例析特值法在數學解題教學中的應用

浙江省海寧市丁橋中學 (314400) 許 佳 陳振鋒

英國數學家懷特海認為：“數學的本質是不斷地拋棄較特殊的概念，尋求較一般的概念；拋棄特殊的方法，尋求一般的方法．”確實，從認識論的角度而言，數學的本質就是尋找“多”中之“一”，以最為普遍和一般的方式來解決一系列特殊問題．然而，我們在解決實際問題時，常常可以反其道而行之，即通過考察問題的特殊情況，來獲得一般性的結論，這種方法我們稱之為特值法．

1.特值法的邏輯依據

特值法并不是某種變相的“猜測”，它有著嚴格的邏輯依據，這個邏輯依據我們可以用形式邏輯的三段論來表述：如果一個普遍性問題的解是唯一的(大前提)，那么，一旦得出其中的某一特殊解(小前提)，則這一特殊解也必然是一般解(結論)．用數學語言表述為：對一個只有唯一解的普遍性問題Q，表示為Q{a1,a2,…,an}．如果Q(ak)=m,且ak∈{a1,a2,…,an}，則Q{a1,a2,…,an}=m．

由此可見，特值法最為嚴謹的應用是在選擇題，因為數學單項選擇題的唯一解，這正好符合特值法的邏輯大前提．另外，從嚴格意義上來說，填空題未必完全符合這一邏輯大前提，但由于數學填空題本身出題的特殊性，我們依然有可能幫助學生學會如何判斷出這一問題是否適合使用特值法，并以最高效的方式解決難題．

二、特值法中的數學思維

我們必須承認，特值法確實存在忽視解題過程的問題，有礙于提高學生演繹推理的思維能力．但是，數學思維并不僅僅是演繹，它實際上還包括歸納思維、創造力思維、極限思維等等，而特值法對于提升這些思維能力極有幫助．

例1 如圖1，已知△ABC∽△DEF，相似比為

圖1 圖2 圖3

分析：本題為解我校中考模擬卷的一道選擇題．通過審題我們會發現，本題中的兩個三角形雖然形狀和大小已經確定，但它們的位置關系卻存在著相對的任意性，即只需符合EF∥BC即可. 由此可見，這顯然是一個具有唯一解的普遍性問題，我們可以通過調整兩個三角形的位置來尋求特殊解．

評注：本題中，許多學生因看到△DEF在△ABC的左側，便沒有想到可以把△DEF放到△ABC的下方，并且還可以將D點取在BC的中點位置．另外，在教學過程中，筆者驚奇地發現，有些學生竟然找到了一種更為特殊的圖形結構，并且其解題過程遠比圖2簡單，如圖3．此時的EF和BC不再是平行，而是重合．可見，有些學生已經開始具備良好的極限思維，因為從極限的角度來說，我們確實可以把重合理解為一種特殊的平行，故而這種解法依然成立．

例2 如圖4，點O為直線AB外一定點，點P線段AB上一動點，在直線OP右側作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，當點P從點A運動到點B時，點Q運動的路徑長是.

圖4 圖5 圖6

評注：此題的教學過程中，筆者依然看到不少學生展現出良好的極限思維．可選擇將O點與A點重合如圖6，快捷的方式求出答案．

三、特值法解題的一般步驟

有些教師認為，特值法走了太多的捷徑，如果在平時的練習中過多使用特值法，學生的演繹推理能力便得不到很好的培養. 對于這一點，筆者是極為認同的．但是，需要強調的是，要正確有效地使用特值法，對學生來說，并非易事．因為特值法中蘊含的是歸納思維、創造性思維以及極限思維等優良品質．筆者按照特值法的邏輯依據試著總結出運用特值法的一般方法．

(1)判斷

首先需要判斷題目是否符合普遍性，同時還需要判斷是否是唯一解．這種能力的培養必須通過大量的經驗積累才可以獲得，唯有如此，才能建立用特值法解題的意識．

(2)尋找特殊情況

此步驟需要學生找出符合題意的特殊情況．這一點在實際教學過程中是比較困難的．

例3 如圖7，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如圖所示，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為.

圖7

圖8

分析：在本題中，正方形ABCD和正方形PKPF的大小存在著任意性，因此，可通過特殊值求解．如圖8，令正方形ABCD的邊長等于8，正方形PKPF的邊長等于4，則△DEK的面積等于16．

圖9

評注：在此題中，有學生還可能會運用特值法構造出圖9，在這種情況下△DEK的面積等于8．這些學生顯然沒有注意到“點G在線段DK上”也是一個極為重要的條件．尋找特殊情況，必須符合題目的所有條件，一旦忽略了一些看似不重要的條件，就有可能導致錯誤．這一點，恰恰是在特值法教學中特別需要強調的．