數。rf表示滾子半徑。

圖2 圓柱滾子坐標參數圖Fig.2 Coordinate parameter diagram of cylindrical roller

在滾子坐標系中，滾子曲面矢量Rf和法向單位矢量nf分別表示如下。

結果顯示，βf與滾子半徑rf無關。

因此，圓柱滾子內嚙合弧面凸輪輪廓曲面矢量函數為：

2 壓力角的計算

2.1 壓力角的計算公式

內嚙合弧面凸輪機構的壓力角α，如圖3所示，是指從動盤滾子曲面上接觸點K2處所受的驅動力方向（-nf）與該點速度方向（tf）之間所夾的銳角。把從動曲面在接觸點處法線方向的反方向作為凸輪驅動力的方向，接觸點處的法線方向為nf，它與K2點處滾子矢量函數Rf的方向一致；忽略摩擦力，取滾子中心o3的速度方向作為接觸點處的速度方向tf，可得內嚙合弧面凸輪機構的壓力角α為：

圖3 壓力角Fig.3 Pressure angle

2.2 凸輪幾何尺寸與壓力角的關系

凸輪基圓半徑與壓力角的關系見下式，凸輪節圓輪廓各點的壓力角近似為：

式中 V2——從動件運動規律的無因次化速度；

R1——凸輪基圓半徑，mm；

φ2——從動盤的分度角；

φ1——凸輪動程角。

凸輪基圓半徑與中心距的關系如圖4所示。

圖4 凸輪基圓半徑的確定Fig.4 Base circle radius of cam

式中 B ——凸輪寬度，mm。

3 壓力角的影響因素

從式（12）和式（13）可以看出，凸輪機構壓力角與中心距c、從動盤回轉半徑lf、滾子寬度的一半δf、從動盤角位移 θ2、凸輪基圓半徑及凸輪和從動件的運動規律有關。以某一包裝機械分度盤的凸輪分割器為例，凸輪勻速轉動，從動盤作正弦加速度運動，分度數24，中心距100 mm，從動盤回轉半徑145 mm，滾子寬度11 mm，分度角7.5°，凸輪動程角42°，上述各參數代入式（12）和式（13），從動件運動規律以無因次化形式代入。

機構壓力角變化趨勢如圖5所示。

圖5 不同時刻機構的壓力角Fig.5 Pressure angle of the mechanism at different time

任意時刻，從動件上的機構壓力角隨凸輪轉角的變化而變化，呈對稱分布，最大壓力角出現在T=0.5時刻，兩種計算方法的最大值分別為50.38和50.96，結果相近。

下面分析上述各因素對壓力角的影響［14-15］。滾子相關尺寸的選擇參照凸輪隨動器尺寸。

滾子寬度分別為 8、9、11、12、14 時，機構壓力角的最大值分別為 50.26、50.3、50.38、50.41、50.49，如圖6所示，隨滾子寬度增大，壓力角略有增加，影響甚小。

圖6 滾子寬度對壓力角的影響Fig.6 Influence of roller width on pressure angle

當取滾子寬度11 mm，圖7顯示了滾子寬度不變，不同嚙合點時壓力角的變化規律。相對于凸輪轉角，壓力角仍呈對稱分布，最大壓力角仍發生在T=0.5時刻，沿滾子母線方向看，越靠近滾子頂端，壓力角越小，越靠近滾子根部，壓力角越大，這是由于在實際嚙合過程中，接觸線在圓柱滾子表面是一曲線，各嚙合點處δf不同，壓力角也不同。

圖7 嚙合點對壓力角的影響Fig.7 Influence of meshing point on pressure angle

當分度數不變，滾子直徑df分別選取13、16、19、22時，同時增大從動盤節圓半徑，節圓半徑對壓力角的影響如圖8所示。隨滾子半徑增加，壓力角最大值分別為：45.79、48.42、50.39、51.91，即從動盤回轉半徑越大，壓力角越大；從上述分析可以看出，隨機構尺寸的增加，壓力角略有增大，機構尺寸越小，影響越明顯。

圖8 節圓半徑對壓力角的影響Fig.8 Influence of pitch radius on pressure angle

中心距與機構壓力角的關系，單由式（12）可得，中心距越大，壓力角越小，如圖9（a）實線所示。但由式（13）和式（14）可得，中心距越大，基圓半徑越小，壓力角越大，如圖9（a）虛線所示。綜合（12）～（14）式，可以看出，中心距的變化所引起凸輪基圓半徑的變化對壓力角的影響，遠大于中心距變化本身對壓力角的影響，因此，中心距越小，基圓半徑越大，壓力角越小。將原機構中中心距100分別減小為95和90，壓力角的最大值分別減小到47.77和44.88，結果如圖9（b）所示。

圖9 中心距對壓力角的影響Fig.9 Influence of center distance on pressure angle

由壓力角的計算公式可以看出，從動件運動規律的選擇會影響壓力角的大小，圖10所示為選擇5種不同運動規律時機構壓力角的大小。5種運動規律按照壓力角的最大值從大到小分別為：正弦加速度運動規律50.38，5次多項式運動規律48.55，修正正弦運動規律46.74，余弦加速度運動規律43.49，修正等速運動規律38.71。由此可以看出，從動件運動規律對壓力角的影響明顯。

圖10 從動件運動規律對壓力角的影響Fig.10 Influence of follower motion law on pressure angle

綜合上述各影響因素，中心距和從動件運動規律對壓力角的影響最為明顯，減小中心距，取c=90，低速重載的場合，選擇修正等速運動規律；中、高速，負載不明的場合，選擇修正正弦運動規律；調整后的機構壓力角分別減小到41.22和33.58，見圖11所示。

圖11 調整后機構的壓力角Fig.11 Pressure angle of the mechanism after adjustment

4 結論

通過空間曲面嚙合原理，得到了內嚙合弧面凸輪機構壓力角的計算方法和影響因素。結果表明：

（1）中心距、凸輪基圓半徑、從動件運動規律對機構壓力角影響較大，從動盤回轉半徑、滾子形狀和尺寸、嚙合點位置變化對壓力角影響較小。

（2）中心距越小，基圓半徑越大，壓力角越小。這一點與外嚙合不同，說明內嚙合弧面凸輪機構結構更加緊湊。

（3）從動件選擇修正等速、修正正弦運動規律均比正弦運動規律時壓力角更小，根據使用場合，選擇恰當的運動規律設計凸輪輪廓可有效減小機構壓力角。

參數調整后，機構的壓力角明顯減小。該研究結果為弧面分度凸輪設計提供了參考依據，具有實際的工程意義。