數學習題課中的教學實效

李金亮

教學實效是通過學生課堂的學習情況來衡量的，在數學習題課中最能體現教學實效，數學習題課是通過習題為載體對數學知識、數學方法、數學思想的一個有效整合，通過有效整合有時會產生知識和方法的創新。習題課中教師引導得恰當的話將會成為學生大展“數學拳腳”的舞臺，學生的數學能力將得到有效的鍛煉和體現，下面教學案例是我的一節習題課教學片段。

例? 在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個乒乓球;第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按右圖所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數，則???? ;????? （答案用n表示）

（大部分學生能讀懂題目的意思，少數學生讀題目的理解存在困難，但通過稍加提示能理解）

教師：第1堆有1個，第2堆有（1+2）+1個，第3堆有（1+2+3）+（1+2）+1個，以此類推，第n堆的乒乓球數請同學們在草稿本上試著表示。

（老師巡視，讓以學生把結果寫在黑板上）

第n堆的乒乓球數為（1+2+…+n）+（1+2+…+n-1）+…+（1+2）+1個

教師：通過這個式子我們想到等差數列{n}的前n項和公式 =n（n+1）/2，第一堆有個，第二堆有+個，…… ，第n堆有++…+個 ，我們先解決? ++…+的表達式， ++…+，下面請同學們把這個式子進行化簡，三分鐘后教師和學生一起在黑板上寫出化簡過程

[1*（1+1）+2（2+1）+…+n*（n+1）]/2

= [（1+2+…+n）+（12+22+?? +32+…+n2）]/2，

又因為12+22+ +32+…+n2=n（n+1）（2n+1） /6（上節課已推導），

于是[n（n+1）/2+ n（n+1）（2n+1） /6] /2，

=n（n+1）（n+2） /6.

本題答案10，n（n+1）（n+2） /6.

就上述的解題教學對于中等以上學生，除了上述的基本收獲外，教師還可以創造性地設置學生數學素養提升的平臺，引導學生的創造性發現。 對上面的解題教學我又作了如下設計：

教師：我們的工作不僅僅停留在對問題的解決上，同學們可以嘗試一下對此類問題作出推廣。

（此言一出，學生們頓時產生了困惑）

教師：我們一起來對問題做一下推廣：對自然列= n ， 記{}的前n項和為，把看成一個數列的通項，得到一個新數列{}，記{}的前n項和為，又把看成一個新數列的通項，記{}的前n項和為，……，以此類推有（k =1、2、3、……），

在學生學習過程中成功和失敗的期望可以表現為一個任務有多種不同的價值要求，教師要為學生開放的能力提供一整套可修改的辦法 ，應該向學生解釋，不是所有學生都能學好這些能力，但每個學生能至少學好某一能力[1]，這樣會增強學生的學習積極性，以至在整個教學過程中不同層次學生對數學學習都有所收獲。

下面我引領學生一起來設法求出的表達式

分析問題

= n ，? = n（n+1）/2，

于是= ++…+

= n（n+1）（n+2） /6 （前面已求），

觀察= n（n+1）/2=，= n（n+1）（n+2） /6=，

（能夠觀察出這一點是問題解決的關鍵）

所以有==+++…+，

于是我們可以猜想

如果=+++…+ 成成立，

就有==n（n+1）（n+2）（n+3） /4！，

如果=+++…+ ① 成立，

就有==n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4） /5！

=（n+4）！ /5！（n-1）！，

更一般地，如果=+++…+成了，

就有=（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！.

對問題的解決關鍵要證明①式成立，現證如下：

證明：∵+=（組合數公式）

∴+++…+

=+++…+

=++…+

……

=+=，

∴=+++…+成立.

于是==（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！ （k=1、2、3、……）。

之后我對學生們說此問題的解決可以看作是一個創造性的發現，并讓學生們給取一個名字。通過學生們的討論與評選，最后確定了的名字——廣義前n項和，于是我們象數學家一樣得到了數學上新的東西，具體如下：

廣義前n項和：對自然列= n? 記{}的前n項和為，把看成一個數列的通項，得到一個新數列{}，記{}的前n項和為，又把看成一個新數列的通項，記{}的前n項和為，……，以此類推有（k=1、2、3、……），就被稱為廣義前n項和，且==（n+k）！ /（k+1）！（n-1）！ （k=1、2、3、……）。

在教學過程中這一創造性發現是圍繞學生主體進行的，每一步的推導是以學生思維的啟發為動力，教師只起一個導向的作用，現代教學論認為，在教學過程中，教師要引導學生的思維，就像螞蟻吃蘋果，如果他只在外面，總覺得光溜溜的，沒味道，一旦咬開一個洞進去，就越啃越有味道了，教師在課堂中的作用就是要引導學生“咬開一個洞”，讓學生鉆進去。學生鉆進去固然會體會到數學的甜與美，產生了對數學的情懷[2]。

參考文獻

[1] Jo Boaler， Stanford University. “Opening Our Ideas”： How a detracked mathematics approach promoted respect， responsibility， and high achievement. [M] In Theory into Practice， Winter 2006， Vol. 45， No. 1

[2] 張思明.用心做教育 [M]. 高等教育出版社出版. 2005.8.1

2036501705297