相容半連續格的序同態

陳必琴，姜廣浩

（淮北師范大學數學科學學院，安徽淮北 235000）

0 引言

為研究計算機程序設計語言相關問題，Scott 在文獻[1]中引入了連續格的概念.后來，趙東升基于文獻[2]在[3]中提出了半連續格的概念.文獻[4]為國內學者最早研究半連續格理論的文獻，并引起了國內學者對半連續格的廣泛關注.文獻[5]借助于半素極小集給出了半連續格序同態擴張定理.文獻[6]引入并研究了相容半連續格.受上述研究的啟發,本文將引入相容半連續格的概念，并研究其性質，探討其序同態.

1 預備知識

定義1.1[2]設I是格L的理想,?x，y，z∈L,若x∧y∈I,x∧z∈I時,有x∧(y∨z) ∈I,則稱I為L的半素理想，記Rd(L)={I：I是半素理想}.

定義1.2[6]設L是格,x，y∈L,若?S∈Rd(L),supS存在,且y≤supS,有x∈S,則稱x弱?y,記為x?wy（?x∈L,令?wx={y∈L：y?wx}）.

定義1.3[6]設L是格,S∈Rd(L),若?x∈L,使S??wx，則稱S為相容半素集，記Ic(L)={S：S是L的相容半素集}.

定義1.4[6]任一相容半素集都有并和交的格稱為相容完備格.

定義1.5[6]在相容完備格L中,若x，y∈L,?S∈Ic(L)，y≤supS,有x∈S，則稱x相容?y,記為x?cy（令?cy={x∈L：x?cy}）.

定義1.6[6]若?x∈L,有x≤sup ?cx,則稱相容完備格L是相容半連續的.

定義1.7[6]設x∈L,B∈Ic(L),若B≠?且滿足：

（1）x≤supB；

（2）?S∈Ic(L),若x≤supS,則?b∈B,?s∈S,使得b≤s,則B稱為x處的相容半素極小集.

2 主要結論

（2）映射f：L1→L2稱為保相容半素并,若f保序且?S∈Ic(L1),f(supS)=supf(S).

定義2.2設L1,L2是相容完備格,映射f：L1→L2稱為序同態,如果f，f-1保相容半素并，其中f -1:L2→L1是f的逆映射,定義f-1(b)=sup{↓a∈L1：f(↓a)?↓b}.

定義2.3設L1,L2是相容完備格,映射f：L1→L2稱為保?c的,若a?cb可推出f(a) ?c f(b).

定理2.1設f：L1→L2,L1是相容半連續格,則f是序同態當且僅當f保相容半素并和?c.

證明設f是保相容半素并的和保?c的,只需證f-1保相容半素并.設S∈Ic(L)且s=supS,由于f-1是保序的,因此只需證f-1(s) ≤supf-1(S),任取u?c f-1(s),由f保?c,有f(u) ?c ff-1(s) ≤s=supS,則?x∈S,使得f(u) ≤x,故有u≤f-1(x) ≤supf-1(S).又因為L1是相容半連續格,有f-1(s)=sup{u∈L2|u?c f-1(s)}≤supf-1(S),故f-1(supS)=supf-1(S),即f是序同態.

設f是序同態,只需證f是保?c的.設a?cb,又設S∈Ic(L) 且滿足f(b) ≤supS,令s=supS,則b≤f-1(s)=f-1(supS).由于f-1保相容半素并,故有b≤sup(f-1(S)).又由f-1保序知f-1(S)是L1中的相容半素集,故 由a?cb知,?x∈S,使 得a≤f-1(x),即f(a) ≤x.故f(a) ?c f(b).

定義2.4設L1,L2是相容半連續格,映射f：L1→L2稱為保相容半素極小集,若?a∈L1,當B是a的相容半素極小集時,f(B)是f(a)的相容半素極小集.

定理2.2設映射f：L1→L2保序,L1,L2為相容半連續格,則有等價條件:

（1）f保相容半素極小集；

（2）?a∈L1,↓f(?ca)是f(a)的相容半素極小集；

（3）f保相容半素并,且?a∈L1,有f(?ca)??c f(a)；

（4）f是序同態.

證明（1）?（2）由L1是相容半連續格,?a∈L1,?ca是a處最大的相容半素極小集.故由(1)有↓f(?ca)是f(a)的相容半素極小集.

（2）?（3）由條件知?a∈L1,有f(?ca) ??c f(a),故f保?c.又L2為 相容 半連 續格,故有f(a)=sup ?c f(a)=supf(?ca).設S∈Ic(L1),記a=supS,則由命題2.1 可知

故f保相容半素并.

（3）?（4）顯然.

（4）?（1）設a∈L1且B是a的相容半素極小集,由文獻[6],有a≤supB且B??ca.由f保?c，有f(B) ?f(?ca) ??c f(a).又 由f保相容半素集,有↓f(B)∈Ic(L2);再 由f保相容半素并,有supf(B)=f(supB) ≥f(a).

推論2.1設L1,L2是相容半連續格,映射f：L1→L2保序,則f為序同態當且僅當f保相容半素極小集.

定理2.3設L1,L2是相容半連續格,映射f：L1→L2保?c,a∈L1,令f*(a)=supf(?ca),則f*是最大的,取值小于或等于f的保相容半素并和?c的映射.

證明（1）f*的定義是合理的.

（2）f*保相容半素并.?X∈Ic(L1),由條件知f*保序,且f*(X) ∈Ic(L2).令z=supX,則

（3）f*保?c.?a，b∈L1,a?cb,則?m∈L1,使得a?cm?cb.由f*的定義知f*(m) ≤f*(b).設x∈?ca,由f保?c知f(x) ?c f(a) ?c f(m),故f(x) ≤f(a) ≤f(m),從而有f*(a)=supf(?ca) ≤f(a) ?c f(m) ≤f*(b).

（4）f*的最大性.由f*的定義可知f*≤f.若?g≤f且g保相容半素并和 ?c,則 ?a∈L1,g(a)=f(sup ?ca)=supg(?ca) ≤supf(?ca)=f*(a),即g≤f*.