數形結合百般好 釋疑解惑助糾錯

涂春華

我國數學家華羅庚說過，數缺形時少直觀，形少數時難入微。這句話深刻揭示了數、形的關系。下面運用數形結合的方法，以兩道一次函數習題為例，為同學們答疑糾錯。

例1 （2019.江蘇南京）已知一次函數Yi=kx+2（k為常數，k≠0）和y2=x-3。

（1）當k=-2時，若Yi> y2，求x的取值范圍。

（2）當x<1時，y1> y2。結合圖像，直接寫出k的取值范圍。

【解析】本題求一次函數待定系數k的取值范圍，得分率很低，難點在于一次函數Y.=kx+2（k為常數，k≠0）是一個不確定的函數。有些同學對出題方式不熟悉，不具備相應解題經驗，找不到探究此類問題的方法，沒有形成解決此類問題的思維能力。本題設置了兩個問題。第（1）問較為基礎，給定k的值，考查在y1> y2時的x的取值范圍，為第（2）問作鋪墊;第（2）問反過來，給定x的取值范圍，考查在y1> y2時的k的取值范圍。第（2）問的得分率低于預期。

（1）大多數同學由Yi> y2不等關系，建立關于x的不等式-2x+2> x-3，求得x的取值范圍是x<5/3。此問題也可以化歸為兩個函數圖像的交點問題（如圖1）。

結合圖1，我們可直接得到不等式的結論x<5/3，這樣也能為第（2）問的解答做鋪墊。下面我們繼續從圖像的角度進行直觀分析（如圖2）。

（2）觀察圖2，當x=1時，y2=X-3=-2，把（1，-2）代入y1=kx+2，得k+2=-2，解得k=-4。在x<1的范圍內，當-4≤k<0時，Yi>Y2;當0Y2。所以k的范圍為-4≤k≤1且k≠0。

例2 甲、乙兩艘快艇同時從A港口沿直線駛往B港口，甲快艇在整個航行的過程中速度v海里/小時與航行時間t小時的函數關系如圖3所示（圖中的空心圖表示不合這一點），乙快艇一直保持勻速航行，兩快艇同時到達B港口。

（1）A、B兩港口之間的距離為海里;

（2）若甲快艇離B港口的距離為s1海里，乙快艇離B港口的距離為s2海里，請在圖4中分別畫出s1、s2與t之間的函數圖像。

（3）在整個行駛過程中，航行多少小時兩快艇相距5海里？

【解析】（1）150;（2）如圖5。前兩問比較簡單，具體解題步驟略。

對于第（3）問，有些同學想得過于簡單，只是從算術或方程的角度求出其中一個解，造成漏解。這時，我們就可以利用新學習的一次函數這個工具了，比如先分類求出一次函數對應的表達式。

當0≤t≤l時，s1所對應的函數關系式為s1=-30t+150;

當1

當0≤t≤3時，s2所對應的函數關系式為S2=-50t+150;

當0≤t≤l時，S1-S2=（-30t+150）一（一50t+150）=5，解得t=0.25小時;

當1≤t≤3時，S1-S2=（-60t+180） -（一50t+150）=5，解得t=2.5小時。

當快艇航行0.25小時或2.5小時，兩快艇相距5海里。

【總結】與例1相比，例2體現了一次函數解析式對“形”的統領作用，也是華羅庚先生指出的“形少數時難入微”的內涵。 （作者單位：江蘇省南京一中實驗學校）