克拉茨數(shù)學(xué)問題與智能視覺時空數(shù)據(jù)應(yīng)用

近期收到International Journal of Software Innovation的郵件通知，由第一作者葉洪源、通訊作者張雷共同發(fā)表的Reconstruction and Trial Verification of the Collatz Conjecture已被正式錄用。該學(xué)術(shù)論文從國際數(shù)學(xué)界的克拉茨猜想入手，基于計算機“樹”數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來構(gòu)建非負整數(shù)繼承十叉樹模型，實現(xiàn)繼承十叉樹上的節(jié)點與非負整數(shù)對應(yīng)。從理論上，定義了克拉茨-葉節(jié)點，也就是克拉茨-葉整數(shù)。經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，在繼承十叉樹上，當(dāng)層數(shù)為800 時，所有節(jié)點都是克拉茨-葉節(jié)點；對于任意大于1 的正整數(shù)N，其由N 變換為1 的最小克拉茨變換次數(shù)為log2N，最大變換次數(shù)為800 ＊（N-1）。論文的研究成果將對多源異構(gòu)數(shù)據(jù)、非線性時空數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)智能處理方面都有理論借鑒意義。

克拉茨猜想的魅力

1976 年的某一天，《華盛頓郵報》于頭版報道了一條數(shù)學(xué)科普新聞：美國大學(xué)校園內(nèi)，人們都發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地在玩一種數(shù)學(xué)游戲。這個游戲十分簡單：任意取一個大于1 的自然數(shù)N，并且按照以下的規(guī)律進行變換：如果是個奇數(shù)，則下一步變成3N+1；如果是個偶數(shù)，則下一步變成N/2。

不單單是學(xué)生，許多教師、研究員及資深教授都紛紛加入。無論N 是怎樣一個數(shù)字，最終都無法逃脫回到谷底1。這個問題就是著名的“克拉茨猜想”。它幾乎可以說是數(shù)學(xué)史上未解問題中表達形式最簡單的一個，也因此成為數(shù)學(xué)這棵參天大樹上最誘人的那顆果實。

克拉茨猜想是由德國數(shù)學(xué)家Lothar Collatz于20 世紀30 年代提出。在日本，該猜想由角谷靜夫教授提出，故稱為角谷猜想，角谷1953 年成為耶魯大學(xué)教授，當(dāng)時被列為日本二戰(zhàn)后“頭腦外流”名單上的第一號人物。克拉茨猜想在傳播過程中，收獲了許多名字：3n+1 猜想、奇偶歸一猜想、冰雹猜想、烏拉姆(Ulam)問題。目前，數(shù)學(xué)家們測試了幾百億億個數(shù)，結(jié)果克拉茨猜想全部是正確的。

來自不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家們采用數(shù)論、拓撲結(jié)構(gòu)、計算數(shù)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計、微分方程與動力系統(tǒng)等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的諸多理論試圖揭開這個謎底。不少資深數(shù)學(xué)家警告稱，這個問題簡直有“毒”，堪稱魅惑十足的“海妖之歌”：你走進來就再也出不去，再也無力做出其他任何有意義的成果。著名學(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時候，竟然冠以“不要試圖去解決這個問題”作為標題。密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)家、克拉茨猜想問題專家Jeffrey Lagarias 表示：“這是一個危險的問題，很多人為其如癡如醉，但目前看真的不可能解決”。

2019 年9 月，當(dāng)代最杰出的華裔青年數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎獲得者陶哲軒(Terence Tao) 給出了一份證明，表明至少對絕大部分自然數(shù)，克拉茨猜想都是正確的。陶哲軒選擇合適的初始數(shù)字樣本，對數(shù)字樣本進行權(quán)重處理。陶哲軒使用這種加權(quán)技術(shù)得出：99%的初始值大于1000 萬億的正整數(shù)，滿足克拉茨猜想。盡管這份證明不是完整證明，但已經(jīng)是這個堪稱有“毒”的問題上近20 年走得最遠的成果。“我沒指望能完全解決這個問題，但目前取得的進展已經(jīng)超出了我的預(yù)期。”陶哲軒說。

大膽假設(shè)與謹慎研究

近年來，在中國科學(xué)院褚君浩院士的顧問指導(dǎo)下，同濟大學(xué)張雷教授和微軟授權(quán)資深軟件構(gòu)架師葉洪源共同就“克拉茨猜想”在時空大數(shù)據(jù)與光電信號等方面進行了理論重構(gòu)、技術(shù)攻關(guān)和應(yīng)用實踐，依托浙江圖元智能裝備科技有限公司和同濟大學(xué)上海自主智能無人系統(tǒng)科學(xué)中心，傾力合作，潛心研究。研究工作參照國際另一數(shù)學(xué)問題“四色猜想”，首先把二叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)加以推廣，發(fā)現(xiàn)了非負整數(shù)十叉樹，十叉樹上的每一個節(jié)點和正整數(shù)唯一對應(yīng)。

如果把1 看作山的谷底，N 看作山的頂峰；N越大，頂峰越高，從N 變換到1 的過程更變幻莫測。讓在下山的路上，把注意力放到下一個臺階，基于這樣的想法，對克拉茨猜想重新構(gòu)造，提出了強克拉茨猜想：任取一個大于1 的正整數(shù)N，經(jīng)m 有限次克拉茨變換，其變換結(jié)果Nm 必小于N。顯然，在下山的路上，如果每次總能找到更低的下一個臺階，必定能回到山底。在數(shù)學(xué)上能嚴格地證明強克拉茨猜想成立，克拉茨猜想必定成立。

至此，形式簡單直白，難以用數(shù)學(xué)表述的克拉茨猜想，通過重新構(gòu)造并基于非負整數(shù)十叉樹實現(xiàn)了計算機建模。在十叉樹上怎樣找出一條下山的路，人工智能的經(jīng)典算法——迷宮路徑搜索。萬億億巨量數(shù)據(jù)的計算機處理，人工智能和大數(shù)據(jù)并沒有帶來期望的結(jié)果。《周期三意味著混沌》是李天巖和詹姆斯·約克在1975 年發(fā)表的，被譽為“數(shù)學(xué)文獻中不朽的珍品之一”；在克拉茨變換3N+1 中，其變換系數(shù)3，似乎同樣讓變換結(jié)果產(chǎn)生混沌效應(yīng)，充滿偶然性。

求證似乎進入了路的盡頭。一個想法悠悠地出現(xiàn)在腦際：是否可以把克拉茨變換次數(shù)和十叉樹的層數(shù)關(guān)聯(lián)起來。十叉樹上一類特殊性能的節(jié)點進入視野：當(dāng)其變換結(jié)果小于其初始值時，其克拉茨變換次數(shù)小于等于其層數(shù)，該類節(jié)點定義為克拉茨-葉節(jié)點。顯然，克拉茨-葉節(jié)點滿足強克拉茨猜想。更讓人驚喜的是克拉茨-葉節(jié)點具有繼承性，即克拉茨-葉節(jié)點的子節(jié)點也必定為克拉茨-葉節(jié)點。圖1 為非負整數(shù)十叉樹的前3 層。在第1 層上的節(jié)點2 通過一次克拉茨變換其結(jié)果為1，小于其初始數(shù)值2，所以數(shù)值2 對應(yīng)的節(jié)點是克拉茨-葉節(jié)點，我們不難得出節(jié)點2 的10 個子節(jié)點02，12，22 …82 及92 也同樣都是克拉茨-葉節(jié)點。繼承性，這是現(xiàn)代面向?qū)ο笥嬎銠C軟件的核心思想。由此，對有限節(jié)點進行處理，得出的結(jié)論可以推廣到無限的所有正整數(shù)。

非負整數(shù)十叉樹經(jīng)繼承性歸一化處理，構(gòu)建了非負整數(shù)繼承十叉樹。在非負整數(shù)繼承十叉樹對第2 層百位數(shù)計算處理，得出74.4897959% 的節(jié)點為克拉茨-葉節(jié)點，由此74.4897959% 的所有無窮多的正整數(shù)滿足強克拉茨猜想；對第10 層10位正整數(shù)計算處理，得出93.7499999% 的節(jié)點為克拉茨-葉節(jié)點，由此93.7499999% 的所有正整數(shù)滿足強克拉茨猜想；對第12 層12 位正整數(shù)計算處理，得出94.4824218% 的節(jié)點為克拉茨-葉節(jié)點，由此94.4824218% 的所有正整數(shù)滿足強克拉茨猜想；對第100 層100 位正整數(shù)隨機抽樣100 億節(jié)點計算處理，得出99.97618831% 的節(jié)點為克拉茨-葉節(jié)點，由此99.97618831% 的所有正整數(shù)滿足強克拉茨猜想。

計算試證與應(yīng)用驗證

依托同濟大學(xué)對算法、軟件及其實驗數(shù)據(jù)的分析與處理。在第300 層300 位正整數(shù)隨機抽樣1000 億節(jié)點的計算處理中，得出99.999994779% 的節(jié)點為克拉茨-葉節(jié)點，由此99.999994779% 的所有正整數(shù)滿足強克拉茨猜想。對第600 層600 位正整數(shù)隨機抽樣1000 億節(jié)點計算處理，得 出99.999999997% 的節(jié)點為克拉茨-葉節(jié)點，由此99.999999997% 的所有正整數(shù)滿足強克拉茨猜想。對第800 層800 位正整數(shù)隨機抽樣1000 億節(jié)點計算處理，得出該1000 億所有節(jié)點都克拉茨-葉節(jié)點，由此所有正整數(shù)滿足強克拉茨猜想。該層所有節(jié)點都是克拉茨-葉節(jié)點。“上述的結(jié)論是基于隨機抽樣1000 億節(jié)點計算處理得出的，并不能保證第1001 億個節(jié)點也必定是克拉茨-葉節(jié)點。從嚴格的數(shù)學(xué)意義上，上述的證明結(jié)論和完全證明還有1000 億分之一的距離。進一步的工作需要超大規(guī)模計算中心和云計算對非負整數(shù)繼承十叉樹進行遍歷計算及處理”。該研究論文的通訊作者、同濟大學(xué)張雷教授如是說。

在非負正整數(shù)十進制交叉樹上，該論文對50，100，200，300，400，600 及800 層節(jié)點，分別獨立隨機抽樣100 億或1000 億節(jié)點計算處理，表1為計算結(jié)果。隨著節(jié)點層數(shù)的增加，克拉茨-葉節(jié)點比率也越趨近于1，在節(jié)點層數(shù)為800，克拉茨-葉節(jié)點比率為1，即在該層所有節(jié)點都是克拉茨-葉節(jié)點。

對于克拉茨猜想的證明，論文第一作者葉洪源更是感觸良多。葉洪源中學(xué)時代正值改革開放之初，鄧小平主持科技工作，開啟了科學(xué)的春天。在那“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”單純而又相對封閉的年代，徐遲的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》及主人公陳景潤影響了整整一代人的科學(xué)理想。春天播下的種子，在科學(xué)強國的今天終于發(fā)芽結(jié)果。此次與同濟大學(xué)人工智能團隊張雷教授的合作，讓葉洪源初嘗了“科學(xué)人”的甜味。張雷教授與葉洪源的合作不僅限于興趣性的數(shù)學(xué)問題研究。張雷教授在結(jié)束圣彼得堡彼得大帝理工大學(xué)的兩年訪問后，在光電信息處理方面與葉洪源開始了合作研究，探索具有多源、異構(gòu)、高維、動態(tài)和海量等特征的時空數(shù)據(jù)深度學(xué)習(xí)應(yīng)用領(lǐng)域。

表1 大數(shù)隨機抽樣克拉茨-葉節(jié)點比率

基礎(chǔ)研究是科技創(chuàng)新的原動力，應(yīng)用導(dǎo)向是產(chǎn)學(xué)研合作的生命力。科學(xué)發(fā)現(xiàn)和技術(shù)發(fā)明的賦能是促進社會發(fā)展的核心使命。兩位作者共同發(fā)起的“智能視覺研究中心”已經(jīng)成為浙江圖元智能裝備科技有限公司科技創(chuàng)新的蓄水池。在視覺處理方面，該論文提出的“克拉茨重構(gòu)”方法正在被應(yīng)用中，公司正在研發(fā)“基于視覺識別的自潤軸承石墨自動鑲嵌系統(tǒng)”。自潤軸承行業(yè)龍頭，上市企業(yè)浙江雙飛滑動軸承股份有限公司周引春董事長曾說：“自潤軸承石墨鑲嵌即使在日本及德國企業(yè)也是人工操作，10 年前我們就委托國內(nèi)知名科研機構(gòu)和國外研發(fā)團隊進行開發(fā)，一直沒有成功。當(dāng)他們第一次找到我們計劃開發(fā)該產(chǎn)品，我還規(guī)勸他們這個項目難度太大，不要貿(mào)然投入。過了1 年，他們把設(shè)備的工作視頻展示在我的面前，我真的感到驚訝，現(xiàn)在我們已經(jīng)向他們首批訂購了5 臺套。”