數學教材中習題的功能及應用策略研究

李佳珈

（上海理工大學，上海 200093）

數學教材是數學教師教學的根本依據與指南，同時也是學生進行數學學習的主要工具。教材中的習題是教材的重要組成部分，在教師的教學過程以及學生的學習過程中具有重要作用。

學生在學習數學的過程中，每接受一種新概念或新知識、新方法，都要通過一定的教學習題訓練來加以鞏固和掌握。然而，在當前的數學教學中，一線教師對習題的重視度還不夠。相當一部分教師對習題的認知較為淺顯，尚未正確理解習題所具有的重要功能與作用，使得在習題教學中存在諸多不足，沒有全面發揮習題的作用以及達到預期的教育教學效果。

一、數學習題的內涵

教材是教學大綱（課程標準）的具體化，是教師教學和學生學習的重要參考及依據，是現實教育教學目標的重要資源。在我國，盡管有不同版本的教材，但是不論何種版本，都是以教學大綱（課程標準）為依據，是眾多專家學者集體智慧的結晶，在一定程度上符合教育教學規律以及學生認知發展階段和順序，具有一定的科學性和規范性。習題是教材的重要組成部分，是為了促進學生對知識的理解、技能的掌握、品德的形成而設置的一系列活動。習題包括練習題、討論題、實踐活動等多種形式。

數學習題，從本質上說是把現實世界的空間形式和數量關系按數學課程標準以及教科書的要求，根據學科特點、心理學、教育學以及學生的認知規律設計的，由易到難、由淺入深、循序漸進的具有科學性和整體性的問題。

二、數學習題的功能

在認真分析人教版初中數學教材后，發現數學習題主要具有以下功能：

（一）鞏固新知、綜合運用

教學中的習題設計與訓練主要目的就是鞏固學生所學的新的基礎知識、基本技能，提升學生的數學思維能力，發展學生智力，培養學生的創新與實踐精神。通過習題的練習可以促進學生對基本知識點的消化、技能的掌握以及思維習慣和品德的形成，從而使題目與概念有機結合起來，形成嚴謹的認知結構，達到數學與實際問題綜合應用的效果。

人教版七年級數學下冊的8.2 節中，有這樣兩道習題［1］：

1.一條船順流航行，每小時行20 km；逆流航行，每小時行16 km。求輪船在靜水中的速度與水的流速。

2.運輸360 噸化肥，裝載了6 節火車車廂與15 輛卡車；運輸440 噸化肥，裝了8 節火車車廂與10 輛卡車，求每輛卡車與每節火車車廂平均各裝多少噸化肥?

這兩道題的解法中，一組未知數前無系數，一組有系數。第一組在求解過程中用代入消元法或加減消元法都可以，都比較簡單；而第二組在求解時學生自然要思考到用加減消元法比較簡便，如果是代入消元法則簡單問題復雜化。學生在完成這兩道題的過程中，不僅鞏固了知識，而且能判斷出用哪種求解方法較簡便。這種習題的設計和安排，無一不顯現出鞏固強化知識、綜合應用實踐的具體功能與作用。

（二）有效滲透數學思想方法

數學思想方法是數學的靈魂，對于它的學習與體會應貫穿整個數學學習過程。教師在課堂上要時刻注重滲透數學思想方法，逐步培養學生的數學思維和品質。培養學生的數學思想方法，需要貫穿于教學的全過程。數學教材習題的設計也貫徹了數學思想方法，需要教師重視。比如下面兩道習題：

1.利用函數圖像求解不等式:

（1）5x-1 ＞2x+5

（2）x-4 ＜3x+1

2.利用函數圖像求解方程組:

這是關于解不等式方程組的問題，與一般題目不同的是，它沒有直接進行計算求解，而是給出要求利用函數圖像來求解，通過畫出所給式子的函數圖像可以一目了然地觀察出所求區域或方程解。這里便體現出數形結合的思想，從函數角度看問題，能發現函數與方程、函數與不等式之間聯系的奧秘。這種用函數思想認識問題的方法，對于后續學習至關重要。另外，有時也會碰到對于一些題目理解困難、毫無思路的情況，這時就應想到數形結合思想，看能否畫個圖來直觀理解題目內涵，也許本身一個晦澀難懂的題目通過圖形就迎刃而解了，其應用可以說相當廣泛。

因此，教師要對教材中的每一道題進行認真分析，揭示和發現每道題目背后的數學思想并加以應用。只要教師善于總結與引導，學生就能不斷鞏固、強化和運用數學思想方法，這對于學生學好數學、培養數學核心素養、提升數學學習能力等方面大有裨益。

（三）診斷反饋與評價

教材中習題設置的一個目的是檢驗學生對所學知識點的掌握情況，也就是所謂的診斷反饋與評價功能。

比如，在學習完有理數加減法法則與方法后，課后有這樣一組練習題［2］：

計算下列式子：

這組題目就是為了迅速檢驗出學生是否已經聽懂有理數加減法法則并能進行準確計算。在檢測過程中，我們就會發現有很多問題，部分學生因接受能力較弱，對法則沒有熟練掌握，使得在遇到“-(-10)”時，會計算為“-(-10)=-10”，而正確運算應該是“-(-10)=10”。這就提醒他們在去括號時要格外注意，是直接去掉括號里邊式子不變，還是去掉時里邊要變號。最容易出錯的就是左括號前后都是負號，一定要記牢解決此問題相應的減法法則：減去一個負數等于加上它的相反數；括號前是加號，則直接去掉括號，里邊不變。學生在做完這幾個題目后，就會知道自己哪方面沒有掌握好，哪個法則應用還有問題，之后做題練習就會有針對性，多做自己薄弱部分的題目，對于已經熟練掌握的部分則不需要再多花精力，讓學習變得高效起來；而教師也能根據學生的完成情況及時得到反饋結果，判斷出自己在哪方面需要再加強講解，讓學生熟練掌握并應用所學知識。

（四）揭示內涵方法、訓練數學思維

數學是一門重視邏輯推理的學科、是培養學生思維能力的學科。學生思維能力的培養，可以在數學習題中得以實現。比如，在人教版數學教材八年級上冊的15.2.1 平方差公式這節中，有下面這個習題：

探究：計算下列多項式的積，你能發現什么規律?

（1）(x+1)(x-1)=x2-x+x-1=x2-1

（2）(m+2)(m-2)=m2-2m+2m-4=m2-4

引導學生觀察思考并推廣到一般情況，歸納總結規律，由此得到平方差公式：

接著給出習題二：

運用平方差公式計算：

（1）(3x+2)(3x-2)

（2）(b+2a)(2a-b)

在習題二的（1）中，可以把3x看成a，2看成b，即：

找到其所對應的規律與方法，便可以輕而易舉地算出結果。

在引例中引導學生尋找題目之間的共通性與互異性，進而嘗試尋出規律，歸納總結，在此過程中培養學生的數學思維能力，與此同時滲透歸納與類比的數學思想方法。

以上分析詳細地介紹了怎樣利用公式進行簡便運算，該把誰看作a、把誰看作b，揭示其中所反映的本質的內涵與方法，那就是分辨清楚，對應正確。對于習題二中的（1）題，直接套用公式很容易；對于（2）題，不能直接套用，因為它顛倒了一下順序，但只要掌握方法，便一通百通。

（五）文化育人

在數學學習中，我們不僅僅學會了應用許多定義、公式、定理，更重要的是，通過求解各式各樣的題目使我們形成了很多受用一生的良好品質，體會到了數學知識的強大以及強烈的民族自豪感。例如：在學習完認識負數后，課后有一個閱讀與思考，講的是有關負數的衍生。材料中講到中國人很早就開始使用負數，在古代商業活動中，以收入為正，支出為負；以盈余為正，虧欠為負。在古代農業活動中，以增產為正，減產為負。在中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章中我們發現，它在世界數學史上首次正式引入負數及其加減法運算法則，書中涉及用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數工具）分別表示正數和負數（紅色為正，黑色為負），并給出名為正負數的算法。通過這些習題，學生知道中國是最早使用負數的國家，我們的祖輩先于其他國民發明了負數，使得在商業活動與農業活動的很多計數方面更便捷、更清晰易懂，學生自然而然地增強了文化自信。

諸如此類的習題可以使學生感受到數學文化與數學史的衍生與發展，從而激發學生的愛國主義思想與民族自豪感。另外，在求解題目時，需要學生開動腦筋，勤于思考，或積極主動向旁人請教，培養他們迎難而上、開拓創新、堅韌不拔的優秀思想品格，最終實現文化育人功能。

三、教師如何利用例題習題實現高效課堂

（一）仔細研究教材，剖析題目本質

很多教師對教材的熟悉程度不夠，對習題的功能與作用認知不明確，使得他們錯誤地認為習題就是單純拿來做練習用的，所以每次講完課本知識點后，就簡單地要求學生完成題目，只注重最終結果，沒有深入分析例題，剖析其本質，挖透其內在意義，這種做法無疑將例題的價值大大壓縮，造成教學資源的浪費，降低了教學效率，也影響了學生的學習質量。

因此，在平時備課中教師就應仔細研讀課本與教學參考資料，注意例題與知識點之間的相互聯系，將它們相互對照，找到它們的結合點。隨著教學經驗的積累，不斷歸納與總結，慢慢實現從“注重解題結果”到“領悟核心內容”再到“掌握知識體系”轉變。

（二）精選題目，培養學生數學能力

教師課堂教學時間和學生接受能力有限，面對課本和各種輔導資料中大量的例題、習題，學生沒有那么多的時間和精力逐一完成。而且，學生自己在做題目訓練時，很容易出現做了很多題目卻收效不大的現象，主要原因是題目針對性不強，或者題型單一等。因而，教師做好題目的選擇與取舍就顯得尤為重要。具體可以采取以下幾種方法：

一是以課本為基石，就近取材。教材是最好的工具書，它最具有權威性，里面所選的題目大都精準且典型，貼近學生實際，具有很強的指導性與針對性。

二是選取有層次性的題目。選擇題目時要盡量做到在難度上逐層深入，由易到難，這樣能更好地幫助學生鞏固所學知識并深化學生對知識的進一步應用，也更利于滿足不同層次學生的需求。

三是選取開放性和多樣性的題目。開放性和多樣性的題目能更好地培養學生的各種數學思維能力。開放性題目則意味著答案可能不統一或者解題方法多樣，有助于培養學生的發散性思維，而題目多樣則有利于培養學生不同的數學能力。

（三）強化講解能力、突出方法指導

對于帶有普遍教育教學意義的習題要進行重點講解。在講解習題的過程中，要注重方法的教授。傳播數學思想和方法，有利于使用有效的教學方式對知識進行整理與歸納。比如：在初中數學例題教學求解不規則圖形的面積講解中，教師可借助數學思想中的轉化與化歸的方法，引導學生將其中的不規則圖形通過切割與補充轉變為規則圖形，進而計算其面積，即割補法教學。同時，不要簡單地就題論題，要注重舉一反三，提煉其中的方法與思想；不要只從正向出發，還應注重逆向思維與正反對比；不能單以講解完題目為結果，還應注重過程反思與評價。

另外，教師講解題目時要重視步驟的完整性。教師要帶頭示范，不能因為某一步驟簡單就省略，而要達到讓每名學生都能聽懂的效果。另外，在講解過程中要引導學生梳理自己的解題步驟，規范解題過程，讓他們養成良好的習慣，進而提高數學素養。

總之，教師要重視習題在教育教學中的功能，在教學過程中不斷提高、積淀，形成自己的教學風格，合理、有效地應用習題，達到教書育人的終極目標。