淺析對數函數的數學價值*

湖南科技大學數學與計算科學學院 (411201) 易娓娓 陳佘喜

新修訂的 《普通高中數學課程標準》 明確提出了要通過數學教學，發展學生數學學科的核心素養，要不斷引領學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化和審美價值[1].教師在傳授知識和技能的過程中，應該注重知識性、趣味性和思想性的統一，將科學素質教育與人文素質教育有機融合，提高教學的實效性.對數函數是建立在對數基礎之上的一類重要的基本初等函數，也是中學數學中函數教學的難點之一.本文試圖從科學價值、應用價值、文化和審美價值等方面就對數函數的數學價值做一個簡單的分析，使學生感悟對數函數的數學價值，并希望在使學生理解對數與對數函數的概念、把握對數函數的本質的同時，學生的數學核心素養也能得到發展.

1.對數函數的科學價值

恩格斯認為“數學是研究現實世界中數量關系與空間形式的一門科學”.數學科學不僅推動人們更深入地認識客觀世界的變化規律，也是人類智慧的一種表達方式.現代數學的知識體系是用公理化方法和邏輯構建起來的，其重要概念都是通過抽象客觀事物在數量關系和空間形式上的本質特征進行概括，采用形式化的符號語言來表述的.

對數函數的定義式y=logax(a>0且a≠1) 表明該函數的變化規律是因變量y總與以a為底的自變量x的對數相對應.這是繼一次函數、一元一次方程、指數函數等概念之后的又一個形式化的定義.對于初學者而言，困難之處在于對數函數的定義式并非是由他們所熟悉的四則運算或冪運算來表達的，因而往往對于“函數y=2log4x是否為對數函數”這類問題的回答莫衷一是.但是，教師在教學過程中，可以引導學生注意到“y=2log4x=log2x”及函數相等的定義，就能夠作出“y是x的以2為底的對數函數”的正確判斷.通過這一的問題討論，揭示了對數函數定義的形式表達式的含義.這不僅有助于學生進一步深刻理解函數的概念，而且對于學生學習后繼的幾個形式化定義的三角函數的概念，以及進一步學習高等數學中的更深刻的形式化或公理化定義(如極限、向量空間等)也有幫助.

對數函數所涉及的對數運算，不僅對數據的處理帶來了很大幫助，而且可以簡化復雜的乘法與除法運算，體現了將問題轉化的數學思想.例如，對于幾何數列{an}(a>0且a≠1) 與其指數所對應的算術數列{n}，幾何數列中任意兩項的乘積所得的項的指數恰是這兩項的指數之和，即這兩項所對應的算術數列中的兩項之和，也就是說，幾何數列{an}中的乘法運算可以轉化為算術數列{n}中的加法運算，即對數的加法.事實上，正是受上述想法的啟發，蘇格蘭數學家納皮爾與瑞士數學家比爾吉在十七世紀初各自獨立地發明了對數.對數的發明，使得一個很大的數可以縮小為它的對數來處理，將兩個數的乘法運算通過對數轉化為加法運算，這樣就方便了計算并減少錯誤[2].

對數函數在高中教科書中是作為指數函數的反函數來學習的，靈活運用一個函數與其反函數的圖象關于直線y=x對稱的性質，有助于培養學生思維的靈活性，領會數形結合的思想方法.例如，設方程2x+x-3=0的根為a，方程log2x+x-3=0的根為b，求a+b的值.為此，我們將兩個方程分別變形為2x=-x+3與log2x=-x+3，就容易知道a是曲線y=2x與直線y=-x+3的交點A的橫坐標，b是曲線y=log2x與直線y=-x+3的交點B的橫坐標.根據同底的指數函數與對數函數的圖像關于直線y=x是對稱的，以及直線y=-x+3的圖像也關于直線y=x是對稱的，就得知A、B兩點關于直線y=x一定對稱，進而可求出A、B兩點的坐標，使問題得到解決.

2.對數函數的應用價值

廣泛的應用性是數學學科的一大特點.馬克思曾說“一門科學只有成功地應用了數學時，才算真正達到了完善的地步”，我國著名的數學家華羅庚也曾指出“世間萬物，大到宇宙小到每一粒塵埃，無處沒有數學的貢獻”.了解數學知識的應用價值，也可以引起學生學習數學的濃厚興趣，激發他們學習的積極性.

在歷史上，對數的發明幫助天文學家解決了復雜的計算問題，正是因為這一巨大優點，對數自發明以后就被迅速流傳開來，并在當今現代科學的各個分支中仍然有著重要的應用.大家熟知的衡量化學物質酸堿度的PH值，就是基于對數性質設計的一種對數標度，譬如某兩種物質的PH值相差3，那么它們實際的酸堿程度要相差103倍.類似地，還有測量地震強度的里氏震級、聲音強度的分貝等.此外，在生物學科上，種群的增長曲線中時間與種群前后增長倍數也能夠用對數函數來刻畫.一般地，當人們需要評估某個量相對于另一些量的變化率時，常常用到對數函數來建立數學模型，如回歸分析中的各種對數模型.應用對數可以保持數據的性質和相關關系，并使之變化幅度縮小而更加平穩.

在對數函數的教學中，教師應當引導學生善于從實際問題中抽象出其在數學上的本質特征，利用對數建立相應的數學模型以解決實際問題.這不僅能使學生深刻體會對數的應用價值，也對培養學生的抽象概括能力和建模能力都至關重要.高中教科書中介紹了考古學家判斷文物年代的碳14法，即根據文物中碳14的含量來判斷文物的年代，而文物中碳14的含量與文物的年代這兩組量之間的關系就是一個對數表達式.類似地，在銀行復利計算中，當本金為A、年利率為r時，那么本息和為B時所需要的年限則為n=(lnB-lnA)/ln(1+r)；又如，也可以要學生考慮這樣的問題：某種細胞每一刻鐘分裂一次，個數增加為原來的兩倍，問20個細胞要繁殖為100萬個以上，大約需要多少時間？通過對這樣一些簡單問題建立對數函數模型或利用對數來求解數學模型的練習，將實際問題中的數量關系及其變化規律簡化為數學表達式來描述，有助于逐步培養學生運用數學思想方法和數學知識解決實際問題的能力.

3.對數函數的文化與審美價值

數學與人類文明的進步具有密切的聯系，也是推動人類社會發展的動力之一.數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發展[3].數學美是數學文化的一個重要方面，教師在教學中引導學生學會欣賞數學美，不僅有助于他們掌握數學的概念、定理、公式等基礎知識，而且有助于培養和提高他們的數學素養.

對數的運算公式體現了數學符號的抽象美.如logaab=b可以刻畫幾何數列{an}與算術數列{n}之間的對應關系，而loga(AB)=logaA+logaB則可以刻畫這兩個數列運算之間的聯系，即將{an}中任意兩數的乘法運算歸結為它們在{n}中的對數的加法運算.符號log則簡潔地表達了這種聯系，并透過公式嚴謹的形式結構，揭示了對數的本質意義.

自然界中各種各樣的對稱圖案，總是引人入勝，讓人情不自禁贊嘆大自然的美.數學中的對稱圖形，也是數學美的重要體現.對數函數的圖象也體現了某種對稱美.當然，一個對數函數的圖像，不像偶函數或者奇函數的圖像那樣本身具有對稱的特點，但是，認識到一個對數函數與其它某個函數之間的圖像具有對稱關系，學生則能夠在理解知識間聯系的同時，體會到數學的對稱美.例如，同底的對數函數與指數函數的圖像關于直線y=x對稱，底互為倒數的兩個對數函數的圖像關于x軸對稱.而且，當底數變化時，雖然它們各自的圖像也發生變化，但是圖像間的對稱關系并不改變，也就是說，函數圖像之間的這種對稱關系在底數的變化下保持不變.

總之，在實際的教學過程中，教師要善于挖掘教材中的文化元素，注意滲透數學文化，讓學生在學習知識的過程中體會數學的文化價值，增強學生的數學文化底蘊.這對于學生數學價值觀的逐步形成，以及不斷發展學生的數學核心素養是有促進作用的.