兩平方反比力在球體(殼)模型中的強度公式對比

楊天才

(重慶市第三十七中學校 400084)

基金項目：本文系重慶市教育科學“十三五” 規劃2016年度青少年創新人才培養《普通高中培養青少年創新人才校本課程開發研究》專項課題階段性成果(課題編號：2016-CX-14)]

萬有引力是在1687年由牛頓發現的，庫侖力是法國物理學家查爾斯·庫侖在1785年發現的，它們都滿足與距離的平方成反比，即平方反比律，由他們在球體(殼)周圍產生的引力場強度和電場強度非常相似，在球殼內部為零，在球體內部強度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.具體見下表：

引力場強度電場強度定義式g=GMr2E=kQr2球體空腔內部特點勻質球體在空腔內任意一點位置形成的合引力場強度為零均勻帶電球殼在其內部任意一點位置形成的合場強為零(法拉第圓筒實驗)勻質(或均勻)實心球體內部的強度公式(rR)g=GMr2E=kQr2勻質(或均勻)實心球體在空間產生的強度隨離球心的距離的函數圖像圖1圖2球殼在空間產生的強度隨離球心的距離的函數圖像圖3圖4

一、部分結論推導和應用

結論一在勻質球體的空腔內任意位置處，質點受到的萬有引力的合力為零.

圖5

結論二均質實心星球內部某點的引力場強度與該點到星球球心的距離r成正比.

結論三均勻實心帶電球體內部某點的電場強度與該點到球心的距離r成正比.

例1 (2012年高考全國卷)假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體，一礦井深度為d.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為( ).

點評題目給出了“均勻球殼對內部質點的萬有引力合力為零”，但大多數同學沒理解這句信息而導致本題錯誤率較高.其實礦井底部重力加速度可等效半徑為R-d的小“地球”表面的重力加速度，這樣就大大簡化了問題.

例2 假設地球是一半徑為R質量分布均勻的球體.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，不考慮地球自轉的影響，距離地球球心為r處的重力加速度大小可能為如圖6圖像中的哪一個( ).

圖6

點評本題再一次考查對“均勻球殼對內部質點的萬有引力合力為零”的理解，雖然不要求推導這個結論的由來，但要學生直接利用這個結論來解題.

圖7

例3 如圖7所示是某農家院內打出一口深度為d的水井，如果質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，地球可以看作是質量分布均勻的球體，地球半徑為R，則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為( ).

點評本題考查天上某點和地球里某點的重力加速度之比，因它們滿足不同的規律，或者說定義域不同，分段函數的函數關系就不同，這是要注意的.

圖8

A．M、N點的電勢小于O點的電勢

B．M、N點的電場強度方向相同

點評均勻帶電球體可以理解為體電荷密度不變，即體電荷密度是每單位體積的電荷量，球體所帶電量之比為半徑之比的三次方，從而求球體表面的場強.

圖9

例5 均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場.如圖9所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM=ON=2R，已知M點的場強大小為E，則N點的場強大小為( ).

點評本題是信息題，信息題的特點是起點高、落點低，理解“均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場”，即將面電荷等效為點電荷，然后用割補法構建一個球殼模型與題目建立聯系順利求解.

圖10

例6 (2013年高考上海卷)半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產生球對稱的電場；場強大小沿半徑分布如圖10所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積.求：

(1)寫出E-r曲線下面積的單位；

(3)求球心與球表面間的電勢差ΔU；

(4)質量為m，電荷量為q的負電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運動到2R處.

解析(1)根據關系式U=Ed可知，E-r曲線下面積表示電勢差，其單位是V(伏特).

點評本題考查E-r圖像的意義，帶電球體周圍電場的規律，以及電場力做功等問題.根據圖像與橫軸所圍的面積在數值上表示兩點間電勢差，均勻帶電球體周圍的場強可以理解為在球內部均勻增加，外部逐漸減小.

從以上分析可以看出，萬有引力和庫侖力都是平方反比定律，由他們在球體(殼)周圍產生的引力場強度和電場強度非常相似，都在球殼內部為零，在球體內部強度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.