基于訂單生產的供應鏈價格與承諾交貨時間決策和協調

謝祥添

（廣東金融學院 科技金融重點實驗室，廣東 廣州 510521）

0 引言

許多企業成功的關鍵在于具有時間競爭優勢[1]。So和Song[2]提出企業以時間作為武器吸引顧客有三種策略：①快速服務；②提前預約；③承諾交貨時間。其中，訂單生產一般采用第三種策略。在需求受價格和承諾交貨時間影響的市場中，顧客傾向于購買價格低和承諾交貨時間短的產品[3]。然而，較低的價格導致收入減少，較短的交貨時間導致成本上升[4]。那么，企業如何決策才能使得利潤最大化成為學者關注的問題。

延期是影響訂單生產供應鏈競爭力因素之一。延期不僅導致罰款（Slotnick 和Sobel[5]提及飛機零部件供應商延期交貨賠償幾百萬美元的事例），還會影響企業聲譽，失去未來顧客。因為訂單生產過程隨機性較大（相對標準化生產），延期頻發，同時交貨往往可提前，不可推遲。為此，企業可承諾一個可靠性（在承諾交貨時間內交貨的概率，部分文獻稱之為交貨時間服務水平[6]，簡稱服務水平）較高的交貨時間來減少延期的發生。

本研究內容主要涉及供應鏈價格與承諾交貨時間決策和協調研究，以下就這兩方面的文獻進行簡要的論述。

關于供應鏈價格與承諾交貨時間決策研究，較早的是Pekg，等[7]，他們研究了生產部門對交貨時間和銷售部門對價格分散決策問題，得出了相對集中決策，分散決策策略為采用較長的交貨時間和較低的價格，這與本研究的兩個企業分散決策策略相反。Pekg，等[8]將文獻[7]的問題拓展到兩個企業競爭的情況，研究表明：在激烈的價格競爭中，企業應采用集中決策，在激烈的交貨時間競爭中，企業應采用以銷售部門為領導者的分散決策。以上是一個企業兩部門分散決策，更多學者研究了兩個企業分散決策。兩個企業分散決策會產生雙重邊際化效應，所以研究的焦點為如何降低雙重邊際化效應。如，Liu，等[9]構建了以生產商對交貨時間決策，以銷售商對價格決策的分散決策模型，并以集中決策為基準分析分散決策效率不高的原因，提出柔性生產能有效地改善由于雙重邊際化導致分散決策低效問題。Zhu[10]從另一個角度研究了文獻[9]問題，構建了以生產商對產能決策、以銷售商對價格和交貨時間決策的分散決策模型，證明了優化產能能有效降低雙重邊際化效應。趙曉敏和胡淑慧[11]針對B2C供應鏈高退貨現象，研究了B2C供應鏈決策和協調機制，提出只有當產品質量達到一定條件，供應鏈才能實現協調，適當延長交貨期可以使供應鏈協調相對容易實現，并且對于增加協調利潤也有一定的正向作用。從以上文獻可知，提高運營能力（柔性生產、優化產能等）可以降低雙重邊際化效應。本研究針對訂單生產延期現象，構建以承諾交貨時間滿足一定的服務水平為條件的供應鏈價格與交貨時間決策模型，研究發現提高服務水平也可以降低雙重邊際化效應。

供應鏈協調常用的方式有數量折扣、回購和收益分享。Zhang，等[12]通過收益分享與回購等方式的對比，證明收益分享在供應鏈協調中具有一定的優勢。此外，Panda[13]指出收益分享能有效協調需求受內生變量影響的供應鏈各個成員。本研究為需求受價格和承諾交貨時間內生變量影響，所以采用了收益分享方式構建供應鏈協調模型。

綜上所述，本研究的貢獻為：針對訂單生產需求受價格和承諾交貨時間影響以及延期現象，考慮服務水平，建立供應鏈價格與交貨時間決策模型，得到了模型的最優價格和最優承諾交貨時間，據此分析它們與相關參數的關系，得到了一些管理啟示。此外，采用收益分享方式構建供應鏈協調模型，以集中決策為基準設計一個協調方案，得出銷售商收益分享比例處于某一范圍內才能實現供應鏈的協調。

1 模型假設和符號定義

1.1 模型假設

假設1：生產商為領導者，銷售商為追隨者，銷售商與生產商之間的博弈為Stackelberg博弈；

假設2：生產商與銷售商之間的需求信息是對稱的，即生產商和銷售商的需求相同；

假設3：訂單生產過程為M/M/1 排隊模型，即需求時間間隔和生產時間服從負指數分布，且采用先來先生產。

1.2 符號定義

p：銷售價；

w：批發價；

cs：銷售單位成本；

cm：生產單位成本；

u：產能；

cu：產能單位成本；

l：承諾交貨時間；

s：服務水平，s∈(0,1)；

λ：需求率（單位時間需求量），考慮顧客傾向于購買承諾交貨時間短、價格低以及服務水平高的產品，構建需求率函數為：

其中，λ01為潛在需求，α 為需求關于價格敏感系數（簡稱價格敏感系數），α>0，β 為需求關于承諾交貨時間敏感系數（簡稱承諾交貨時間敏感系數），β>0，γ 為需求關于服務水平敏感系數，γ>0。為了表達簡便，設λ0=λ01+γs。

L：實際交貨時間；

P{L≤l}：實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的概率。文獻[14-15]指出在M/M/1 排隊模型下實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的尾概率分布近似服從負指數分布，即：1-P{L≤l}=e-l/γ，其中γ為均值。根據假設3，需求時間間隔服從1/λ的負指數分布，生產時間服從1/u 負指數分布，這時有γ=1/(u-λ)。所以，實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的尾概率分布為：1-P{L≤l}=e-(u-λ)l。若考慮承諾交貨時間滿足一定的服務水平（實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的概率大于等于某一服務水平），則有：

本研究采用上標來區分不同模型。設上標c，d和t分別表示集中決策模型、分散決策模型和協調模型，同時，上標c，d和t也分別表示對應每一個模型的變量取最優值。下標m 和s 分別表示生產商和銷售商。

2 分散決策模型與集中決策模型

2.1 分散決策模型

根據假設1，生產商作為領導者具有主動權，它會依據銷售商的反應（銷售價決策）對批發價和承諾交貨時間作出決策，以獲得自身利潤最大化；銷售商作為追隨者則根據觀察到的批發價和承諾交貨時間對銷售價作出決策，以獲得自身利潤最大化。因此本研究從銷售商優化開始，通過逆向歸納法得出博弈均衡。

建立以銷售價為決策變量、以銷售商單位時間最大利潤為目標函數模型：

求解式（3）可得最優銷售價為：

考慮承諾交貨時間滿足一定的服務水平，建立以承諾交貨時間和批發價為決策變量，以生產商單位時間最大利潤為目標函數模型：

命題1：在分散決策模型中，存在最優批發價和最優承諾交貨時間，它們分別為：

其中λd為f(λ)=0的實根，f(λ)為：

其中，k=-ln(1-s)。

證明：把式（4）代入式（1）可得批發價為w=(λ0-αcs-βl-2λ)/α，所以式（5）可轉化為：

解式（9）的條件可得l≥-ln(1-s)/(u-λ)，設k=-ln(1-s)，則有l≥k/(u-λ)。因為式（9）關于l 為單調減函數，所以l=k/(u-λ)時，式（9）關于l取最大值。因此，式（9）可轉化為只含λ為變量的優化問題：

命題1結論：分散決策模型存在最優承諾交貨時間和最優批發價。其中ld=k/(u-λd)表明最優承諾交貨時間存在于式（5）條件邊界上，即最優承諾交貨時間綁定在服務水平上。

把ld和wd=(λ0-αcs-βld-2λd)/α 代入式（4）可得最優銷售價為：

2.2 集中決策模型

考慮承諾交貨時間滿足一定的服務水平，建立以銷售價和承諾交貨時間為決策變量，以單位時間最大利潤為目標函數模型：

命題2：在集中決策模型中，存在最優銷售價和最優承諾交貨時間，它們分別為：

λc為h(λ)=0的實根，h(λ)為：

證明：根據式（1）得：p=(λ0-λ-βl)/α，把它代入式（11）有：

解式（15）的條件可得l≥k/(u-λ)，又因為式（15）關于l為單調遞減函數，所以l=k/(u-λ)時，式（15）關于l取最大值。因此，式（15）可轉化：

因為d2Πc(λ)/dλ2=[-2βku-2(u-λ)3]/[α(u-λ)3]<0，所以存在最優利潤,其對應最優λc滿足Πc(λ)一階偏導數為 0:dΠc(λ)/dλ={[λ0-2λ-(cm+cs)α](u-λ)2-βku}/[α(uλ)2]=0，設h(λ)=[λ0-2λ-(cm+cs)α](u-λ)2-βku，所以λc需滿足h(λ)=0。與命題1證明f(0)>0和f(u)<0同理，可得h(0)>0，h(u)<0，所以h(λ)在(0,u)必存在一個實根，把λc代入l=k/(u-λ)可得最優交貨時間為:lc=k/(u-λc),把λc和 lc代入 p=(λ0-λ-βl)/α 可得最優銷售價為:pc=(λ0-βlc-λc)/α，至此證畢。

命題2結論：集中決策最優決策變量表達式與分散決策相似，不同在于最優需求率滿足方程中-λ(uλ)2的系數：集中決策為2，分散決策為4。

2.3 分散決策與集中決策比較

分散決策總利潤為銷售商利潤加生產商利潤，把最優解代入式（3）和式（5）求和化簡可得分散決策最優總利潤為：

根據命題2可得集中決策最優利潤為：

命題3：Πc>Πd，λc>λd，lc>ld，pc

證明：因為式（16）與式（17）關于需求率具體相同的表達式，它們關于需求率二階導數小于0，所以式（16）與式（17）存在最大值，又因為λc滿足式（17）關于需求率一階導數為0，λd不滿足式（16）關于需求率一階導數為0，所以Πc>Πd。由式（8）和式（14）可得[λ0-(cm+cp)α-2λc](u-λc)2=[λ0-(cm+cp)α-4λd](u-λd)2，所以{2λc-[λ0-(cm+cp)α]}/{4λd-[λ0-(cm+cp)α]}=(u-λd)2/(uλc)2，因此λc>λd。因為lc=k/(u-λc)，ld=k/(u-λd)和λc>λd，所以 lc>ld。因為 pd=(λ0-βld-λd)/α，pc=(λ0-βlc-λc)/α，λc>λd和lc>ld，所以pc

命題3 結論：相對集中決策，分散決策采用較高的價格和較短的承諾交貨時間，其最優利潤和最優需求都較少。

3 協調模型

設θ1為銷售商的收益分享比例，θ1>0，θ2為生產商的收益分享比例，θ2≥0，且θ1+θ2≤1，特別地，當θ2=0和θ1=1 為分散決策模型，那么銷售商單位時間最大利潤為：

生產商單位時間最大利潤為：

命題4：在協調模型中，存在最優銷售價，最優需求率和最優承諾交貨時間，它們分別為：

其中w的范圍滿足不等式（23）：

證明：把式（1）代入式（18）后可求解出最優銷售價為：

把式（24）代入式（1）可得最優需求為：

把式（24）和（25）代入式（19）可得只含承諾交貨時間為變量的最大利潤：

根據式（26）的條件，設g(l)={u-[(λ0-βl)/2-(cs+w)α/(2θ1)]}l-k。g(l)=0 有兩個根，設它們分別是y1和y2，且y1≤y2。又因為g(0)=-k<0，所以l≥y2，其中y2為：

根據式（25）需求大于等于0可得l≤λ0/β-(cs+w)α/(θ1β)，設m=λ0/β-(cs+w)α/(θ1β)，因為Πtm(m) =-cuu<0,設Πtm(l)的兩個根為分別是x1和 x2，且 x1≤x2。因為 d2Πtm(l)/dl2=θ2β2/(2α)>0，開口向上，所以只有 y2

根據y2

至此證畢。

根據命題4 可知，要實現供應鏈協調，還需要確定θ1，θ2和w，這些參數可通過生產商與銷售商之間的協商予以確定。本研究以集中決策為基準設計一個協調方案，即推論1。

推論1：當θ2=0，θ1=1和w=wt時，協調模型最優決策與集中模型最優決策相同，即pt=pc，lt=lc和Πtm+Πts=Πc。其中wt表達式為：

證明:設λ=λc和l=lc=k/(u-λc)，由式（1）和式（25）可得:λc=(λ0-βk/(u-λc)/2-α(cm+w)/(2θ1)，解 w 得：w=θ1[λ0-βk/(u-λc)-αcs-2λc]/α，因為θ1=1，所以得式（27）。又因為把wt代入式（22）可得lt=k/(u-λc)=lc，把w=wt和l=lt代入式（21）得λt=λc，把w=wt和l=lt代入式（20）得pt=[(λ0-λc)(u-λc)-βk]/[α(u-λc)]=[(λ0-λc)-βk/(u-λc)]/α=[(λ0-λc)-βlc]/α=pc，把 p=pc，λ=λc，l=lc以及θ2=0 和θ1=1代入式（18）和式（19）求和可得Πt m+Πt s=Πc。最后把θ2=0，θ1=1 代入式（23）可得(w-cm)α>0，表明wt范圍滿足不等式式（23）。至此證畢。

4 模型分析

（1）最優決策變量與相關參數分析。對最優承諾交貨時間與相關參數分析，可得它們與相關參數的關系，見表1。

表1 最優承諾交貨時間與相關參數的關系

關于最優價格與s，α，β的關系，本研究通過數值分析給出。設cs=0.8，cm=1.5，cu=0.2，u=10，λ01=21，γ=10，s=0.9，β=4，α=2 為基礎數據，作pc，pd與s，α，β 的關系，如圖2至圖4所示。

圖2 pc，pd與s的關系

圖3 pc，pd與α的關系

圖4 pc，pd與β的關系

（2）最優利潤與相關參數分析。利用基礎數據作集中決策，分散決策和協調模型的最優利潤與相關參數的關系，如圖5至圖7所示。

圖5 Πc，Πd與s的關系

圖6 Πc，Πd與β或α的關系(α=2或β=2)

從圖5可知，集中決策與分散決策的最優利潤隨著服務水平的提高相差越來越小，這說明提高服務水平可以降低雙重邊際化效應。

從圖6可知，集中決策與分散決策的最優利潤隨著價格敏感系數和承諾交貨時間敏感系數的增加而減少，價格敏感系數比承諾交貨時間敏感系數更顯著。這說明價格的變化對利潤的影響大于承諾交貨時間。

從圖7可知，①協調模型銷售商最優利潤和最優總利潤隨著銷售商收益分享比例的增加而增加，協調模型生產商最優利潤隨著銷售商收益分享比例的增加先增加后減少。當銷售商收益分享比例等于1時，協調模型銷售商最優利潤和生產商最優利潤相交，這時協調模型最優總利潤最大，它等于集中決策最優利潤（見推論1）；②當0<θ1<0.247 時，協調模型最優總利潤小于分散決策最優總利潤，這時協調模型是無效的；③當0.247<θ1<0.611和0.808<θ1<1時，協調模型雖然有效（協調模型最優總利潤大于分散決策最優總利潤），但不穩定（當0.247<θ1<0.611 時，協調模型銷售商最優利潤小于分散決策銷售商最優利潤，當0.808<θ1<1 時，協調模型生產商最優利潤小于分散決策生產商最優利潤）。④當0.611<θ1<0.808時，協調模型生產商最優利潤大于分散決策生產商最優利潤，協調模型銷售商最優利潤大于分散決策銷售商最優利潤，即協調模型實現了帕累托改善。所以，銷售商收益分享比例處于某一范圍內才能實現供應鏈的協調。

5 結語

在訂單生產下，延期頻發，本研究考慮服務水平，建立供應鏈價格與承諾交貨時間決策和協調模型。研究表明：①最優承諾交貨時間綁定在服務水平上，提高服務水平可以降低雙重邊際化效應，但是過高服務水平會導致利潤下降；②相對集中決策模型，分散決策模型采用較高的價格和較短的承諾交貨時間，其最優利潤和最優需求較少；③銷售商收益分享比例處于某一范圍內才能實現供應鏈的協調。

本研究假設生產商與銷售商的需求信息是對稱的，實際上，需求信息多為不對稱，同時也有以銷售商為領導者，所以未來可研究需求信息非對稱下銷售商為領導者的供應鏈決策和協調。