L-拓撲空間中理想的層次收斂理論

孟廣武

（1.聊城大學數學科學學院，山東聊城 252000；2.喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844000）

0 引言

層次結構是L-拓撲學最顯著的特點.為了最大限度地彰顯這個特點，李永明引入了α-閉集[1]，直接將閉集肢解為層次閉集.與此不同，筆者從閉包的角度，提出了一類更為廣泛的層次閉集——Dα-閉集[2].在此基礎上，層次連通性、層次分離性、層次緊性相繼問世，初步形成了層次L-拓撲空間理論[3,4].

本文利用Dα-閉集，在L-拓撲空間中，定義了理想的層次極限點和層次聚點，并研究了它們的基本性質，形成了理想的層次收斂理論.

1 理論準備

本文的L=(≤,∨,∧,′）始終表示模糊格，即帶有逆序對合對應的完全分配格；0和1分別表示L的最小元和最大元；.X表示非空分明集.

從X到L的映射被稱為X上的L-集，所有這樣的L-集記作LX，它自然形成一個模糊格(LX,≤,∨,∧,′）.對于α∈L，αX表示X 上的常值L-集，β*(α)表示α的標準極小集；(LX,δ)表示L-拓撲空間，M(L)表示L的全體分子之集，M*(LX)表示LX的全體分子之集；對e∈M*(LX)，η(e)和η-(e)分別表示e的一切遠域之集和一切閉遠域之集；對A∈LX,r∈L,A[r]={x∈X:A(x) ≥r}；對B∈2X（X 的一切子集所成的集族），χB表示B的特征函數.

其它未說明的術語與符號參見[5].

定義1.1[2]設(LX,δ)是L-拓撲空間,α∈M(L),層次閉包算子Dα:LX→δ′定義為

?A∈LX,Dα(A)=∧{G∈δ′:A[α]?G[α]},稱Dα(A)為A的Dα-閉包.

定理1.1[2]設 (LX,δ) 是L-拓撲空間,α∈M(L),A,B∈LX.則

(D1)Dα(0)=0;

(D2)Dα(A∨B)=Dα(A) ∨Dα(B);

(D3)A[α]?(Dα(A))[α];

(D4)Dα(Dα(A))=Dα(A).

定義1.2[2]設(LX,δ) 是L-拓撲空間,α∈M(L),A∈LX.稱A 為(LX,δ)中的Dα-閉集,若(Dα(A))[α]=A[α].

(LX,δ)中的全體Dα-閉集記為Dα(δ).

定理1.2[2]設(LX,δ)是L-拓撲空間,A∈LX.若A∈δ′,則對任意的α∈M(L),A∈Dα(δ),即δ′?Dα(δ).

定義1.3[5]設(LX,δ) 是L-拓撲空間，e∈M*(LX)，I是LX中的理想，那么

（1）如果η(e) ?I，則稱e為I的極限點，或稱I收斂于e，記作I→e；

（2）如果?A∈I以及?P∈η(e),A∨P≠1X，則稱e為I的聚點，或稱I聚于e，記作I∞e.

I的一切極限點之并記作limI，I的一切聚點之并記作adI.

2 層次遠域與層次附著點

3 理想的層次收斂

定理3.1對LX中的理想I以及α∈M(L)，I[α]={A[α]:A∈I}是2X中的下集和上定向集，但一般不是理想.

證明在集合的包含關系之下，I[α]是2X中的下集。事實上，設A[α]∈I[α]，對任何B∈2X且B?A[α]，則αχB≤A，這里

圖1 W(f,g)的圖像

圖2 C(f,g,h)的圖像