力學中往返運動問題綜述

楊曉丹

(重慶市第三十七中學校 400084)

在高中物理的復習和考試中，單個物體或多物體體系做往返運動的實例屢見不鮮.根據該類問題中研究物體的速度變化規律，我們把往返運動基本可分為：類上拋型(“v零v”型)、“零v零”型和“鹿回家”三大類型，下面將對這三種類型問題的運動規律以及求解思路等展開具體描述.

一、類上拋型(v零v型)

有這樣一種往返運動，它雖然不是嚴格的豎直上拋運動，卻可以采用類似的方法來處理；它的初末速度雖然不一定表現出嚴格的對稱性，卻也呈現出“非零—零—非零”的變化趨勢，這類運動被統稱為“類上拋”或“v零v”運動.表1總結了幾種典型類上拋運動的運動規律和對應v-t圖.

表1 典型類上拋模型的物理規律對比

例1 如圖1甲，傾角為37°的足夠長的傳送帶以恒定速度運行，將一質量m=1 kg的小物體以某一初速度放上傳送帶，物體相對地面的速度大小隨時間變化的關系如圖1乙所示，取沿傳送帶向上為正方向，g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.則下列說法正確的是( ).

A．物體與傳送帶間的動摩擦因數為0.75

B．0～8 s內因摩擦產生的熱量為72 J

C．0～8 s內物體機械能的增量為84 J

D．0～8 s內因放上物體，傳送帶電動機多消耗的電能為216 J

圖1

點評本題每個選項都要求學生找出對應物理過程并列式計算，比較繁瑣.但若對“類上拋”型往返運動十分熟悉，通過本題給出的v-t圖像，就不難聯想到對應運動規律，進而提高做題速度.

例2 若在運動過程中空氣阻力大小不變，豎直向上拋出物體的初速度大小與返回拋出點時速度大小的比值為k，物體返回拋出點時速度大小為v，重力加速度為g，則物體從拋出到返回拋出點所經歷的時間為( ).

點評通過比較發現，由題設初速度為k·v，具體分析本題的運動過程，把時間硬算出來，不僅耗費大量時間，同時也給答題者的計算帶來了負擔.但在熟練掌握豎直上拋運動的運動規律之后，結合選項特點即可通過巧取特殊值完成快速求解.

圖2

例3 如圖2所示，足夠長的傳送帶與水平面夾角為θ，以大小為v0的速度順時針勻速轉動，在傳送帶的上端放置一個小木塊，并使小木塊以大小為2v0的初速度沿傳送帶向下運動，小木塊與傳送帶間的動摩擦因數μ>tanθ，圖3四幅圖能客觀地反映小木塊的速度隨時間變化關系的是(以木塊的初速度方向為正方向)( ).

圖3

解析小木塊沿傳送帶向下運動的過程中所受的滑動摩擦力沿斜面向上，設小木塊的質量為m、加速度大小為a，因為μ>tanθ，所以μmgcosθ>mgsinθ，故小木塊做勻減速運動，根據牛頓第二定律得μmgcosθ-mgsinθ=ma，解得a=μgcosθ-gsinθ，當小木塊的速度減小到零時，小木塊相對傳送帶向下運動，其所受的滑動摩擦力沿斜面向上，小木塊沿傳送帶向上做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律得a=μgcosθ-gsinθ，當小木塊的速度增加到v0時，小木塊受沿斜面向上的靜摩擦力，由于重力沿斜面方向的分力小于最大靜摩擦力，故小木塊與傳送帶保持相對靜止，選項A正確，B、C、D錯誤.

點評本題部分學生會錯用“粗糙斜面上或傾斜傳送帶上的往返問題”物理模型，以至于選擇C選項.可見即使同為含傳送帶的類上拋問題，其運動規律還是略有不同的，不可一概而論.借助v-t圖像仔細對比，做好辨析是關鍵.

二、“零v零”型

“零v零”型問題，顧名思義即表示在一定的坐標系下，研究對象的速度以零開始，以零結束的問題.這類問題的運動特征有：

①研究對象的運動狀態和運動形式常表現出一定的規律性和周期性；

②研究對象的速度在從零變回到零的過程中，一定有最值存在.

“零v零”型問題中驅使研究對象完成速度變化的作用力可以是恒力，也可以是變力，前者范例十分常見，故本文不再贅述；后者在高中階段是以輕繩、輕桿和輕彈簧這三種物理模型最為典型.值得一提的是，對于變力系統而言，求取速度最值的具體位置難以繞過超越方程的求解，有時甚至根本無法得到確定的解析解，只能獲得數值解.

圖4

例4 如圖4所示，水平光滑長桿上套有一個質量為mA的小物塊A，細線跨過O點的輕小光滑定滑輪一端連接A，另一端懸掛質量為mB的小物塊B，C為O點正下方桿上一點，滑輪到桿的距離OC=h.開始時A位于P點，PO與水平方向的夾角為30°.現將A、B同時由靜止釋放，則下列分析正確的是( ).

A．物塊B從釋放到最低點的過程中，物塊A的動能不斷增大

B．物塊A由P點出發第一次到達C點的過程中，物塊B的機械能先增大后減小

圖5

那么B的最大速度到底在什么時候出現呢？根據A、B二者的速度關系和系統機械能守恒可以列式：

vAcosθ=vB

(2.1)

(2.2)

進而可以得到vB的表達式：

(2.3)

雖然得到了vB表達式，但它形式復雜，僅使用高中數學知識難以求得其最值的解析解.故筆者在此選擇借助MATLAB軟件求取其最值的數值解.

圖6

如圖6所示，沿水平長桿建立x軸，設物體A在初始位置時，物體B的位移也為0，那么當物體A位于C點時，物體B的位移達到最大值ymax=2h.令繩OP與x軸正方向的夾角為θ，則有：

(2.4)

(2.5)

根據y坐標的表達式可以進一步得到：

(2.6)

為了方便分析不妨設A和B的質量相等，那么綜上所述，式(2.5)可化成：

(2.7)

設高度h=10 m，重力加速度g=10 m/s2，物體的質量mA=mB=1 kg，把圖6所示位置作為初始位置開始計時，使用MATLAB求解，可以得到A和B的速度分別隨角度θ、時間t、A的位移x的變化曲線如圖7(a)、(b)和(c)所示.

圖7

點評繩約束物系問題考查了學生靈活使用合成和分解思想處理動力學問題的能力.如表2所示，本題中的兩個物體雖是由一根輕繩相連，但各自速度的大小、變化趨勢乃至改變周期都不相同.學生需要把握輕繩約束物系相關速度的本質特點，理智分析才能做出正確判斷.

表2 A、B兩物體的速度變化趨勢對比

例5 (2015·全國卷Ⅱ)如圖8所示，滑塊a、b的質量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動.不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g，則( ).

圖8

A．a落地前，輕桿對b一直做正功

C．a下落過程中，其加速度大小始終不大于g

D．a落地前，當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg

點評b速度最大的位置到底在哪呢？為了便于談及不妨設b速度最大時，剛性桿與水平方向的夾角為θ，若桿長為L，由a、b二者的速度關系和系統機械能守恒，可以列式：

vacosθ=vbsinθ

(2.8)

(2.9)

由式(2.8)和 式(2.9)可得a、b二者的速度分別和夾角θ的關系：

(2.10)

(2.11)

由式(2.10)和式(2.11)可知a塊的速度恒增加，b塊的速度先增加后減小，其最大極值可由均值不等式或求導法來求得.本文采用求導的方法，對vb表達式(2.11)求導可得：

(2.12)

(2.13)

圖9

例6 (2017·江蘇高考)(多選)如圖9所示，三個小球A、B、C的質量均為m，A與B、C間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長為L.B、C置于水平地面上，用一輕質彈簧連接，彈簧處于原長.現A由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾角α由60°變為120°.A、B、C在同一豎直平面內運動，彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g.則此下降過程中( ).

A．A的動能達到最大前，B受到地面的支持力小于3mg/2

B．A的動能最大時，B受到地面的支持力等于3mg/2

C．彈簧的彈性勢能最大時，A的加速度方向豎直向下

vC·sinθ=-vA·cosθ

(2.14)

(2.15)

其中vB=-vC恒成立.由于α=120°時A到達最低點，即θ=60°時A回歸速度為零狀態.故根據功能關系有：

為了進一步研究A、C速度和時間、位置之間的關系，可以建立坐標系如圖10所示.設AC間輕桿的作用力大小為F，則有微分方程組：

(2.18)

x2+y2=L2

(2.19)

聯立上式，最終可以化簡得到關于x坐標的微分方程：

圖11

由圖11可知，當時間t=1.226 s時，C球第一次達到速度峰值vCmax=1.8097 m/s，此時夾角θ=39.9535°∈[30°, 60°]，C球的坐標滿足(xC,yC)=(6.44 m, 0 m)；隨后當時間t=1.604 s時，A球第一次達到速度峰值vAmax=-1.6691 m/s，此時桿AC和y軸的夾角θ=45.6570°∈[30°, 60°]，在題設坐標系下A球的坐標(xA,yA)=(0 m, 7.0453 m).A球和C球分別沿y軸和x軸作周期往返運動，與解析中定性分析所得結論一致.

三、“鹿回家”型

例7 在光滑水平面上有一靜止的物體，現以水平恒力F1推這一物體，作用一段時間后，換成相反方向的水平恒力F2推這一物體，當恒力F2作用時間與恒力F1作用時間相同時，物體恰好回到原處，求恒力F1和F2的大小之比？

圖12

解析設物體的質量為m，在力F1作用下產生的加速度為a1，運動時間t后，發生的位移為x1，獲得的速度為v1；在力F2的作用下產生的加速度為a2，經過相同的時間，運動的位移為x2，獲得的速度為v2.物體運動過程的v-t圖像如圖12所示，若作用時間t+t0后速度v=0m/s，則有：

(3.1)

a1t=a2t0

(3.2)

(3.3)

此外，由于整個運動過程中物體質量不變，位移大小相等，時間也相等，故不僅其所受合力之比，其加速度之比、功之比、沖量之比、平均功率之比、動能變化量之比、動量變化量之比均相等且為1∶3.即：

點評值得拓展的是，類似的，若以水平恒力F1推這一物體，作用t時間后換成相反方向的水平恒力F2推同一物體，但卻是在經過nt時間之后，物體剛好回到原靜止位置，則得到合力之比和速度之比需滿足：

*注：其中“負號”僅表示速度方向和坐標系規定正方向相反，不計入速度大小的比較.