基于數學核心素養的高中數學建模活動研究

李喜明 王驍力 李桂超 段運鵬 廖 寧 李 爽 仝文放

（1.南陽市第二中學校，河南 南陽 473055；2.南陽師范學院 數學與統計學院，河南 南陽 473061）

數學核心素養是學生在數學學習過程中形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。具體而言，就是學生運用所學的數學知識和已經形成的數學思維去發現、分析和解決問題，進而使自己和社會受益的能力。為了達到這個目標，《普通高中數學課程標準（2017 版）》確定了高中階段的數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析［1］。這些數學核心素養既相對獨立，又相互交融，是一個有機整體。數學建模是對現實問題進行數學抽象，旨在用數學語言表述問題，用數學方法構造模型解決問題。數學建模是六個核心素養的樞紐，它把這些核心素養有機結合到一起，并且能夠有效地組織、發展和檢驗其他五個核心素養。中學生數學建模問題近年來受到了教育界的廣泛關注，許多學者就高中數學建模能力培養的相關問題進行了研究探討和實踐。呂世虎等人指出在高中數學課程改革實踐中數學建模活動沒有得到落實，提出對數學建模活動專門設置課時、組織活動和評價的具體要求等相關應對措施［2］。陳泳通過對比最近兩個版本的高中數學課程標準，發現2017 版的新課標在課程理念上更重視數學建模，在課程內容上更重視數學建模活動［3］。劉丹以函數的應用為例研究并實踐了在高中數學課堂教學中開展數學建模活動的教學思路和教學方法［4］。張思明提供了豐富的中學數學建模素材和案例，并且生動地展現了中學教師如何做好中學數學建模，使得學生創新精神和實踐能力的提升有了一個真實的可操作、可展現的平臺［5］。

針對部分高中生數學學習興趣不高的現狀，河南省南陽市第二中學校以組織數學建模活動作為突破口，通過課內和課外兩種數學建模活動的有機結合，極大地激發了學生學習數學的興趣，增強了學生應用數學的意識和解決問題的能力；并用實際案例分析了課內、課外的實際數學建模教學活動，然后探討了數學建模活動對高中數學教學的啟示。

一、結合常規教學的課內數學建模案例研究

在中學開展數學建模活動的目標，是讓學生在深刻理解中學數學知識基礎上培養學生應用數學解決問題的能力，使得學生能夠用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言描述世界，從而提升學生的數學核心素養。高中數學教師則要善于利用現有教材，在課堂教學中恰當地選取生活實際案例作為數學建模的切入點，引導學生建立數學模型，達到解決問題的目的。下面以學生小明患病治療過程中所遇到的一個問題為例來進行分析。

學生小明因患某種疾病住院治療，經專家會診決定采用針劑類藥物M。該針劑類藥物可以瞬間提升血液中的藥物濃度。在給藥之后，血液中的藥物漸漸被人體吸收，濃度逐漸降低，低于藥物的有效濃度之后就需要再次給藥。這樣一來，就需要醫院制定一個給藥時間間隔和每次給藥劑量的設計。這個問題可以拆分成兩個子問題分別在不同的教學章節中引入。

（一）子問題1

1.問題提出

醫院向小明注射了藥物M，在時刻t=0 時，他血液中的藥物濃度為c0(mg/L)。已知經過T 小時后，他血液中的殘留藥物濃度c0e-KT(mg/L)，此時再次注射藥物。假設每次注射藥物后，血液中的藥物濃度瞬間上升c0(mg/L)。設R(n)為第n 次注射后血液中的藥物濃度，n ∈N*。請你寫出數列{R(n)}的遞推公式，并計算其通項公式。

2.問題分析

在等比數列的課程教學中，可以把該問題作為實際應用例題。引導學生利用所學的等比數列相關知識進行分析。如果藥劑量過小或給藥時間間隔過長，病人的住院時間沒有被充分用來治療，卻花著住院費，既延誤了病情，又浪費了金錢；如果藥劑量過大或給藥時間間隔過小，則會造成血液中的藥物堆積，當藥物濃度高出人體所能承受的安全濃度時便會產生副作用。為了制定一個最優的給藥時間間隔和每次給藥劑量，需要求出第n 次注射后血液中的藥物濃度。

3.基本假設

（1）給藥方式為針劑注射；

（2）每次給藥后藥物濃度的瞬間提升值C0為定值；

（3）給藥時間間隔為定值T。

4.模型的建立與求解

依題意可知第n+1 次注射后血液中的藥物濃度由第n 次注射后血液中的殘留藥物濃度和第n+1 次注射引起的藥物濃度增加量構成，從而：

記λ=e-kT，則R(n+1)=λR(n)+c0,(n ∈N*)從而：

繼續求解，可得如下通項公式：

在子問題1 數學模型的建立和求解的過程中，引導學生運用等比數列知識來分析和解決問題，借助問題在強化學生對等比數列的理解與掌握的同時，也培養了學生數學建模、數學抽象、邏輯推理和數學運算等素養。

（二）子問題2

1.問題提出

2.問題分析

在數列極限的教學中，可以把子問題2 作為應用實例。教師引導學生采用子問題1 中的方法求出第n 次注射后的血液中藥物濃度R(n)的通項公式后，需要引導學生將數列{R(n)}單調遞增并趨于定值的性質翻譯到具體情景當中，促進學生理解數列的極限反映了注射藥物后的瞬時濃度在后期會無限接近某個水平，從而達到了“穩定狀態”。以此啟發學生明晰思考的方向：從數列{R(n)}的極限出發能夠確定給藥時間間隔和每次給藥劑量。

3.基本假設

基本假設同子問題1。

4.模型的建立與求解

采用子問題1 的方法可以求出第n 次注射后的血液中藥物濃度R(n)的通項公式為：

因此，

式（6）中，H 的實際意義是對于藥物M 人體所能承受的最高安全濃度。

令Q(n)=R(n)e-kT，則，其中L 的實際意義是人體對于藥物M 的最低有效濃度。由

可以解得：

該子問題讓學生通過運用所學的數列極限等知識，再次深刻認識了數學建模過程中的模型建立、模型求解等重要步驟，從而培養了學生用數學語言表達問題、用數學方法建立模型解決問題的數學建模素養。

5.問題拓展

（1）一般老人長期服用或注射某種藥物時，第一次服用或注射的劑量一般會是后面服用劑量的兩倍，為什么要這樣安排呢？

（2）通過采訪你家附近醫院針劑注射方式使用較多的成人科室的醫生，利用課上學習的知識結合某種具體藥物建立數學模型，并且求出在同時考慮病人和醫院利益的情況下每次給藥后藥物濃度的瞬間提升值C0和給藥時間間隔T。在計算過程中需要獨立完成模型的所有細節計算和推導，撰寫并提交一篇研究報告。

（3）前面我們建立數學模型時為了簡化均采用了一室模型，即把人體看成單個同體單元，適用于給藥以后，藥物立即迅速地分布在血液和其他體液組織中，并達到動態平衡的情形。但實際上藥物在體內通常不是一室配置的，而是更多地呈現出二室配置的特點。二室模型假設藥物進入體內后在兩個房室內配置，一個是中央室，另一個是外周室，并假定藥物首先進入中央室，然后再由中央室向外周室轉移。請你進一步推廣你的多階段遞推模型，以研究在三種常見的給藥方式（即快速靜脈注射、恒速靜脈點滴、口服或肌肉注射）下基于二室模型的藥劑量模型，并且分別求出在同時考慮病人和醫院利益的情況下求出每次給藥后藥物濃度的瞬間提升值C0和給藥時間間隔T。

通過引導學生解決這兩個子問題，不但能夠讓學生鞏固和加深對基本初等函數、等比數列、導數、數列極限等高中數學知識的理解，而且使學生初步體驗數學建模的基本過程，最終使學生的數學核心素養得以提升。

二、依托學生社團的課外數學建模案例研究

數學建模社為學生在課外進行數學建模活動提供了一個發展和培養實踐創新能力的良好平臺。在學生的數學建模社團活動中，邀請了校內外教師為學生作數學建模專題講座，帶領學生結合生活實際問題建立數學模型，并撰寫數學建模論文，鼓勵學生組隊參加數學建模競賽。下面以數學建模小組所作的數學建模案例“高校招生考試制度改革中物理學科選考人數較少”為例，以示社團活動所取得的成果。

（一）問題提出

近年來，我國在部分省市開始對高考文理分科考試制度進行改革，以上海市為例，“3+3”新高考方案推行后，物理學科呈現出“問題難，考生少”的現狀，“懼選物理”的情緒普遍存在。

（二）問題分析

在當前高考錄取政策下，追求總分最大化是學生的目標。所以，當學生有選科自由時，他們考慮的重點是該學科成績上升空間和學科試題難度兩個方面。因此，我們分別基于以上兩個主要因素建立數學模型。

（三）基本假設

（1）假設學生每次考試中發揮基本穩定；（2）假設改卷過程中教師對主觀題判斷基本一致。

（四）模型的建立與求解

為研究選考物理人數較少這一反常現象的原因，并為河南省即將迎來的高考改革中可能出現的該類問題探求解決方案，課題組從學生的學科成績和學科試題的難度這兩個因素入手來進行研究。

1.基于學科成績差異的選考傾向分析

課題組調取了南陽市二中在2016 至2019 學年時理科生在市級、省級聯考中的物理、化學成績，據此利用最小二乘法進行線性擬合，得到如下結論。

化學學科的成績波動情況可反映為：

物理學科的成績波動情況可反映為：

由此可見，高中學生三年物理成績相對化學成績來說上升空間較小，整體提升幅度不大。類似把物理和生物、政治、歷史、地理等選考學科分別對比也可以得出類似的結果。因此，學生會選擇容易突破和易取高分的化學等五門學科，這在一定程度上導致物理學科選考人數較少。

2.基于學科試題難度差異的選考傾向分析

對于學生來說，更傾向于選擇難度較小的學科，而盡量規避難度較大的學科。課題組成員利用南陽市普通高三學生2018 年期末和2019 年一摸各科試卷及成績，借鑒鮑建生的試題綜合難度模型［6］，計算出了各學科的綜合難度系數（難度系數最高為1，最低為0）。筆者發現物理學科自身的客觀難度較大，這一現象可能會在學生群體中引發磁吸效應，致使學生更傾向于報考生物、化學等較容易的學科。

（五）模型檢驗

2019 年上海高考小三門選考人數中，地理又一次成為六門小學科中人數最多的學科，生物位居第二，物理依然是選擇人數最少的學科。由于等級考是排名制的，許多學生選擇放棄物理，轉戰其他學科，因此物理學科選擇的人數從2017 年的1.9 萬，降到了2018年的不到1.5萬，2019年再次降至1.2萬，僅占27。52%，這也驗證了所建模型的合理性和適用性。

（六）實踐反思

該課題讓學生通過運用所學的最小二乘估計等知識，解決身邊遇到的選考物理人數較少的問題，不僅加深了對所學知識的理解，而且認識到所學相關知識的實用性，從而掌握了數學建模的基本過程：提出問題、模型假設、模型建立、模型求解、模型檢驗。該課題以研究性學習的形式開展活動［7］，以小組為單位，小組內成員相互配合、分工協作、培養了學生的團隊合作精神［8］。學生通過參與課題活動，培養了數學建模、數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數據分析等六大核心素養。

通過這些社團活動，能夠引導學生發現自己身邊的問題，并利用所學的數學知識對其加以解決，從而激發學生學習數學的興趣，增強學生應用數學的意識，提升其實踐能力，從而促進數學建模等核心素養的形成。

三、數學建模對高中數學教學的啟示

（一）教師要提高自身的建模意識

數學建模實際就是利用所掌握的數學基礎知識，將社會實際問題轉換成數學問題并給出切合實際的解決方法。在此過程中就要使學生學會搜集信息，以更好地掌握和利用一些數學的邏輯思維方法來解決實際問題，從而培養學生的學習興趣，提高其問題意識和解決問題的能力。因此，作為高中數學教師，不僅要掌握扎實的專業知識，更要實時關注生產生活的方方面面以及社會熱點問題，做建模的有心人，提高自身的數學建模意識。教師還需要系統學習和研究數學建模，在課堂教學中適時引入數學建模，運用建模來解決數學問題，切實推動高中數學建模在課堂教學的運用，從而提高學生解決問題的能力。

（二）教師要轉變教學方式

高中數學教師要改變單純講授的教學方式，根據不同的內容采取不同的方法，使教學模式、教學方法靈活多樣，在適當時機可借助課內和課外的數學建模活動，培養學生問題意識、邏輯思維能力和解決問題的能力。教師要學會從知識的傳授者轉向學生學習、發展和提高的促進者，從空間的支配者轉向學生建模活動的引導者、組織者與合作者。教師要能熟練使用和操作計算機，熟悉現代信息和網絡技術，會使用常用的數學建模軟件，能參與小組合作、交流，成為建模小組成員的合作伙伴。

（三）運用數學建模要循序漸進

在中學數學教學中，由于受傳統教育觀念的影響，教師往往采用傳統的教學方法，很少運用數學建模的思想進行教學，且學生在學習過程中也對數學建模知之甚少，這就要求教師在課堂教學中不可能一蹴而就，要針對不同的內容采取不同的方法，使學生逐步掌握數學建模的方法。在教學安排上，作為數學教師在根據教學內容進行建模教學時，要注意由簡單到復雜，使學生逐步掌握數學建模的方法來解決數學問題。另外，教師在運用數學建摸教學時，還要注意引導學生根據遇到的問題，逐一仔細閱讀，從給出的問題條件中搜集和提煉信息，找出與所要解決問題有關的信息，以便運用建模的方法解決問題，在此過程中，逐步培養學生的信息意識和問題意識。

（四）教師要以人為本

高中數學教師要樹立以人為本的教學觀念，根據學生的實際學習能力，提出適當的要求，為學生提供動手、動腦和表達自己想法的機會，提供學數學、做數學、用數學的環境；為學生提供自學實踐的時空，學以致用，從而提高學生的數學建模能力。

課內和課外的實踐活動表明，開展數學建模活動能夠切實有效地改變高中數學教師的教學方法和學生的學習方式，提高學生的學習興趣，從而激發學生自主思考，鍛煉學生應用數學的意識和解決問題能力，最終實現學生數學核心素養的提升。