漫談函數(shù)的發(fā)展

張海燕 摘編

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念。同學(xué)們對(duì)這一概念的學(xué)習(xí)和理解將貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。

函數(shù)是從常量數(shù)學(xué)邁進(jìn)變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志。16世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)研究的多為靜止不動(dòng)的常量，稱為常量數(shù)學(xué)或者初等數(shù)學(xué)。變量和函數(shù)概念的產(chǎn)生，標(biāo)志著數(shù)學(xué)從常量時(shí)代進(jìn)入到變量時(shí)代。函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，有著無比重要的地位，在高等數(shù)學(xué)和近代數(shù)學(xué)中處于中心地位。

函數(shù)一詞是由萊布尼茲1673年最早引入的，用來表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量。伯努利把函數(shù)看作一個(gè)變量和一個(gè)常數(shù)組成的表達(dá)式。歐拉把函數(shù)看作含有變量和常數(shù)的任何方程和公式。

1821年，柯西給出定義：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫作自變量，其他各變數(shù)叫作函數(shù)。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。

1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每個(gè)x都有確定的值，并且隨著x-起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出。這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的。這個(gè)定義建立了變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)概念的一個(gè)重大發(fā)展。因?yàn)閷?duì)應(yīng)是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分。

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷給出函數(shù)的定義：如果對(duì)于x的每一個(gè)值y，總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)。這個(gè)概念就是我們初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)概念，是經(jīng)典的函數(shù)定義，也叫作函數(shù)的“變量說”。

到20世紀(jì)初，康托爾的集合論被大家所接受后，函數(shù)概念中變量只能為數(shù)的限制取消了，突出了函數(shù)的本質(zhì)特征。對(duì)應(yīng)關(guān)系用集合論的語言敘述，這種定義方式叫作函數(shù)的“對(duì)應(yīng)說”。1939年，布爾巴基學(xué)派又給出了函數(shù)的“關(guān)系說”。

總之，函數(shù)概念的靈魂是運(yùn)動(dòng)，是變量，是變量關(guān)系。（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）