單形的幾何穩定性研究

孫玉婷，王 文，楊世國

（1.安徽文達信息工程學院通識教育學院，安徽合肥 231201；2.合肥師范學院數學與統計學院，安徽 合肥 230601；3.安徽新華學院國際教育學院，安徽合肥 230088)

0 引言

凸體幾何發源于上世紀初的現代幾何學科，隨著國內外優秀數學家對凸體幾何研究的深入，到上世紀末凸體幾何研究得到蓬勃發展.凸體幾何的理論和方法廣泛的應用于體視學（stereology）、仿晶學（sryslallography）和固態物理學等領域[1].尤其對C60的研究顯示了凸體幾何在化學研究中的作用，從而讓C60在化工、建筑等其他領域得到廣泛應用[2-3].

單形是凸體幾何的主要研究對象，而本文主要研究其不等式的穩定性.單形不等式的穩定性最早由MINKOWSKI 提出，是指在一些含有等號的幾何不等式中，當其中的幾何體為某種特殊幾何體或幾何體相似時取等號.現假設某幾何體使得不等式與相等時相差很小，那么此時幾何體與取等號的特殊幾何體的“偏差”也很小，則稱此幾何不等式是穩定的，否則稱此幾何不等式是不穩定的.由于它的支撐函數或向徑函數的表達式很難找到，使得其幾何不等式的穩定性研究十分困難.文獻[4-5]證明了Veljan-Korchmaros 不等式是穩定的，并提出了單形的“偏正度量”概念：

設n維單形Ω的棱長為是以aˉ為棱長的n維單形，則單形Ω的“偏正度量”為當且僅當Ω為正則單形）.

文獻[6]給出了單形不等式更強的穩定性版本.

1 主要結果

并推廣了[7]中切點單形不等式，得到推廣式

當Ω為正則單形時，（1.2）和（1.2*）中等號成立.

本文將證明（1.1）與（1.2）是穩定的，并給出他們的穩定性版本，并推廣不等式（1.1）與（1.2），而本文其中一個結論實質上是比文獻[1]有更強的穩定性.

定理1.1n維單形Ω有

且當且僅當Ω為正則單形等號成立.

或有不等式(1.1*)的一個穩定性版本

當且僅當Ω為正則單形，(1.5)式中等號成立.

定理1.3n維單形Ω有

且當Ω為正則單形時等號成立.

定理1.4設是n維單形的偏正度量，對任意的ε＞0，當

時，則有

當且僅當Ω為正則單形，(1.9)式中等號成立.

2 主要結果證明

引理2.1[4]設n維單形Ω，則

且當Ω為正則單形時等號成立.

引理2.2[5]設n維單形Ω，則

且當Ω為正則單形時等號成立.

引理2.3[9]設n維單形Ω，則

且當Ω為正則單形時等號成立.

引理2.4[10]設x≥1,0 ＜β≤1，有

當β=1 時，（2.4）式為恒等式；當0＜β＜1 時，(2.4)式等號成立當且僅當x=1.

引理2.5[10]設n維單形Ω，有

且當Ω為正則單形時等號成立.

引理2.6設n維單形Ω，則

且當Ω為正則單形時等號成立.

證明利用文獻[9]中不等式

當Ω重心與外心重合時等號成立，由(2.5)和(2.7)得

由(2.8)和(2.2)引理得證.

定理1.1的證明由[11]中結果

并利用算術幾何平均不等式及(2.1)得

由(2.9)和(2.10)得

且當Ω為正則單形時等號成立.

利用引理2.3有

由(2.11)和(2.12)得

由(2.13)和(2.2)得

且當Ω為正則單形時(2.14)式等號成立.

故定理1.1成立.

定理1.2的證明(2.14)式可改寫成

注意到代數恒等式

Ω為正則單形時(2.18)等號成立.

故定理1.2成立.

定理1.3 的證明由于切點單形Ω′得外接球半徑為γ,外心為I,將不等式(2.11)應用于切點單形Ω′,有

當Ω為正則單形時等號成立.

從而定理1.3成立.

且當Ω為正則單形時等號成立.

利用文獻[5]中引理3.11有

且當Ω為正則單形時等號成立.

由(2.26)和(2.27)得

從而定理1.4成立.

3 結語

本文通過研究歐氏空間正則單形與一般單形的偏差估計，為后期研究非歐空間如球面空間、雙曲空間等單形的穩定性奠定了一定的基礎；同時由于單形是特殊的凸體，單形的穩定性研究為一般凸體穩定性研究提供了一定的啟發.