換元轉化 化難為易

葉文明 李 陽

(浙江省松陽二中 323406)

李陽(1991-)，男，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

解數學題時，常把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化的方法叫換元法.換元法的實質是轉化，把復雜問題簡單化.換元法在研究方程、不等式、函數、數列、解析幾何等問題中有廣泛的應用，它幾乎涵蓋高中階段的所有內容，是一種常用的解題方法.

方法二(換元)令x+2=a,y+1=b,則a+b=4.

顯然換元法容易理解，當分母稍顯復雜時，常用換元法化繁為簡.

∴M的最小值為3.

解析絕對值問題通常采用分類討論去掉絕對值符號的方法解決，但本題直接分類討論稍顯繁瑣，采用換元法后再分類討論則容易得出正確答案.

∴當2a2-1≤1，即-1≤a≤1時，如圖1所示

g(a)=|2-(2a2-1)|=2-(2a2-1)=-2a2+3，

當2a2-1>1，即a<-1或a>1時，如圖2所示.

g(a)=|0-(2a2-1)|=2a2-1

∴m≥(-x2+7x)max，x∈[1,2]，∴m≥10.

解析求代數式的取值范圍，即最值問題時，常用基本不等式解決，當式子較復雜時，可利用換元法化繁為簡.

換元法的本質是轉化，構造元和設元，通過等價代換，變換對象，將問題轉換成新的對象去研究.用換元法解題時要注意以下幾點：(1)選擇合適的變量換元，遵循讓問題簡化的原則.(2)換元后要注意新變量的范圍，并根據題設加以驗證.