圖形解構“定”坐標

朱鳴

平面直角坐標系可以刻畫物體的位置，它建立了數與形之間的緊密聯系，也是中考必考內容之一。下面以一道中考改編題為例，通過解構基本圖形的方式來進行分析、變式，希望能為大家帶來一些借鑒和思考。

例1 （2020.黑龍江綏化改編）如圖1，在矩形OABC中，AB=2，BC=4，點D是邊AB的中點，點E是邊BC的中點，直線y2=mx+n（m≠0）經過D、E兩點。

（1）求直線DE的解析式;

（2）在y軸上找一點P，使△PDE的周長最小，求出此時點P的坐標;

（3）在（2）的條件下，△PDE的周長最小值是_____。

【解析】（1）∵點D是邊AB的中點，點E是邊BC的中點，AB=2，BC=4，四邊形OABC是矩形.

【小結】在平面直角坐標系中，對于常見的確定直線的問題，可以將其圖形簡化為圖1，一般解決的策略是先確定交點坐標，然后借助二元一次方程組。在本例中，D、E兩點的坐標是解決問題的鑰匙。

（2）如圖2，作點D關于y軸的對稱點D，連接D'E交y軸于JP，連接PD，此時，△PDE的周長最小。

【總結】第二題是一個“兩定一動”、確定動點的問題，可將圖像簡化為圖2的情形。我們也可以把它稱為“將軍飲馬”模型，利用“垂直平分線”的性質來解決。過D點，向y軸作高，找到對稱點D'，連接D'E，該直線與y軸的交點就是要求的P點。隨著點P的確定，△PDE的周長最小值也能輕松求出。

變式在上述條件下，請在x軸上找一點P，使得分別以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形。

【解析】（情況1）如圖3，以點A為等腰三角形頂點，使AP=AC，易知P點坐標為（-2，0）。

（情況2）如圖4，以點P為等腰三角形頂點，使PA=PC，可設點P坐標為（x，0），利用勾股定理，將問題放在△AOP中解決，得P點坐標為（一3，0）。

（情況3）如圖5、6，以點C為等腰三角形頂點，使CA=CP，易得P（2-2√5，0）或P（2+2√5，0）。

【總結】在平面直角坐標系中，對于等腰三角形的存在性問題，通常需要分類討論——確定3個頂點后，要不重復、不遺漏地將多種情況分別表示出來。

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學）