克拉茨數學問題與智能視覺時空數據應用

近期收到International Journal of Software Innovation的郵件通知，由第一作者葉洪源、通訊作者張雷共同發表的Reconstruction and Trial Verification of the Collatz Conjecture已被正式錄用。該學術論文從國際數學界的克拉茨猜想入手，基于計算機“樹”數據結構來構建非負整數繼承十叉樹模型，實現繼承十叉樹上的節點與非負整數對應。從理論上，定義了克拉茨-葉節點，也就是克拉茨-葉整數。經過計算發現，在繼承十叉樹上，當層數為800 時，所有節點都是克拉茨-葉節點；對于任意大于1 的正整數N，其由N 變換為1 的最小克拉茨變換次數為log2N，最大變換次數為800 ＊（N-1）。論文的研究成果將對多源異構數據、非線性時空數據等數據智能處理方面都有理論借鑒意義。

克拉茨猜想的魅力

1976 年的某一天，《華盛頓郵報》于頭版報道了一條數學科普新聞：美國大學校園內，人們都發瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地在玩一種數學游戲。這個游戲十分簡單：任意取一個大于1 的自然數N，并且按照以下的規律進行變換：如果是個奇數，則下一步變成3N+1；如果是個偶數，則下一步變成N/2。

不單單是學生，許多教師、研究員及資深教授都紛紛加入。無論N 是怎樣一個數字，最終都無法逃脫回到谷底1。這個問題就是著名的“克拉茨猜想”。它幾乎可以說是數學史上未解問題中表達形式最簡單的一個，也因此成為數學這棵參天大樹上最誘人的那顆果實。

克拉茨猜想是由德國數學家Lothar Collatz于20 世紀30 年代提出。在日本，該猜想由角谷靜夫教授提出，故稱為角谷猜想，角谷1953 年成為耶魯大學教授，當時被列為日本二戰后“頭腦外流”名單上的第一號人物。克拉茨猜想在傳播過程中，收獲了許多名字：3n+1 猜想、奇偶歸一猜想、冰雹猜想、烏拉姆(Ulam)問題。目前，數學家們測試了幾百億億個數，結果克拉茨猜想全部是正確的。

來自不同領域的數學家們采用數論、拓撲結構、計算數學、數理統計、微分方程與動力系統等現代數學的諸多理論試圖揭開這個謎底。不少資深數學家警告稱，這個問題簡直有“毒”，堪稱魅惑十足的“海妖之歌”：你走進來就再也出不去，再也無力做出其他任何有意義的成果。著名學者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時候，竟然冠以“不要試圖去解決這個問題”作為標題。密歇根大學數學家、克拉茨猜想問題專家Jeffrey Lagarias 表示：“這是一個危險的問題，很多人為其如癡如醉，但目前看真的不可能解決”。

2019 年9 月，當代最杰出的華裔青年數學家，菲爾茲獎獲得者陶哲軒(Terence Tao) 給出了一份證明，表明至少對絕大部分自然數，克拉茨猜想都是正確的。陶哲軒選擇合適的初始數字樣本，對數字樣本進行權重處理。陶哲軒使用這種加權技術得出：99%的初始值大于1000 萬億的正整數，滿足克拉茨猜想。盡管這份證明不是完整證明，但已經是這個堪稱有“毒”的問題上近20 年走得最遠的成果。“我沒指望能完全解決這個問題，但目前取得的進展已經超出了我的預期。”陶哲軒說。

大膽假設與謹慎研究

近年來，在中國科學院褚君浩院士的顧問指導下，同濟大學張雷教授和微軟授權資深軟件構架師葉洪源共同就“克拉茨猜想”在時空大數據與光電信號等方面進行了理論重構、技術攻關和應用實踐，依托浙江圖元智能裝備科技有限公司和同濟大學上海自主智能無人系統科學中心，傾力合作，潛心研究。研究工作參照國際另一數學問題“四色猜想”，首先把二叉樹數據結構加以推廣，發現了非負整數十叉樹，十叉樹上的每一個節點和正整數唯一對應。

如果把1 看作山的谷底，N 看作山的頂峰；N越大，頂峰越高，從N 變換到1 的過程更變幻莫測。讓在下山的路上，把注意力放到下一個臺階，基于這樣的想法，對克拉茨猜想重新構造，提出了強克拉茨猜想：任取一個大于1 的正整數N，經m 有限次克拉茨變換，其變換結果Nm 必小于N。顯然，在下山的路上，如果每次總能找到更低的下一個臺階，必定能回到山底。在數學上能嚴格地證明強克拉茨猜想成立，克拉茨猜想必定成立。

至此，形式簡單直白，難以用數學表述的克拉茨猜想，通過重新構造并基于非負整數十叉樹實現了計算機建模。在十叉樹上怎樣找出一條下山的路，人工智能的經典算法——迷宮路徑搜索。萬億億巨量數據的計算機處理，人工智能和大數據并沒有帶來期望的結果。《周期三意味著混沌》是李天巖和詹姆斯·約克在1975 年發表的，被譽為“數學文獻中不朽的珍品之一”；在克拉茨變換3N+1 中，其變換系數3，似乎同樣讓變換結果產生混沌效應，充滿偶然性。

求證似乎進入了路的盡頭。一個想法悠悠地出現在腦際：是否可以把克拉茨變換次數和十叉樹的層數關聯起來。十叉樹上一類特殊性能的節點進入視野：當其變換結果小于其初始值時，其克拉茨變換次數小于等于其層數，該類節點定義為克拉茨-葉節點。顯然，克拉茨-葉節點滿足強克拉茨猜想。更讓人驚喜的是克拉茨-葉節點具有繼承性，即克拉茨-葉節點的子節點也必定為克拉茨-葉節點。圖1 為非負整數十叉樹的前3 層。在第1 層上的節點2 通過一次克拉茨變換其結果為1，小于其初始數值2，所以數值2 對應的節點是克拉茨-葉節點，我們不難得出節點2 的10 個子節點02，12，22 …82 及92 也同樣都是克拉茨-葉節點。繼承性，這是現代面向對象計算機軟件的核心思想。由此，對有限節點進行處理，得出的結論可以推廣到無限的所有正整數。

非負整數十叉樹經繼承性歸一化處理，構建了非負整數繼承十叉樹。在非負整數繼承十叉樹對第2 層百位數計算處理，得出74.4897959% 的節點為克拉茨-葉節點，由此74.4897959% 的所有無窮多的正整數滿足強克拉茨猜想；對第10 層10位正整數計算處理，得出93.7499999% 的節點為克拉茨-葉節點，由此93.7499999% 的所有正整數滿足強克拉茨猜想；對第12 層12 位正整數計算處理，得出94.4824218% 的節點為克拉茨-葉節點，由此94.4824218% 的所有正整數滿足強克拉茨猜想；對第100 層100 位正整數隨機抽樣100 億節點計算處理，得出99.97618831% 的節點為克拉茨-葉節點，由此99.97618831% 的所有正整數滿足強克拉茨猜想。

計算試證與應用驗證

依托同濟大學對算法、軟件及其實驗數據的分析與處理。在第300 層300 位正整數隨機抽樣1000 億節點的計算處理中，得出99.999994779% 的節點為克拉茨-葉節點，由此99.999994779% 的所有正整數滿足強克拉茨猜想。對第600 層600 位正整數隨機抽樣1000 億節點計算處理，得 出99.999999997% 的節點為克拉茨-葉節點，由此99.999999997% 的所有正整數滿足強克拉茨猜想。對第800 層800 位正整數隨機抽樣1000 億節點計算處理，得出該1000 億所有節點都克拉茨-葉節點，由此所有正整數滿足強克拉茨猜想。該層所有節點都是克拉茨-葉節點。“上述的結論是基于隨機抽樣1000 億節點計算處理得出的，并不能保證第1001 億個節點也必定是克拉茨-葉節點。從嚴格的數學意義上，上述的證明結論和完全證明還有1000 億分之一的距離。進一步的工作需要超大規模計算中心和云計算對非負整數繼承十叉樹進行遍歷計算及處理”。該研究論文的通訊作者、同濟大學張雷教授如是說。

在非負正整數十進制交叉樹上，該論文對50，100，200，300，400，600 及800 層節點，分別獨立隨機抽樣100 億或1000 億節點計算處理，表1為計算結果。隨著節點層數的增加，克拉茨-葉節點比率也越趨近于1，在節點層數為800，克拉茨-葉節點比率為1，即在該層所有節點都是克拉茨-葉節點。

對于克拉茨猜想的證明，論文第一作者葉洪源更是感觸良多。葉洪源中學時代正值改革開放之初，鄧小平主持科技工作，開啟了科學的春天。在那“學好數理化，走遍天下都不怕”單純而又相對封閉的年代，徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》及主人公陳景潤影響了整整一代人的科學理想。春天播下的種子，在科學強國的今天終于發芽結果。此次與同濟大學人工智能團隊張雷教授的合作，讓葉洪源初嘗了“科學人”的甜味。張雷教授與葉洪源的合作不僅限于興趣性的數學問題研究。張雷教授在結束圣彼得堡彼得大帝理工大學的兩年訪問后，在光電信息處理方面與葉洪源開始了合作研究，探索具有多源、異構、高維、動態和海量等特征的時空數據深度學習應用領域。

表1 大數隨機抽樣克拉茨-葉節點比率

基礎研究是科技創新的原動力，應用導向是產學研合作的生命力。科學發現和技術發明的賦能是促進社會發展的核心使命。兩位作者共同發起的“智能視覺研究中心”已經成為浙江圖元智能裝備科技有限公司科技創新的蓄水池。在視覺處理方面，該論文提出的“克拉茨重構”方法正在被應用中，公司正在研發“基于視覺識別的自潤軸承石墨自動鑲嵌系統”。自潤軸承行業龍頭，上市企業浙江雙飛滑動軸承股份有限公司周引春董事長曾說：“自潤軸承石墨鑲嵌即使在日本及德國企業也是人工操作，10 年前我們就委托國內知名科研機構和國外研發團隊進行開發，一直沒有成功。當他們第一次找到我們計劃開發該產品，我還規勸他們這個項目難度太大，不要貿然投入。過了1 年，他們把設備的工作視頻展示在我的面前，我真的感到驚訝，現在我們已經向他們首批訂購了5 臺套。”