巧定“界點”妙討論：導數解答題的破解策略

重慶市璧山中學 (402773) 楊 帆

導數解答題是歷年高考數學中重點考查的數學題型之一，經常作為壓軸題形式出現，其主要特點是思維量大、運算繁瑣、區分度高開.而其求解往往離不開對參數的分類討論，如何巧妙確定分類討論的“界點”，是成功破解導數問題的策略所在.本文結合實例，就常見的幾類巧定“界點”方法加以剖析．

1．巧借二次項系數，妙定討論“界點”

例1 (2021屆“決勝高考”高三新高考八省第一次模擬測試題)已知函數f(x)=lnx+ax(a∈R)．

(1)當a=-2時，求函數f(x)的極值；

評注：涉及的導函數中含有二次三項項，需要對最高項的系數進行分類討論，根據二次項系數是否為0，判斷函數是否為二次函數；由二次項系數的正負，判斷二次函數圖象的開口方向以及相應的特征，從而尋找導的變號零點，為分類討論的“界點”確定定下基調．

2．巧借判別式，妙定討論“界點”

例2 (2019年武漢外國語學校模擬題)已知函數f(x)=(1+ax2)ex-1(a∈R)，其中e為自然對數的底數．

(1)當a≥0時，討論函數f(x)的單調性；

(2)求函數f(x)在區間[0，1]上零點的個數．

解析：(1)f′(x)=(ax2+2ax+1)ex，當a=0時，f′(x)=ex≥0，此時f(x)在R單調遞增；當a>0時，判別式△=4a2-4a.

①當0

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗↘↗

評注：通過對涉及函數進行求導，要判斷導函數是否有零點(或導函數分子能否分解因式)，特別在導函數是二次函數或與二次函數有關的問題時，此時涉及二次方程問題就要結合判別式△與0的大小關系來分析，利用這個關系討論的“界點”進行分類討論．

3．巧借導函數零點，妙定討論“界點”

(1)當a=0時，求函數f(x)的單調減區間；

(2)已知函數f(x)的導函數f′(x)有三個零點x1，x2，x3(x1

列表如下：

x(-∞,-13a)-13a(-13a,13a)+13a(13a,+∞)g′(x)+0-0+g(x)↗極大值↘極小值↗

由于g(x)有三個非零的零點，所以

評注：根據導函數的零點來確定分類討論的“界點”時，一定要在函數的定義域內加以分析．借助導函數的零點劃分對應的函數定義域，既要考慮導函數零點是否在定義域內，還要考查多個零點的大小問題，如果多個零點的大小關系無法確定，也需要進行分類討論．

實際上，分類討論破解導數問題中，“界點”的確定變化多端，只有抓住這幾類常見類型，靈活多變，合理轉化，綜合運用分類討論思想，巧妙通過導數求解函數的單調區間、參數范圍、極值、最值以及恒成立等才能將問題順利求解．