2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題及其詳解

2021-03-11 06:48:32甘志國

數(shù)理化解題研究 2021年4期

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

基金項(xiàng)目：北京市教育學(xué)會“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”(課題編號：FT2017GD003)

全卷共20道不定項(xiàng)選擇題.以下試題是回憶版，但對準(zhǔn)備參加重點(diǎn)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃考試的讀者仍有重要參考作用.

該試題較其他2020年重點(diǎn)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃的數(shù)學(xué)試題難度都要大.針對下面的試題題號按難度漸升的順序敘述如下：第8題是簡易邏輯問題；第16題是立體幾何中的空間角問題；第1題是求二元函數(shù)的最值；第17題考查函數(shù)的奇偶性；第5,7題是平面解析幾何問題(后者是雙曲線與三角函數(shù)的綜合)；第15題是反三角函數(shù)問題；第2題是平面幾何問題；第9題是平面向量問題；第13題是空間向量問題；第12題是求期望(但涉及無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)的和)；第18題涉及定積分與導(dǎo)數(shù)；第19題是關(guān)于數(shù)列前n項(xiàng)和的新定義問題；第10題是求極限(涉及反三角函數(shù)及不易想到的裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和)；第3題是集合與排列組合的綜合；第4題是遞推數(shù)列問題；第6,14題是初等數(shù)論中的整數(shù)性質(zhì)問題；第11題是概率與整數(shù)性質(zhì)的綜合問題(用枚舉法求解時(shí)情況較多)；第20題是定積分.

一、試題呈現(xiàn)

1.若x2+y2≤1(x,y∈R)，則x2+xy-y2的取值范圍是( ).

2.在非等邊ΔABC中，BC=AC，點(diǎn)O,P分別是ΔABC的外心與內(nèi)心.若點(diǎn)D在邊BC上且OD⊥BP，則下列選項(xiàng)正確的是( ).

A.B,D,O,P四點(diǎn)共圓 B.OD∥AC

C.OD∥ABD.DP∥AC

3.若A,B,C?{1,2,3,…,2020},A?C,B?C，則有序集合組(A,B,C)的組數(shù)是( ).

A.22020B.32020C.42020D.52020

A.0 B.2 C.10 D.12

6.若一個(gè)三角形的各邊長均為整數(shù)且其面積為有理數(shù)，則該三角形某一邊的長可以是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

C.S△PABtan(α+β) D.S△PABcot(α+β)

8.甲、乙、丙三人做同一道題.甲說“我做錯(cuò)了”，乙說“甲做對了”，丙說“我做錯(cuò)了”，老師說“有且僅有一人做對，有且僅有一人說錯(cuò)了”.若老師說的話一定正確，則( ).

A.甲說的對 B.乙說的對

C.丙說的對 D.甲、乙、丙說的均不對

A.∠APB=120°B.∠BPC=120°

C.2BP=PCD.AP=2PC

11.若從0,1,2,…,9中選取5個(gè)兩兩互異的數(shù)字依次排成一個(gè)五位數(shù)(包括0在首位的五位數(shù)，其大小就是把0去掉后的四位數(shù))，則它能被396整除的概率是( ).

13.若空間向量a,b,c滿足|a|≤1,|b|≤1,|a+2b+c|=|a-2b|，則|c|的最值為( ).

C.最小值為0 D.最小值為2

14.若x,y∈N*，則下列說法正確的是( ).

A.x2+2y與y2+2x可以均為完全平方數(shù)

B.x2+4y與y2+4x可以均為完全平方數(shù)

C.x2+5y與y2+5x可以均為完全平方數(shù)

D.x2+6y與y2+6x可以均為完全平方數(shù)

16.若某個(gè)正四棱錐的相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的大小為α，側(cè)棱與底面所成線面角的大小為β，則( ).

A.cosα+tan2β=1 B.secα+tan2β=-1

C.cosα+2tan2β=1 D.secα+2tan2β=-1

A.2 B.e C.3 D.4

圖1

18.已知y=f(x)是上凸函數(shù)，x=c是其極大值點(diǎn)，函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖1所示.若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a,x=t(a

A.f(b),f′(a) B.f′(a),f(b)

C.f(c),f′(a) D.f′(a),f(c)

19.把數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記作Sn.若?n∈N*,?m∈N*,Sn=am，則稱數(shù)列{an}為“某數(shù)列”.以下選項(xiàng)中正確的是( ).

B.若an=k(k為常數(shù))，則{an}為“某數(shù)列”

C.若an=kn(k為常數(shù))，則{an}為“某數(shù)列”

D.對于任意的等差數(shù)列{an}，均存在兩個(gè)“某數(shù)列”{bn},{cn}，使得an=bn+cn

二、試題解析

圖2

2.AD.由題設(shè)，可得點(diǎn)O,P不重合.

如圖2所示，可得點(diǎn)O,P在等腰△ABC底邊上的高CE上(點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)).

可設(shè)直線OD,BP交于點(diǎn)R，可得∠R=∠CEB=90°，所以O(shè),R,E,B四點(diǎn)共圓.

再由題設(shè)“點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心”，可得∠CBP=∠RBE=∠ROP，所以B,D,O,P四點(diǎn)共圓，得選項(xiàng)A正確.

由B,D,O,P四點(diǎn)共圓，可得∠BDP=∠BOP.

由題設(shè)“點(diǎn)O是△ABC的外心”，可得∠BOP=2∠BCO=∠BCA，所以∠BDP=∠BCA.所以DP∥AC，得選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

若OD∥AB，由CE⊥AB，可得CE⊥OD.又由PB⊥OD，可得PB∥CE.而直線PB,CE交于點(diǎn)P，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

3.解法1 D.若集合C已確定，由A?C可得集合A有2|C|種可能(其中|C|表示集合C的元素個(gè)數(shù))；同理，由B?C可得集合B有2|C|種可能.所以有序集合組(A,B)的組數(shù)是2|C|·2|C|=4|C|.

圖3

解法2 D.如圖3所示，其中U={1,2,3,…,2020}，可得元素1,2,3,…,2020均有5種填法：UC,U(A∪B),A(A∩B),A∩B,B(A∩B).由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得所求答案是52020.

4.BC.先用數(shù)學(xué)歸納法證明a2k,a2k+1(k∈N)分別是偶數(shù)、奇數(shù).

當(dāng)k=0時(shí)成立,a0=0,a1=±1.

假設(shè)k=n時(shí)成立,即a2n,a2n+1分別是偶數(shù)、奇數(shù).

可得|a2n+2|=|a2n+1+1|，所以a2n+2是偶數(shù)；再由|a2n+3|=|a2n+2+1|，可得a2n+3是奇數(shù).所以k=n+1時(shí)也成立.所以欲證結(jié)論成立.

由題設(shè)，得a2k=a2k-1+1或a2k=-a2k-1-1(k∈N*)，所以a2k-1+a2k=2a2k-1+1或a2k-1+a2k=-1(k∈N*).

可設(shè)a2k-1=2m-1(m∈Z)，當(dāng)a2k-1+a2k=2a2k-1+1時(shí)，可得a2k-1+a2k=4m-1.

所以總有a2k-1+a2k≡-1(mod 4).

6.CD.因?yàn)槿呴L分別是3,4,5的三角形的面積6是有理數(shù)，所以選項(xiàng)D正確.

若滿足題設(shè)的三角形的某一邊長可以是1，則可設(shè)其另外邊長分別是b,c(1≤b≤c;b,c∈N*).

由“三角形兩邊之和大于第三邊”，可得1+b>c，即1+b≥c+1,所以b≥c，所以b=c.

若滿足題設(shè)的三角形的某一邊長可以是2，則可設(shè)其另外邊長分別是b,c(2≤b≤c;b,c∈N*).

由“三角形兩邊之和大于第三邊”，可得2+b>c，即2+b≥c+1,所以b≥c-1.所以b=c-1或c.

所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

故選項(xiàng)A正確.

故選項(xiàng)C正確、D錯(cuò)誤.

8.A.若僅甲說的對，則甲做錯(cuò)了；可得乙、丙均說錯(cuò)了，得丙做對了.滿足題設(shè)“有且僅有一人做對，有且僅有一人說錯(cuò)了”.

若僅乙說的對，則甲做對了；可得甲、丙均說錯(cuò)了，得丙也做對了.不滿足題設(shè)“有且僅有一人做對”.

若僅丙說的對，則丙做錯(cuò)了；可得甲說錯(cuò)了，得甲做對了；還可得乙說錯(cuò)了，得甲也做錯(cuò)了.前后矛盾！

綜上所述，可得僅甲說的對.

圖4

同理，可得∠BPC=∠BPA.

再由∠APC+∠BPC+∠BPA=360°，可得∠APC=∠BPC=∠BPA=120°，因而選項(xiàng)A,B均正確.

在Rt△ABC中，可得∠BAC=30°,∠ACB=60°.

11.C.可得396=4×9×11.

若排成的五位數(shù)是9的倍數(shù)，則這5個(gè)數(shù)字之和是9的倍數(shù)，進(jìn)而可得所選取的5個(gè)數(shù)字只可能是0,1,2,6,9；0,1,2,7,8；0,1,3,5,9；0,1,3,6,8；0,1,4,5,8；0,1,4,6,7；0,2,3,4,9；0,2,3,5,8；0,2,3,6,7；0,2,4,5,7；0,3,4,5,6；0,3,7,8,9；0,4,6,8,9；0,5,6,7,9；1,2,3,4,8；1，2,3,5,7；1,2,4,5,6；1,2,7,8,9；1,3,6,8,9；1,4,5,8,9；1,4,6,7,9；1,5,6,7,8；2,3,5,8,9；2,3,6,7,9；2,4,5,7,9；2,4,6,7,8；3,4,5,6,9；3,4,5,7,8之一.

若所選取的5個(gè)數(shù)字是0,1,2,6,9，由排成的五位數(shù)是4的倍數(shù)，可得末兩位數(shù)只可能是20,60,12,92,16,96之一.

再由排成的五位數(shù)是11的倍數(shù)，可得排成的五位數(shù)只可能是10692,60192,10296,20196之一.

又由4,9,11兩兩互質(zhì)，所以得到的4個(gè)五位數(shù)均滿足題設(shè).

進(jìn)而可得滿足題設(shè)的五位數(shù)共96個(gè)：10692,60192,10296,20196,17820,87120,21780,71280,08712,78012,07128,17028,13860,83160,31680,61380,08316,38016,03168,13068,15840,85140,41580,51480,01584,51084,05148,15048,30492,40392,29304,39204,37620,67320,23760,73260,06732,76032,02376,32076,47520,57420,25740,75240,04752,74052,07524,57024,35640,65340,43560,53460,03564,53064,04356,34056,68904,98604,60984,90684,38412,48312,21384,31284,14652,64152,14256,24156,87912,97812,81972,91872,47916,97416,41976,91476,57816,87516,51876,81576,85932,95832,83952,93852,76824,86724,72864,82764,46728,76428,42768,72468,45936,95436,43956,93456.

注用電腦編程可以驗(yàn)證上述答案是正確的.

所以隨機(jī)變量Y的期望是

13.BC.由題設(shè)，可得

|a-2b|=|a+2b+c|≥|c|-|a+2b|,

|c|≤1·|a+2b|+1·|a-2b|.

由柯西不等式，可得

(1·|a+2b|+1·|a-2b|)2≤(12+12)(|a+2b|2+|a-2b|2)=4(|a|2+4|b|2)≤20.